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2025年湖南省中考数学一轮复习
第十一讲　函数的表达式 学生版
知识要点 对点练习
1.一次函数表达式 (1)确定正比例函数表达式:将正比例函数图象上原点外的一点坐标(m,n)代入y=kx,可得k= ,则y= . (2)确定一次函数表达式 ①设:设一次函数的表达式为y=kx+b. ②代:将两点坐标A(m,n),B(c,d)代入表达式中,得到含k,b的方程组. ③解:解方程组,求得k,b的值. ④还原:将k,b的值代回表达式中,从而得出函数表达式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值: x…-213…y…7-2-8…
则y与x的函数表达式为( ) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1
2.反比例函数表达式 (1)反比例函数表达式的三种形式(k≠0): y=,y=kx-1, =k. (2)将反比例函数图象上任意一点坐标代入y=,可得k=xy,即可确定其表达式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1) (教材再开发·湘教九上P3T1改编)下列关系式中,y是x的反比例函数的是( ) A.y= B.y= C.y= D.-2xy=1 (2) 若反比例函数的图象经过点(3,-2),则该反比例函数的表达式为( ) A.y= B.y=- C.y= D.y=-
3.二次函数表达式 (1)二次函数表达式的三种形式 ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). ②顶点式:y=a( )2+k(a,h,k为常数,a≠0),顶点坐标是(h,k). ③交点式:y=a(x-x1)( ),其中x1,x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,a≠0. (2)确定二次函数的表达式 ①根据已知条件选择相应的表达式;②将已知点的坐标代入表达式,得方程组;③解方程组;④回代表达式. 3.(1) (教材再开发·湘教九下P15T3改编)已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为x=2,则这个二次函数的表达式为 . (2) 抛物线y=-x2+bx+c经过点(-1,0),且对称轴是直线x=1,该抛物线的表达式是 .
考点1　确定一次函数表达式
【例1】(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
【方法技巧】
确定一次函数表达式的方法
1.“公式”确定法:结合具体问题中各个量满足的公式,列一次函数表达式,如根据图象的面积公式.
2.待定系数法:设出对应表达式,将图象上的点代入求解.
【变式训练】
1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则y与x之间的关系式为( )
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5　 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x 　 D.y=15x+45.5
2.(2024·钦州模拟)一次函数y=kx+b经过点A(3,4),B(4,5),则表达式为 .
考点2　确定反比例函数表达式
【例2】 (2022·株洲中考)如图所示,矩形ABCD顶点A,D在y轴上,顶点C在第一象限,x轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,若反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为 .
【方法技巧】
确定反比例函数的表达式
1.一点法:将反比例函数图象上任一点代入y=,即可求得.
2.k的几何意义法:反比例函数图象上任意一点与坐标轴围成的矩形的面积为S,则k=S或-S.
【变式训练】
1. (2024·齐齐哈尔中考)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),S ABCO=3,则实数k的值为 .
2.(2024·盐城中考)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象,并把矩形直尺放在上面,如图.请根据图中信息,求:
(1)反比例函数表达式;(2)点C坐标.
考点3　求二次函数表达式
【例3】(教材原题·湘教版九年级下册·P23T1)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(0,2),C(2,0),求这个二次函数的表达式.
【思路点拨】设交点式y=a(x+1)(x-2),然后把B点坐标代入求出a即可.
【方法技巧】
求二次函数表达式的方法
已知条件 选用表达式的形式
已知抛物线上三点的坐标 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(小)值 y=a(x-h)2+k(a≠0), (h,k)为二次函数的顶点坐标
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标
【变式训练】
1.(2024·临夏州中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.求抛物线的表达式.
2.(2024·甘肃中考)如图,抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于O,A(4,0)两点,
顶点为B(2,2),点C为OB的中点.求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式.
考点4　二次函数最值
【例4】当火箭竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.经过多长时间,火箭到达它的最高点 最高点的高度是多少
【变式训练】
1.若抛物线y=x2-2x+m的最低点的纵坐标为n,则m-n的值是( )
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
2.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是( )
A.0C.2≤t≤4　 D.t≥2
1.(2023·永州中考)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2.(2023·邵阳中考)如图,矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=(k≠0)的图象上,点B的坐标为(2,4),则点E的坐标为( )
A.(4,4)　 B.(2,2) C.(2,4)　 D.(4,2)
3.(2024·湖南中考)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为 .
4.(2023·湘潭中考)如图,点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
(1)反比例函数y=的图象经过点C',求该反比例函数的表达式;
(2)一次函数图象经过A,A'两点,求该一次函数的表达式.
5.(2024·湖南中考)已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证:的值为定值;
(3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十一讲　函数的表达式 教师版
知识要点 对点练习
1.一次函数表达式 (1)确定正比例函数表达式:将正比例函数图象上原点外的一点坐标(m,n)代入y=kx,可得k= 　,则y= x　. (2)确定一次函数表达式 ①设:设一次函数的表达式为y=kx+b. ②代:将两点坐标A(m,n),B(c,d)代入表达式中,得到含k,b的方程组. ③解:解方程组,求得k,b的值. ④还原:将k,b的值代回表达式中,从而得出函数表达式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知y是x的一次函数,下表列出了部分对应值: x…-213…y…7-2-8…
则y与x的函数表达式为(D) A.y=-2x+1 B.y=2x-3 C.y=3x-1 D.y=-3x+1
2.反比例函数表达式 (1)反比例函数表达式的三种形式(k≠0): y=,y=kx-1,　xy　=k. (2)将反比例函数图象上任意一点坐标代入y=,可得k=xy,即可确定其表达式. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1) (教材再开发·湘教九上P3T1改编)下列关系式中,y是x的反比例函数的是(D) A.y= B.y= C.y= D.-2xy=1 (2) 若反比例函数的图象经过点(3,-2),则该反比例函数的表达式为(B) A.y= B.y=- C.y= D.y=-
3.二次函数表达式 (1)二次函数表达式的三种形式 ①一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). ②顶点式:y=a(　x-h　)2+k(a,h,k为常数,a≠0),顶点坐标是(h,k). ③交点式:y=a(x-x1)(　x-x2　),其中x1,x2是二次函数的图象与x轴交点的横坐标,a≠0. (2)确定二次函数的表达式 ①根据已知条件选择相应的表达式;②将已知点的坐标代入表达式,得方程组;③解方程组;④回代表达式. 3.(1) (教材再开发·湘教九下P15T3改编)已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为x=2,则这个二次函数的表达式为　y=(x-2)2-3　. (2) 抛物线y=-x2+bx+c经过点(-1,0),且对称轴是直线x=1,该抛物线的表达式是　y=-x2+2x+3　.
考点1　确定一次函数表达式
【例1】(2024·北京中考)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.
【自主解答】(1)由题意得将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,解得k=1.将k=1,(2,1),代入函数y=kx+b(k≠0)中,得,解得,∴k=1,b=-1.
(2)根据数形结合的思想解决,将问题转化为当x>2时,对于x的每一个值,直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方,画出临界状态图象分析即可.
∵k=1,b=-1,∴两个一次函数的解析式分别为y=x-1,y=-x+3,
当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=x-1的值,也大于函数y=-x+3的值,
即当x>2时,对于x的每一个值,直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方,则画出图象如下.
由图象,得当直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行时符合题意或者当y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行时的夹角也符合题意,
∴当直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行时,m=1,∴当x>2时,对于x的每一个值,直线y=mx(m≠0)的图象在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方时,m≥1,
∴m的取值范围为m≥1.
【方法技巧】
确定一次函数表达式的方法
1.“公式”确定法:结合具体问题中各个量满足的公式,列一次函数表达式,如根据图象的面积公式.
2.待定系数法:设出对应表达式,将图象上的点代入求解.
【变式训练】
1.(2024·山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则y与x之间的关系式为(A)
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5　 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x 　 D.y=15x+45.5
2.(2024·钦州模拟)一次函数y=kx+b经过点A(3,4),B(4,5),则表达式为　y=x+1　.
考点2　确定反比例函数表达式
【例2】 (2022·株洲中考)如图所示,矩形ABCD顶点A,D在y轴上,顶点C在第一象限,x轴为该矩形的一条对称轴,且矩形ABCD的面积为6,若反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为　3　.
【方法技巧】
确定反比例函数的表达式
1.一点法:将反比例函数图象上任一点代入y=,即可求得.
2.k的几何意义法:反比例函数图象上任意一点与坐标轴围成的矩形的面积为S,则k=S或-S.
【变式训练】
1. (2024·齐齐哈尔中考)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),S ABCO=3,则实数k的值为　-6　.
2.(2024·盐城中考)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象,并把矩形直尺放在上面,如图.请根据图中信息,求:
(1)反比例函数表达式;(2)点C坐标.
【解析】(1)由题图可知点A的坐标为(-3,2),
设反比例函数表达式为y=,
将(-3,2)代入,得2=,解得k=-6,
因此反比例函数表达式为y=-;
(2)∵点A的坐标为(-3,2),
∴设直线OA的表达式为y=mx,
则2=-3m,
∴m=-,
∴直线OA的表达式为y=-x,
由题中图象可知,直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC的表达式为y=-x+3,
联立方程组,
解得,(舍去),
∴C(-,4).
考点3　求二次函数表达式
【例3】(教材原题·湘教版九年级下册·P23T1)
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(0,2),C(2,0),求这个二次函数的表达式.
【思路点拨】设交点式y=a(x+1)(x-2),然后把B点坐标代入求出a即可.
【自主解答】设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-2),把(0,2)代入得a(0+1)(0-2)=2,解得a=-1,
所以抛物线的表达式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2.
【方法技巧】
求二次函数表达式的方法
已知条件 选用表达式的形式
已知抛物线上三点的坐标 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(小)值 y=a(x-h)2+k(a≠0), (h,k)为二次函数的顶点坐标
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标
【变式训练】
1.(2024·临夏州中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,作直线BC.求抛物线的表达式.
【解析】∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
2.(2024·甘肃中考)如图,抛物线y=a(x-h)2+k交x轴于O,A(4,0)两点,
顶点为B(2,2),点C为OB的中点.求抛物线y=a(x-h)2+k的表达式.
【解析】由题意得:y=a(x-2)2+2,
将点A的坐标代入上式得:0=a×(4-2)2+2,
解得:a=-,
抛物线y=a(x-h)2+k的表达式为y=+2x.
考点4　二次函数最值
【例4】当火箭竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.经过多长时间,火箭到达它的最高点 最高点的高度是多少
【自主解答】h=-5t2+150t+10,
化为h=-5(t-15)2+1 135.
经过15 s,火箭达到最大高度,最大高度为1 135 m.
【变式训练】
1.若抛物线y=x2-2x+m的最低点的纵坐标为n,则m-n的值是(C)
A.-1　 B.0　 C.1　 D.2
2.(2024·乐山中考)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是(C)
A.0C.2≤t≤4　 D.t≥2
1.(2023·永州中考)已知点M(2,a)在反比例函数y=的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则点M一定在(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2.(2023·邵阳中考)如图,矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=(k≠0)的图象上,点B的坐标为(2,4),则点E的坐标为(D)
A.(4,4)　 B.(2,2) C.(2,4)　 D.(4,2)
3.(2024·湖南中考)在一定条件下,乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若某乐器的弦长l为0.9米,振动频率f为200赫兹,则k的值为　180　.
4.(2023·湘潭中考)如图,点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点.将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC'.
(1)反比例函数y=的图象经过点C',求该反比例函数的表达式;
(2)一次函数图象经过A,A'两点,求该一次函数的表达式.
【解析】(1)∵点A的坐标是(-3,0),点B的坐标是(0,4),点C为OB中点,
∴OA=3,OB=4,BC=2,
将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A'BC',
∴C'(2,4),
∵反比例函数y=的图象经过点C',
∴k=2×4=8,
∴该反比例函数的表达式为y=;
(2)作A'H⊥y轴于H.
∵∠AOB=∠A'HB=∠ABA'=90°,
∴∠ABO+∠A'BH=90°,
∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠A'BH,
∵BA=BA',
∴△AOB≌△BHA'(AAS),
∴OA=BH,OB=A'H,
∵OA=3,OB=4,
∴BH=OA=3,A'H=OB=4,∴OH=1,
∴A'(4,1),
设一次函数的表达式为y=ax+b,
把A(-3,0),A'(4,1)代入得,,
解得,
∴该一次函数的表达式为y=x+.
5.(2024·湖南中考)已知二次函数y=-x2+c的图象经过点A(-2,5),点P(x1,y1),Q(x2,y2)是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)如图1,此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D,连接AC,DQ,PQ.若x2=x1+3,求证:的值为定值;
(3)如图2,点P在第二象限,x2=-2x1,若点M在直线PQ上,且横坐标为x1-1,过点M作MN⊥x轴于点N,求线段MN长度的最大值.
【解析】(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得:5=-4+c,则c=9,
即抛物线的表达式为y=-x2+9;
(2)为定值,理由:
令y=-x2+9=0,则x=±3,则点B(3,0),
由点A,B的坐标得,直线AB的表达式为y=-x+3,
设点P,Q,D的坐标分别为(x1,-+9),(x2,-+9),(x1,-x1+3),
则S△PDQ=×PD×(xQ-xP)=×(-+9+x1-3)(x2-x1)=(-+x1+6),
同理可得:S△ADC=×CD×(xD-xA)
=(-+x1+6),
则=3为定值;
(3)点P,Q的坐标分别为(x1,-+9),(-2x1,-4+9),
由点P,Q的坐标得,直线PQ的表达式为y=x1(x-x1)-+9=xx1-2+9,
则MN=yM=(x1-1)x1-2+9=-(x1+)2+≤,故MN的最大值为.
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