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2025年湖南省中考数学一轮复习
第九讲　平面直角坐标系及函数初步 学生版
知识要点
1.点的坐标
(1)坐标:过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应数a,b分别叫做点P的 和 .有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
(2)坐标与距离:P(a,b)到x轴的距离为 ,到y轴的距离为 ,到原点的距离为 .
对点练习
1.(1)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到x轴的距离为( )
A.1 B. C. D.3
(2)在平面直角坐标系中,第一象限内的点P(a+3,a)到y轴的距离是5,则a的值为( )
A.-8 B.2或-8 C.2 D.8
知识要点
2.平面直角坐标系中点的坐标特征
点 P(x,y) 在第一象限 x>0,y>0
在第二象限
在第三象限
在第四象限
对点练习
2.(教材再开发·湘教八下P85例2改编)点P(-2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知识要点
3.与坐标轴有关的点的坐标特征
(1)若点P(a,b)在x轴上,则 =0;在y轴上,则 =0;
(2)若多个点在平行于x轴的直线上,则 相同;
(3)若多个点在平行于y轴的直线上,则 相同.
对点练习
3.若点P(m+1,m-1)在x轴上,则点P的坐标是( )
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
知识要点
4.对称点的坐标特征
点P(a,b) 关于x轴对称点P1(a,-b)
关于y轴对称点P2(-a,b)
关于原点对称点P3(-a,-b)
关于直线y=x的对称点P4(b,a)
关于直线y=-x的对称点P5(-b,-a)
对点练习
4. 已知点A(-3,2),B(3,2),则A,B两点相距(D)
A.3个单位长度 B.5个单位长度
C.4个单位长度 D.6个单位长度
知识要点
5.点的平移规律
点P(x,y), 若a>0,b>0 向右平移a个单位,得对应点是( ,y)
向左平移a个单位,得对应点是( ,y)
向上平移b个单位,得对应点是(x, )
向下平移b个单位,得对应点是(x, )
对点练习
5.(教材再开发·湘教八下P99T1改编)在平面直角坐标系中,将点A(-2,-3)向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点B,则点B的坐标为(D)
A.(0,-3) B.(-4,-7)
C.(4,-3) D.(0,-7)
知识要点
6.函数及其相关概念
(1)函数:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有 的值与它对应,那么我们称 是x的函数,其中x是自变量.
(2)自变量的取值范围:使得函数有意义的自变量所能取值的范围.
(3)函数的三种常见表示方法: 、图象法、 .
对点练习
6.函数y=自变量x的取值范围是( )
A.x≠3 B.x≤5
C.x≤5且x≠3 D.x<5且x≠3
考点1　坐标系中点的坐标特征
【例1】(2024·天津模拟)下列各点中,在第二象限的点是( )
A.(-4,5)　 B.(-1,-3)
C.(0,2)　 D.(7,-6)
【方法技巧】
判断点所属象限——看正负
横坐标为正,属第一或第四象限;纵坐标为负,属第三或第四象限.
提醒:坐标轴上的点不属于任何象限.
【变式训练】
1.(2024·滨州中考)若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是( )
A.a>　 B.a<
C.02.(2024·贵州中考)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考点2　点的坐标与位置变化
【例2】(2024·江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为 .
【方法技巧】
点的位置变化与坐标关系
1.两个点关于坐标轴对称:横轴对称横坐标不变;纵轴对称纵坐标不变.
2.点的平移:左右平移,横坐标加减;上下平移,纵坐标加减.
提醒:图形的轴对称变化就是点的对称变化;图形的平移就是点的平移.
【变式训练】
1.(2024·雅安中考)在平面直角坐标系中,将点P(1,-1)向右平移2个单位后,得到的点P1关于x轴的对称点坐标是( )
A.(1,1)　 B.(3,1)
C.(3,-1)　 D.(1,-1)
2.(2024·成都中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是( )
A.(-1,-4)　 B.(-1,4)
C.(1,4)　 D.(1,-4)
考点3　函数自变量的取值范围
【例3】(2024·内江中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
【方法技巧】
　常见函数类型自变量的取值范围
类型 自变量的取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为零的实数
二次根式型 使被开方数为非负数的实数
组合型 各个代数式中自变量取值范围的公共部分
提醒:在实际问题中,自变量的取值要使实际问题有意义.
【变式训练】
1.(2024·泸州中考)函数y=的自变量x的取值范围是 .
2.(2024·龙东中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是 .
考点4　从函数图象中获取信息
【例4】(教材原题·湘教版八年级下册·P114例2)
某天7时,小明从家骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.图中反映了他骑车的整个过程,结合图象,回答下列问题:
(1)自行车发生故障是在什么时间 此时离家有多远
(2)修车花了多长时间 修好车后又花了多长时间到达学校
(3)小明从家到学校的平均速度是多少
【思路点拨】根据图象发现离家距离随时间的变化关系.离家距离不变时说明此时没有移动.
【方法技巧】
从函数图象中获取信息的关键
(1)明确“两轴”所表示的意义;
(2)通过图象的形状、位置、变化趋势来获取信息;
(3)结合两个变量的关系,做出合理的推断.
【变式训练】
1.(2024·呼伦贝尔中考)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的过程是:该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆.图中用x表示时间,y表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:
(1)体育场离该同学家2.5 km;
(2)该同学在体育场锻炼了15 min;
(3)该同学跑步前平均速度是步行平均速度的2倍;
(4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,则a的值是3.75;
其中正确结论的个数是( )
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
2.(2024·青海中考)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是(D)
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%
1.(2024·长沙中考)在平面直角坐标系中,将点P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标为(D)
A.(1,5)　 B.(5,5) C.(3,3)　 D.(3,7)
2.(2022·益阳中考)已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表,则这个函数的表达式可以是( )
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A.y=2x B.y=x-1
C.y= D.y=x2
3.(2022·永州中考)学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心,牢记使命”主题教育活动.师生队伍从学校出发,匀速行走30分钟到达烈士陵园,用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动,之后队伍按原路匀速步行45分钟返校.设师生队伍离学校的距离为y米,离校的时间为x分钟,则下列图象能大致反映y与x关系的是( )
4.(2024·湖南中考)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若x,y均为整数,则称点P为“整点”,特别地,当(其中xy≠0)的值为整数时,称“整点”P为“超整点”.已知点P(2a-4,a+3)在第二象限,下列说法正确的是( )
A.a<-3
B.若点P为“整点”,则点P的个数为3个
C.若点P为“超整点”,则点P的个数为1个
D.若点P为“超整点”,则点P到两坐标轴的距离之和大于10
5.(2023·郴州中考)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是(D)
A.途中修车花了30 min
B.修车之前的平均速度是500 m/min
C.车修好后的平均速度是800 m/min
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
6.(2022·邵阳中考)若有意义,则x的取值范围是 .
7.(2023·株洲中考)血压包括收缩压和舒张压,分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是:90~140 mmHg,舒张压的正常范围是:60~90 mmHg.现有五人A,B,C,D,E的血压测量值统计如下:
则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有 个.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第九讲　平面直角坐标系及函数初步 教师版
知识要点
1.点的坐标
(1)坐标:过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应数a,b分别叫做点P的　横坐标　和　纵坐标　.有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.
(2)坐标与距离:P(a,b)到x轴的距离为　|b|　,到y轴的距离为　|a|　,到原点的距离为 　.
对点练习
1.(1)在平面直角坐标系中,点P(1,-)到x轴的距离为(B)
A.1 B. C. D.3
(2)在平面直角坐标系中,第一象限内的点P(a+3,a)到y轴的距离是5,则a的值为(C)
A.-8 B.2或-8 C.2 D.8
知识要点
2.平面直角坐标系中点的坐标特征
点 P(x,y) 在第一象限 x>0,y>0
在第二象限 　x<0,y>0　
在第三象限 　x<0,y<0　
在第四象限 　x>0,y<0　
对点练习
2.(教材再开发·湘教八下P85例2改编)点P(-2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是(B)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
知识要点
3.与坐标轴有关的点的坐标特征
(1)若点P(a,b)在x轴上,则　b　=0;在y轴上,则　a　=0;
(2)若多个点在平行于x轴的直线上,则　纵坐标　相同;
(3)若多个点在平行于y轴的直线上,则　横坐标　相同.
对点练习
3.若点P(m+1,m-1)在x轴上,则点P的坐标是(A)
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
知识要点
4.对称点的坐标特征
点P(a,b) 关于x轴对称点P1(a,-b)
关于y轴对称点P2(-a,b)
关于原点对称点P3(-a,-b)
关于直线y=x的对称点P4(b,a)
关于直线y=-x的对称点P5(-b,-a)
对点练习
4. 已知点A(-3,2),B(3,2),则A,B两点相距(D)
A.3个单位长度 B.5个单位长度
C.4个单位长度 D.6个单位长度
知识要点
5.点的平移规律
点P(x,y), 若a>0,b>0 向右平移a个单位,得对应点是(　x+a　,y)
向左平移a个单位,得对应点是(　x-a　,y)
向上平移b个单位,得对应点是(x,　y+b　)
向下平移b个单位,得对应点是(x,　y-b　)
对点练习
5.(教材再开发·湘教八下P99T1改编)在平面直角坐标系中,将点A(-2,-3)向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到点B,则点B的坐标为(D)
A.(0,-3) B.(-4,-7)
C.(4,-3) D.(0,-7)
知识要点
6.函数及其相关概念
(1)函数:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有　唯一　的值与它对应,那么我们称　y　是x的函数,其中x是自变量.
(2)自变量的取值范围:使得函数有意义的自变量所能取值的范围.
(3)函数的三种常见表示方法:　列表法　、图象法、　关系式法　.
对点练习
6.函数y=自变量x的取值范围是(C)
A.x≠3 B.x≤5
C.x≤5且x≠3 D.x<5且x≠3
考点1　坐标系中点的坐标特征
【例1】(2024·天津模拟)下列各点中,在第二象限的点是(A)
A.(-4,5)　 B.(-1,-3)
C.(0,2)　 D.(7,-6)
【方法技巧】
判断点所属象限——看正负
横坐标为正,属第一或第四象限;纵坐标为负,属第三或第四象限.
提醒:坐标轴上的点不属于任何象限.
【变式训练】
1.(2024·滨州中考)若点P(1-2a,a)在第二象限,那么a的取值范围是(A)
A.a>　 B.a<
C.02.(2024·贵州中考)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考点2　点的坐标与位置变化
【例2】(2024·江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度得到点B,则点B的坐标为　(3,4)　.
【方法技巧】
点的位置变化与坐标关系
1.两个点关于坐标轴对称:横轴对称横坐标不变;纵轴对称纵坐标不变.
2.点的平移:左右平移,横坐标加减;上下平移,纵坐标加减.
提醒:图形的轴对称变化就是点的对称变化;图形的平移就是点的平移.
【变式训练】
1.(2024·雅安中考)在平面直角坐标系中,将点P(1,-1)向右平移2个单位后,得到的点P1关于x轴的对称点坐标是(B)
A.(1,1)　 B.(3,1)
C.(3,-1)　 D.(1,-1)
2.(2024·成都中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(B)
A.(-1,-4)　 B.(-1,4)
C.(1,4)　 D.(1,-4)
考点3　函数自变量的取值范围
【例3】(2024·内江中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是　x≠0　.
【方法技巧】
　常见函数类型自变量的取值范围
类型 自变量的取值范围
整式型 全体实数
分式型 使分母不为零的实数
二次根式型 使被开方数为非负数的实数
组合型 各个代数式中自变量取值范围的公共部分
提醒:在实际问题中,自变量的取值要使实际问题有意义.
【变式训练】
1.(2024·泸州中考)函数y=的自变量x的取值范围是　x≥-2　.
2.(2024·龙东中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是　x≥3　.
考点4　从函数图象中获取信息
【例4】(教材原题·湘教版八年级下册·P114例2)
某天7时,小明从家骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续骑行,按时赶到了学校.图中反映了他骑车的整个过程,结合图象,回答下列问题:
(1)自行车发生故障是在什么时间 此时离家有多远
(2)修车花了多长时间 修好车后又花了多长时间到达学校
(3)小明从家到学校的平均速度是多少
【思路点拨】根据图象发现离家距离随时间的变化关系.离家距离不变时说明此时没有移动.
【自主解答】(1)从横坐标看出,自行车发生故障的时间是7:05;从纵坐标看出,此时离家1 000 m.
(2)从横坐标看出,小明修车花了15 min;小明修好车后又花了10 min到达学校.
(3)从纵坐标看出,小明家离学校2 100 m;从横坐标看出,他在路上共花了30 min,因此,他从家到学校的平均速度是2 100÷30=70(m/min).
【方法技巧】
从函数图象中获取信息的关键
(1)明确“两轴”所表示的意义;
(2)通过图象的形状、位置、变化趋势来获取信息;
(3)结合两个变量的关系,做出合理的推断.
【变式训练】
1.(2024·呼伦贝尔中考)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映的过程是:该同学从家跑步去体育场,在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐,饭后骑自行车到图书馆.图中用x表示时间,y表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论:
(1)体育场离该同学家2.5 km;
(2)该同学在体育场锻炼了15 min;
(3)该同学跑步前平均速度是步行平均速度的2倍;
(4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍,则a的值是3.75;
其中正确结论的个数是(C)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
2.(2024·青海中考)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是(D)
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%
1.(2024·长沙中考)在平面直角坐标系中,将点P(3,5)向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标为(D)
A.(1,5)　 B.(5,5) C.(3,3)　 D.(3,7)
2.(2022·益阳中考)已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表,则这个函数的表达式可以是(A)
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A.y=2x B.y=x-1
C.y= D.y=x2
3.(2022·永州中考)学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心,牢记使命”主题教育活动.师生队伍从学校出发,匀速行走30分钟到达烈士陵园,用1小时在烈士陵园进行了祭扫和参观学习等活动,之后队伍按原路匀速步行45分钟返校.设师生队伍离学校的距离为y米,离校的时间为x分钟,则下列图象能大致反映y与x关系的是(A)
4.(2024·湖南中考)在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),若x,y均为整数,则称点P为“整点”,特别地,当(其中xy≠0)的值为整数时,称“整点”P为“超整点”.已知点P(2a-4,a+3)在第二象限,下列说法正确的是(C)
A.a<-3
B.若点P为“整点”,则点P的个数为3个
C.若点P为“超整点”,则点P的个数为1个
D.若点P为“超整点”,则点P到两坐标轴的距离之和大于10
5.(2023·郴州中考)第11届中国(湖南)矿物宝石国际博览会在我市举行,小方一家上午9:00开车前往会展中心参观.途中汽车发生故障,原地修车花了一段时间.车修好后,他们继续开车赶往会展中心.以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息,下列说法正确的是(D)
A.途中修车花了30 min
B.修车之前的平均速度是500 m/min
C.车修好后的平均速度是800 m/min
D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍
6.(2022·邵阳中考)若有意义,则x的取值范围是　x>2　.
7.(2023·株洲中考)血压包括收缩压和舒张压,分别代表心脏收缩时和舒张时的压力.收缩压的正常范围是:90~140 mmHg,舒张压的正常范围是:60~90 mmHg.现有五人A,B,C,D,E的血压测量值统计如下:
则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有　3　个.
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