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2025年湖南省中考数学一轮复习
第十讲　函数的图象与性质 学生版
知识要点 对点练习
1.函数的图象 (1)定义: 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的 坐标和 坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形. (2)画函数图象的一般步骤: 列表、 、 . 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如果某函数的图象如图所示,那么y随x的增大而( ) A.增大 B.减小 C.不变 D.有时增大有时减小
2.一次函数的图象与性质 名称一次函数正比例函数概念形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数形如y=kx(k≠0)的函数图象 形状过点(0,b)且平行于y=kx的一条直线过原点的一条直线作图 方法过点(0,0),(1,k)作直线.性质k>0,图象必过第 象限,y随x的增大而 ; k<0,图象必过第二、四象限,y随x的增大而 .
2.(教材再开发·湘教八下P125例3改编)一次函数y=-2x+1的图象大致是( )
3.反比例函数的图象与性质 概念图象 ,它有两个分支且关于 对称. 所在 象限k>0,在第 象限 k<0,在第 象限 性质k>0,在每一象限内,y随x的增大而 k<0,在每一象限内,y随x的增大而
3.已知反比例函数y=-,下列说法正确的是( ) A.图象经过点(-3,-1) B.y随x的增大而增大 C.若点P(-1,y1)和点Q(2,y2)在函数图象上,则y1续表
知识要点 对点练习
4.二次函数的图象与性质 概念形如y= +c(a,b,c是常数,a≠0)的函数 对称轴顶点a的符号a>0a<0开口方向开口向上开口向下最值最低(高)点有最低点有最高点增减性在对称轴左侧,y随x的增大而 ; 在对称轴右侧,y随x的增大而 在对称轴左侧,y随x的增大而 ; 在对称轴右侧,y随x的增大而
4.(1)已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是( ) A.图象的开口向下 B.图象的顶点坐标是(1,3) C.当x<1时,y随x的增大而减小 D.图象与x轴有唯一交点 (2)(教材再开发·湘教九下P12T1改编)已知抛物线y=2(x-3)2+1,下列结论错误的是( ) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=3 C.抛物线的顶点坐标为(3,1) D.当x<3时,y随x的增大而增大 (3)抛物线y=x2-4x-6的对称轴是 .
考点1　一次函数的图象
【例1】 (2024·德阳中考)正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则k的值可能是( )
A.　 B.-　 C.-1　 D.-
【方法技巧】
一次函数图象的判定方法
k k>0,过一、三象限;k<0,过二、四象限.
b b>0,过一、二象限;b<0,过三、四象限.
特殊点 y=kx必过原点; y=kx-k必过(1,0); y=kx+k必过(-1,0)
【变式训练】
1.(2024·临夏州中考)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,它的图象不经过的象限是( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2. (2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是( )
A. (-,0)　 B. (,0)
C.(0,3)　 D.(0,-3)
考点2　反比例函数的图象与性质
【例2】(2024·广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0A.y1<0C.y1【方法技巧】
反比例函数图象上多点函数值的大小判断
1.求值法:
(1)k值已知,将各个点的横坐标代入,求值后再比较大小.
(2)赋值法:k值未知,可根据k的正负,取定一个k值,再代入各个点的横坐标求值比较.
2.图象法:
根据k的正负,画出反比例函数的草图.结合各个点的横坐标描出各个点,直观确定函数值的大小.
提醒:不能忽略反比例函数增减性前提是在各自象限内,直接根据k的正负比较.
【变式训练】
1.(2024·天津中考)若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是( )
A.x1C.x32.(2024·重庆中考A卷)已知点(-3,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为( )
A.-3　 B.3　 C.-6　 D.6
考点3　二次函数的图象与性质
【例3】(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的有多少个( )
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n(mA.1　 B.2　 C.3　 D.4
【方法技巧】
二次函数图象与a,b,c的关系
项目 符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b=0 对称轴为y轴
ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【变式训练】
1.(2024·湛江模拟)函数y=-x2+1的图象大致为( )
2. (2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
考点4　一次函数性质的综合应用
【例4】(教材原题·湘教版八年级下册·P128T6)
正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=x+k的图象大致是( )
【方法技巧】
一次函数y=kx+b的性质与k,b的关系
1.一次函数y=kx+b与y轴交于点(0,b),b的正负决定一次函数与y轴交点的位置.
2.对一次函数y=kx+b,k>0,图象过第一、三象限,y随x的增大而增大;k<0,图象过第二、四象限,y随x的增大而减小.
提醒:若一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的图象垂直(或y1是由y2旋转90°得到的),则k1·k2=-1.
【变式训练】
(2024·湛江模拟)已知一次函数y=-x+2,下列说法不正确的是( )
A.图象与x轴的交点坐标是(0,2)
B.图象经过第一、二、四象限
C.y随x的增大而减小
D.图象与两坐标轴围成的三角形面积为2
1.(2022·株洲中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为( )
A.(0,-1) B. (-,0)
C. (,0) D.(0,1)
2.(2024·长沙中考)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是( )
A.它的图象与y轴交于点(0,-1)
B.y随x的增大而减小
C.当x>时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
3.(2021·株洲中考)点A(x1,y1),B(x1+1,y2)是反比例函数y=图象上的两点,满足:当x1>0时,均有y14.(2022·株洲中考)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在函数y1=(x<0),y2=(x>0,k>0)的图象上,点C在第二象限内,AC⊥x轴于点P,BC⊥y轴于点Q,连接AB,PQ,已知点A的纵坐标为-2.
(1)求点A的横坐标;
(2)记四边形APQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十讲　函数的图象与性质 教师版
知识要点 对点练习
1.函数的图象 (1)定义: 把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的　横　坐标和　纵　坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形. (2)画函数图象的一般步骤: 列表、　描点　、　连线　. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如果某函数的图象如图所示,那么y随x的增大而(B) A.增大 B.减小 C.不变 D.有时增大有时减小
2.一次函数的图象与性质 名称一次函数正比例函数概念形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数形如y=kx(k≠0)的函数图象 形状过点(0,b)且平行于y=kx的一条直线过原点的一条直线作图 方法过点(0,0),(1,k)作直线.性质k>0,图象必过第　一、三　象限,y随x的增大而　增大　; k<0,图象必过第二、四象限,y随x的增大而　减小　.
2.(教材再开发·湘教八下P125例3改编)一次函数y=-2x+1的图象大致是(C)
3.反比例函数的图象与性质 概念图象　是双曲线　,它有两个分支且关于　原点　对称. 所在 象限k>0,在第　一、三　象限 k<0,在第　二、四　象限 性质k>0,在每一象限内,y随x的增大而　减小　 k<0,在每一象限内,y随x的增大而　增大　
3.已知反比例函数y=-,下列说法正确的是(D) A.图象经过点(-3,-1) B.y随x的增大而增大 C.若点P(-1,y1)和点Q(2,y2)在函数图象上,则y1续表
知识要点 对点练习
4.二次函数的图象与性质 概念形如y=　ax2+bx　+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数 对称轴顶点a的符号a>0a<0开口方向开口向上开口向下最值最低(高)点有最低点有最高点增减性在对称轴左侧,y随x的增大而　减小　; 在对称轴右侧,y随x的增大而　增大　 在对称轴左侧,y随x的增大而　增大　; 在对称轴右侧,y随x的增大而　减小　
4.(1)已知二次函数y=-x2+2x+4,则下列关于这个函数图象和性质的说法,正确的是(A) A.图象的开口向下 B.图象的顶点坐标是(1,3) C.当x<1时,y随x的增大而减小 D.图象与x轴有唯一交点 (2)(教材再开发·湘教九下P12T1改编)已知抛物线y=2(x-3)2+1,下列结论错误的是(D) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=3 C.抛物线的顶点坐标为(3,1) D.当x<3时,y随x的增大而增大 (3)抛物线y=x2-4x-6的对称轴是　直线x=2　.
考点1　一次函数的图象
【例1】 (2024·德阳中考)正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示,则k的值可能是(A)
A.　 B.-　 C.-1　 D.-
【方法技巧】
一次函数图象的判定方法
k k>0,过一、三象限;k<0,过二、四象限.
b b>0,过一、二象限;b<0,过三、四象限.
特殊点 y=kx必过原点; y=kx-k必过(1,0); y=kx+k必过(-1,0)
【变式训练】
1.(2024·临夏州中考)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,它的图象不经过的象限是(A)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
2. (2024·青海中考)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点是(A)
A. (-,0)　 B. (,0)
C.(0,3)　 D.(0,-3)
考点2　反比例函数的图象与性质
【例2】(2024·广西中考)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0A.y1<0C.y1【方法技巧】
反比例函数图象上多点函数值的大小判断
1.求值法:
(1)k值已知,将各个点的横坐标代入,求值后再比较大小.
(2)赋值法:k值未知,可根据k的正负,取定一个k值,再代入各个点的横坐标求值比较.
2.图象法:
根据k的正负,画出反比例函数的草图.结合各个点的横坐标描出各个点,直观确定函数值的大小.
提醒:不能忽略反比例函数增减性前提是在各自象限内,直接根据k的正负比较.
【变式训练】
1.(2024·天津中考)若点A(x1,-1),B(x2,1),C(x3,5)都在反比例函数y=的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是(B)
A.x1C.x32.(2024·重庆中考A卷)已知点(-3,2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则k的值为(C)
A.-3　 B.3　 C.-6　 D.6
考点3　二次函数的图象与性质
【例3】(2024·遂宁中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的对称轴为直线x=-1,且该抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴的交点B在(0,-2),(0,-3)之间(不含端点),则下列结论正确的有多少个(B)
①abc>0;
②9a-3b+c>0;
③④若方程ax2+bx+c=x+1两根为m,n(mA.1　 B.2　 C.3　 D.4
【方法技巧】
二次函数图象与a,b,c的关系
项目 符号 图象的特征
a a>0 开口向上
a<0 开口向下
b b=0 对称轴为y轴
ab>0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧
ab<0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c c=0 经过原点
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
【变式训练】
1.(2024·湛江模拟)函数y=-x2+1的图象大致为(B)
2. (2024·贵州中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是(D)
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
考点4　一次函数性质的综合应用
【例4】(教材原题·湘教版八年级下册·P128T6)
正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=x+k的图象大致是(A)
【方法技巧】
一次函数y=kx+b的性质与k,b的关系
1.一次函数y=kx+b与y轴交于点(0,b),b的正负决定一次函数与y轴交点的位置.
2.对一次函数y=kx+b,k>0,图象过第一、三象限,y随x的增大而增大;k<0,图象过第二、四象限,y随x的增大而减小.
提醒:若一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的图象垂直(或y1是由y2旋转90°得到的),则k1·k2=-1.
【变式训练】
(2024·湛江模拟)已知一次函数y=-x+2,下列说法不正确的是(A)
A.图象与x轴的交点坐标是(0,2)
B.图象经过第一、二、四象限
C.y随x的增大而减小
D.图象与两坐标轴围成的三角形面积为2
1.(2022·株洲中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=5x+1的图象与y轴的交点的坐标为(D)
A.(0,-1) B. (-,0)
C. (,0) D.(0,1)
2.(2024·长沙中考)对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是(A)
A.它的图象与y轴交于点(0,-1)
B.y随x的增大而减小
C.当x>时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
3.(2021·株洲中考)点A(x1,y1),B(x1+1,y2)是反比例函数y=图象上的两点,满足:当x1>0时,均有y14.(2022·株洲中考)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别在函数y1=(x<0),y2=(x>0,k>0)的图象上,点C在第二象限内,AC⊥x轴于点P,BC⊥y轴于点Q,连接AB,PQ,已知点A的纵坐标为-2.
(1)求点A的横坐标;
(2)记四边形APQB的面积为S,若点B的横坐标为2,试用含k的代数式表示S.
【解析】(1)∵点A在函数y1=(x<0)的图象上,点A的纵坐标为-2,∴-2=,解得x=-1,∴点A的横坐标为-1;
(2)∵点B在函数y2=(x>0,k>0)的图象上,点B的横坐标为2,
∴B(2,),∴PC=OQ=,BQ=2,
∵A(-1,-2),∴OP=CQ=1,AP=2,
∴AC=2+,BC=1+2=3,
∴S=S△ABC-S△PQC
=BC·AC-PC·CQ
=×3×(2+)-××1=3+.
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