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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十七讲　平移、旋转与轴对称 学生版
知识要点 对点练习
1.轴对称图形与中心对称图形 图形轴对称图形中心对称图形判断 方法(1)找到 (2)沿对称轴折叠后,两侧的图形完全重合(1)找到 (2)绕对称中心旋转 后,前后的图形完全重合 常见 图形等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆平行四边形、菱形、矩形、正方形、正偶边形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形:菱形、矩形、正方形、正偶边形、圆
1.(1)(教材再开发·湘教七下P117习题T1改编)下列图案中,是轴对称图形的是( ) 　(2)下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.科克曲线 B.笛卡儿心形线 C.阿基米德螺旋线 D.赵爽弦图
2.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段 (或在同一条直线上)且 ,对应角 . ②连接各组对应点的线段 (或在同一条直线上)且 . (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离 . ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 . ③旋转前、后的图形 . (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 . ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 . (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 . ②中心对称的两个图形称为 图形. 2.(1)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'.连接AA',若AA'=3 cm,BC'=11 cm,则B'C的长为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm (2)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称.∠A=50°,∠C'=30°,则∠B的度数为( ) A.30° B.50° C.80° D.100° (3)如图,△ABC绕点A旋转到△AEF的位置,点E在边BC上,EF与AC交于点G,∠ABC=65°,∠FEC的度数为( ) A.45° B.50° C.65° D.55°
续表
知识要点 对点练习
3.坐标变化的规律 (1)在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个 单位长度,可以得到对应点 (或 );将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点 (或 ). (2)在平面直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ,关于y轴对称的点的坐标为 . (3)在平面直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P' . 3.(1)(教材再开发·湘教八下P102T1改编)在平面直角坐标系中,将点P(1,4)向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点Q,则点Q的坐标是( ) A.(3,1) B.(4,2) C.(-1,1) D.(4,-1) (2)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0),连接AB,若将△ABO绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则A'的坐标为( ) A.(3,4) B.(4,3) C.(7,4) D.(8,3) 　(3)点P的坐标是(-2,4),它关于x轴的对称点的坐标是 .
考点1　对称图形的识别
【例1】(2024·大庆中考)垃圾分类功在当代,利在千秋.下列垃圾分类指引标志中,文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
【方法技巧】
巧辨对称图形
1.找对称轴或对称中心.
2.沿对称轴折叠或绕对称中心旋转180°,图形能够完全重合.
提醒:奇边形都不是中心对称图形.如三角形、五边形等都不是中心对称图形.
【变式训练】
1.(2024·苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是( )
2.(2024·山西中考)1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
考点2　与平移有关的证明与计算
【例2】 (2024·临夏州中考)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 . 【变式训练】 (2023·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是 . 【满分技法】 在平移的过程中,不仅仅会出现全等三角形,也经常根据平移的性质“各对应点所连成的线段平行(或在同一直线上)且相等,对应点的距离等于平移的距离”出现平行四边形.而直角三角形的平移还可能得到矩形.
考点3　与旋转有关的证明与计算
【例3】(2024·盐城中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,CF= . 【变式训练】 (2022·张家界中考)如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中,△AOB的顶点坐标分别为A(3,0),O(0,0),B(3,4). (1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位长度,画出平移后的△A1O1B1(不写作法,但要标出顶点字母); (2)将△AOB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2O2B2(不写作法,但要标出顶点字母); (3)在(2)的条件下,求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π). 【满分技法】 1.旋转前后的图形全等,即旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,对于旋转变换,首先明确图形的旋转方向,若题目未告知旋转方向,则需讨论顺时针和逆时针旋转两种情况,然后结合旋转角度分析. 2.旋转时点的运动轨迹是弧.
考点4　平移旋转对称轴的坐标变化
【例4】 (2024·广安中考)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为 .
【方法技巧】
图形平移中点的坐标变化规律:左减右加,上加下减
在平面直角坐标系中,图形向右(左)平移m个单位,则图形上各点的纵坐标不变,横坐标加上(或减去)m个单位(m>0);图形向上(下)平移n个单位,则图形上各点的横坐标不变,纵坐标加上(或减去)n个单位(n>0).
【变式训练】
(2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
1.(2024·长沙中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
2.(2023·郴州中考)下列图形中,能由图形a通过平移得到的是( )
3.(2022·邵阳中考)下列四种图形中,对称轴条数最多的是( )
A.等边三角形 B.圆　
C.长方形 D.正方形
4. (2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 cm(结果用含π的式子表示).
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十七讲　平移、旋转与轴对称 教师版
知识要点 对点练习
1.轴对称图形与中心对称图形 图形轴对称图形中心对称图形判断 方法(1)找到　对称轴　 (2)沿对称轴折叠后,两侧的图形完全重合(1)找到　对称中心　 (2)绕对称中心旋转　180°　后,前后的图形完全重合 常见 图形等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆平行四边形、菱形、矩形、正方形、正偶边形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形:菱形、矩形、正方形、正偶边形、圆
1.(1)(教材再开发·湘教七下P117习题T1改编)下列图案中,是轴对称图形的是(A) 　(2)下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(A) A.科克曲线 B.笛卡儿心形线 C.阿基米德螺旋线 D.赵爽弦图
2.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　,对应角　相等　. ②连接各组对应点的线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　. (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离　相等　. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　旋转角　. ③旋转前、后的图形　全等　. (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的　垂直平分线　. ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的　垂直平分线　. (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过　对称中心　,而且被对称中心所　平分　. ②中心对称的两个图形称为　中心对称　图形. 2.(1)如图,将△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'.连接AA',若AA'=3 cm,BC'=11 cm,则B'C的长为(C) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm (2)如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称.∠A=50°,∠C'=30°,则∠B的度数为(D) A.30° B.50° C.80° D.100° (3)如图,△ABC绕点A旋转到△AEF的位置,点E在边BC上,EF与AC交于点G,∠ABC=65°,∠FEC的度数为(B) A.45° B.50° C.65° D.55°
续表
知识要点 对点练习
3.坐标变化的规律 (1)在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个 单位长度,可以得到对应点　(x+a,y)　(或　(x-a,y)　);将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点　(x,y+b)　(或　(x,y-b)　). (2)在平面直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为　(x,-y)　,关于y轴对称的点的坐标为　(-x,y)　. (3)在平面直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'　(-x,-y)　. 3.(1)(教材再开发·湘教八下P102T1改编)在平面直角坐标系中,将点P(1,4)向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点Q,则点Q的坐标是(A) A.(3,1) B.(4,2) C.(-1,1) D.(4,-1) (2)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),点B的坐标为(4,0),连接AB,若将△ABO绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则A'的坐标为(C) A.(3,4) B.(4,3) C.(7,4) D.(8,3) 　(3)点P的坐标是(-2,4),它关于x轴的对称点的坐标是　(-2,-4)　.
考点1　对称图形的识别
【例1】(2024·大庆中考)垃圾分类功在当代,利在千秋.下列垃圾分类指引标志中,文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
【方法技巧】
巧辨对称图形
1.找对称轴或对称中心.
2.沿对称轴折叠或绕对称中心旋转180°,图形能够完全重合.
提醒:奇边形都不是中心对称图形.如三角形、五边形等都不是中心对称图形.
【变式训练】
1.(2024·苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是(A)
2.(2024·山西中考)1949年,伴随着新中国的诞生,中国科学院(简称“中科院”)成立.下列是中科院部分研究所的图标,其文字上方的图案是中心对称图形的是(A)
考点2　与平移有关的证明与计算
【例2】 (2024·临夏州中考)如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'=AD,则平移前后两三角形重叠部分的面积是 　. 【变式训练】 (2023·滨州中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点坐标分为A(6,3),B(6,0),O(0,0),若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE,则点A的对应点C的坐标是　(3,3)　. 【满分技法】 在平移的过程中,不仅仅会出现全等三角形,也经常根据平移的性质“各对应点所连成的线段平行(或在同一直线上)且相等,对应点的距离等于平移的距离”出现平行四边形.而直角三角形的平移还可能得到矩形.
考点3　与旋转有关的证明与计算
【例3】(2024·盐城中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,CF=　2+　. 【变式训练】 (2022·张家界中考)如图所示的方格纸(1格长为一个单位长度)中,△AOB的顶点坐标分别为A(3,0),O(0,0),B(3,4). (1)将△AOB沿x轴向左平移5个单位长度,画出平移后的△A1O1B1(不写作法,但要标出顶点字母); (2)将△AOB绕点O顺时针旋转90°,画出旋转后的△A2O2B2(不写作法,但要标出顶点字母); (3)在(2)的条件下,求点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长(结果保留π). 【解析】(1)如图,△A1O1B1即为所求; (2)如图,△A2O2B2即为所求; (3)在Rt△AOB中,OB==5, ∴l=×2π×5=π. 故点B绕点O旋转到点B2所经过的路径长为π. 【满分技法】 1.旋转前后的图形全等,即旋转只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小,对于旋转变换,首先明确图形的旋转方向,若题目未告知旋转方向,则需讨论顺时针和逆时针旋转两种情况,然后结合旋转角度分析. 2.旋转时点的运动轨迹是弧.
考点4　平移旋转对称轴的坐标变化
【例4】 (2024·广安中考)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为　(-3,1)　.
【方法技巧】
图形平移中点的坐标变化规律:左减右加,上加下减
在平面直角坐标系中,图形向右(左)平移m个单位,则图形上各点的纵坐标不变,横坐标加上(或减去)m个单位(m>0);图形向上(下)平移n个单位,则图形上各点的横坐标不变,纵坐标加上(或减去)n个单位(n>0).
【变式训练】
(2024·安徽中考)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【解析】(1)如图,画出△A1B1C1;
(2)以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积=10×8-2××2×4-2××4×8=40;
(3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E的坐标为(6,6).
1.(2024·长沙中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
2.(2023·郴州中考)下列图形中,能由图形a通过平移得到的是(B)
3.(2022·邵阳中考)下列四种图形中,对称轴条数最多的是(B)
A.等边三角形 B.圆　
C.长方形 D.正方形
4. (2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π　 cm(结果用含π的式子表示).
跟踪诊断,请使用“高效提分作业”
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