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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十六讲　尺规作图 学生版
知识要点 对点练习
一、五种基本尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作图步骤图示(1)作射线OP; (2)以点O为圆心,a为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求线段
2.作一个角等于已知角 作图步骤图示(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交∠α的两边于点P,Q; (2)作射线O 'A; (3)以点O '为圆心,OP长为半径画弧,交O 'A于点M; (4)以点M为圆心,PQ长为半径画弧,交步骤(3)中的弧于点N; (5)过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求角
3.作已知角的平分线 作图步骤图示(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点N,M; (2)分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧在∠AOB内部相交于点P; (3)作射线OP,OP即为所求角的平分线
1.(教材再开发·湘教七上P122T4改编)已知:线段a,b.求作:线段AB,使得AB=a+2b. 小明给出了四个步骤: ①在射线AM上画线段AP=a; ②则线段AB=a+2b; ③在射线PM上画PQ=b,QB=b; ④画射线AM.你认为顺序正确的是( ） A.①②③④ B.④①③② C.④③①② D.④②①③ 2.如图,在用尺规作一个角等于已知角时,小明进行了以下5个步骤,将这5个步骤按正确的顺序排列为( ） A.Ⅰ-Ⅱ-V-Ⅲ-Ⅳ B.Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-V-Ⅳ C.Ⅳ-Ⅰ-V-Ⅱ-Ⅲ D.Ⅰ-Ⅳ-Ⅱ-V-Ⅲ 3.用尺规作一个角的平分线的示意图如图,能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ） A.SSS B.SAS C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
续表
知识要点 对点练习
4.作线段的垂直平分线 作图步骤图示(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径,在AB两侧画弧,弧分别交于点M,N; (2)过点M,N作直线,MN即为所求线段的垂直平分线
5.过一点作已知直线的垂线 (1)点在直线上 作图步骤图示①以点O为圆心,适当长为半径在点O两侧画弧,交直线于A,B两点; ②分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径在直线两侧画弧,两弧分别交于点M,N; ③过点M,N作直线,MN即为所求垂线
(2)点在直线外 作图步骤图示①在直线另一侧取点M; ②以点P为圆心,PM长为半径画弧,交直线于A,B两点; ③分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,交点M同侧于点N; ④过点P,N作直线,PN即为所求垂线
4.已知线段AB,用尺规作它的垂直平分线.步骤如下: 第一步:分别以A和B为圆心,以a的长度为半径作弧,两弧相交于点C和点D; 第二步:作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 下列说法正确的是( ） A.a无限制 B.a>AB C.a续表
知识要点 对点练习
二、其他作图 1.利用基本作图作三角形 (1)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形; (2)已知底边及底边上的高线作等腰三角形; (3)已知一直角边和斜边作直角三角形 2.利用基本作图完成圆及相关图形 (1)过不在同一直线上的三点作圆; (2)作三角形的外接圆、内切圆; (3)作圆的内接正方形和正六边形 6.下列关于用尺规作图的结论错误的是( ） A.已知一个三角形的两角与一边,那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角,那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边,那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边,那么这个三角形一定可以作出
考点1　基本尺规作图
【例1】(2024·无锡中考)如图,在△ABC中,AB>AC.
(1)尺规作图:作∠BAC的平分线,在角平分线上确定点D,使得DB=DC;(不写作法,保留痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=90°,AB=7,AC=5,则AD的长是多少 (请直接写出AD的值)
【方法技巧】
基本尺规作图
1.观察作图痕迹,找准作图意图.
2.注重与图形性质的联系,如垂直平分线、角平分线的性质和判定.
【变式训练】
1.(2024·深圳中考)在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是( ）
A.①②　 B.①③
C.②③　 D.只有①
2.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面积是( ）
A.8　 B.16　 C.12　 D.24
3. (2024·陕西中考)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
考点2　复杂作图
【例2】(2024·绥化中考)已知:△ABC.
(1)尺规作图:画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5 cm2,则△ABC的面积是
　　　　　　cm2.
【变式训练】
(2024·武汉中考)如图是由小正方形组成的3×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图(1)中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图(2)中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G;
(4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,点B与点N对应).
1.(2023·岳阳中考)如图,①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.若∠AOB=60°,则∠AOC=　30　°.
2.(2023·永州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的定长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D,作DE⊥AB,垂足为E,则下列结论不正确的是( ）
A.BC=BE
B.CD=DE
C.BD=AD
D.BD一定经过△ABC的内心
3.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为　1　.
4.(2022·郴州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,以大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8 cm,则△BFG的周长等于　8　cm.
5.(2023·郴州中考)如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);
(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十六讲　尺规作图 教师版
知识要点 对点练习
一、五种基本尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作图步骤图示(1)作射线OP; (2)以点O为圆心,a为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求线段
2.作一个角等于已知角 作图步骤图示(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交∠α的两边于点P,Q; (2)作射线O 'A; (3)以点O '为圆心,OP长为半径画弧,交O 'A于点M; (4)以点M为圆心,PQ长为半径画弧,交步骤(3)中的弧于点N; (5)过点N作射线O'B,∠AO'B即为所求角
3.作已知角的平分线 作图步骤图示(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点N,M; (2)分别以点M,N为圆心,大于MN长为半径画弧,两弧在∠AOB内部相交于点P; (3)作射线OP,OP即为所求角的平分线
1.(教材再开发·湘教七上P122T4改编)已知:线段a,b.求作:线段AB,使得AB=a+2b. 小明给出了四个步骤: ①在射线AM上画线段AP=a; ②则线段AB=a+2b; ③在射线PM上画PQ=b,QB=b; ④画射线AM.你认为顺序正确的是(B) A.①②③④ B.④①③② C.④③①② D.④②①③ 2.如图,在用尺规作一个角等于已知角时,小明进行了以下5个步骤,将这5个步骤按正确的顺序排列为(D) A.Ⅰ-Ⅱ-V-Ⅲ-Ⅳ B.Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ-V-Ⅳ C.Ⅳ-Ⅰ-V-Ⅱ-Ⅲ D.Ⅰ-Ⅳ-Ⅱ-V-Ⅲ 3.用尺规作一个角的平分线的示意图如图,能说明∠AOC=∠BOC的依据是(A) A.SSS B.SAS C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
续表
知识要点 对点练习
4.作线段的垂直平分线 作图步骤图示(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径,在AB两侧画弧,弧分别交于点M,N; (2)过点M,N作直线,MN即为所求线段的垂直平分线
5.过一点作已知直线的垂线 (1)点在直线上 作图步骤图示①以点O为圆心,适当长为半径在点O两侧画弧,交直线于A,B两点; ②分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径在直线两侧画弧,两弧分别交于点M,N; ③过点M,N作直线,MN即为所求垂线
(2)点在直线外 作图步骤图示①在直线另一侧取点M; ②以点P为圆心,PM长为半径画弧,交直线于A,B两点; ③分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,交点M同侧于点N; ④过点P,N作直线,PN即为所求垂线
4.已知线段AB,用尺规作它的垂直平分线.步骤如下: 第一步:分别以A和B为圆心,以a的长度为半径作弧,两弧相交于点C和点D; 第二步:作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线. 下列说法正确的是(B) A.a无限制 B.a>AB C.a续表
知识要点 对点练习
二、其他作图 1.利用基本作图作三角形 (1)已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形; (2)已知底边及底边上的高线作等腰三角形; (3)已知一直角边和斜边作直角三角形 2.利用基本作图完成圆及相关图形 (1)过不在同一直线上的三点作圆; (2)作三角形的外接圆、内切圆; (3)作圆的内接正方形和正六边形 6.下列关于用尺规作图的结论错误的是(B) A.已知一个三角形的两角与一边,那么这个三角形一定可以作出 B.已知一个三角形的两边与一角,那么这个三角形一定可以作出 C.已知一个直角三角形的两条直角边,那么这个三角形一定可以作出 D.已知一个三角形的三条边,那么这个三角形一定可以作出
考点1　基本尺规作图
【例1】(2024·无锡中考)如图,在△ABC中,AB>AC.
(1)尺规作图:作∠BAC的平分线,在角平分线上确定点D,使得DB=DC;(不写作法,保留痕迹)
(2)在(1)的条件下,若∠BAC=90°,AB=7,AC=5,则AD的长是多少 (请直接写出AD的值)
【自主解答】(1)如图,AD即为所求.
(2)过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点D作DF⊥AC交AC于点F,
则∠AED=∠AFD=90°,
又∵∠BAC=90°
∴四边形AEDF为矩形,
∵AD是∠BAC的平分线,∴DE=DF,
∴四边形AEDF为正方形,
∴AE=AF=DE=DF,
设AE=AF=DE=DF=x,
∴BE=AB-AE=7-x,FC=AC-AF=5-x,
在Rt△BED中,DB2=ED2+BE2=x2+(7-x)2,
在Rt△CFD中,DC2=DF2+FC2=x2+(5-x)2,
∵DB=DC,∴DB2=DC2,
∴x2+(7-x)2=x2+(5-x)2,
解得:x=6,
∴AD===6.
【方法技巧】
基本尺规作图
1.观察作图痕迹,找准作图意图.
2.注重与图形性质的联系,如垂直平分线、角平分线的性质和判定.
【变式训练】
1.(2024·深圳中考)在如图的三个图形中,根据尺规作图的痕迹,能判断射线AD平分∠BAC的是(B)
A.①②　 B.①③
C.②③　 D.只有①
2.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,适当长为半径画弧分别交AB,AC于点M和点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面积是(B)
A.8　 B.16　 C.12　 D.24
3. (2024·陕西中考)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图△ABC即为所求作的三角形.
考点2　复杂作图
【例2】(2024·绥化中考)已知:△ABC.
(1)尺规作图:画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5 cm2,则△ABC的面积是
　　　　　　cm2.
【自主解答】(1)分别作出AB边和BC边的垂直平分线,与AB和BC边分别交于点N和点M,连接AM和CN,交点为G.
如图所示,点G即为所求作的点.
(2)∵点G是△ABC的重心,∴AG=2MG,
∵△ABG的面积等于5 cm2,
∴△BMG的面积等于2.5 cm2,
∴△ABM的面积等于7.5 cm2.
又∵AM是△ABC的中线,
∴△ABC的面积等于15 cm2.
答案:15
【变式训练】
(2024·武汉中考)如图是由小正方形组成的3×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图(1)中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图(2)中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF交BC于点G;
(4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,点B与点N对应).
【解析】(1)如图(1)中,线段AD即为所求;
(2)如图(1)中,点E即为所求;
(3)如图(2)中,点F,射线AF,点G即为所求;
(4)如图(2)中,线段MN即为所求.
1.(2023·岳阳中考)如图,①在OA,OB上分别截取线段OD,OE,使OD=OE;②分别以D,E为圆心,以大于DE的长为半径画弧,在∠AOB内两弧交于点C;③作射线OC.若∠AOB=60°,则∠AOC=　30　°.
2.(2023·永州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以B为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,BC于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于MN的定长为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP交AC于点D,作DE⊥AB,垂足为E,则下列结论不正确的是(C)
A.BC=BE
B.CD=DE
C.BD=AD
D.BD一定经过△ABC的内心
3.(2023·湘潭中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为　1　.
4.(2022·郴州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC.以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AB,AC于D,E两点;分别以点D,E为圆心,以大于DE长为半径作弧,在∠BAC内两弧相交于点P;作射线AP交BC于点F,过点F作FG⊥AB,垂足为G.若AB=8 cm,则△BFG的周长等于　8　cm.
5.(2023·郴州中考)如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹);
(2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形.
【解析】(1)如图,直线MN即为所求;
(2)设AC与EF交于点O.由作图可知,EF垂直平分线段AC,∴OA=OC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥CF,
∴∠OAE=∠OCF,
∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF(ASA),
∴AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AFCE是菱形.
跟踪诊断,请使用“高效提分作业”
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