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2025年湖南省中考数学一轮复习
第十五讲　函数的实际应用 学生版
知识要点 对点练习
1.一次函数中的折线图象应用 (1)先确定 的坐标; (2)求出对应线段的 ; (3)根据表达式求相关点的坐标(如交点坐标). 2.应用一次函数求最值问题 (1)根据题中数量的等量关系来列 表达式. (2)由一元一次不等式求出自变量的取值范围; (3)由一次函数的 确定最值. 1.现代物流的高速发展,为乡村振兴提供了良好条件.某物流公司的汽车行驶30 km后进入高速路,在高速路上匀速行驶一段时间后,再在乡村道路上行驶1 h到达目的地.汽车行驶的时间x(单位:h)与行驶的路程y(单位:km)之间的关系如图所示.请结合图象,判断以下说法正确的是( ) A.汽车在高速路上行驶了2.5 h B.汽车在高速路上行驶的路程是180 km C.汽车在高速路上行驶的平均速度是72 km/h D.汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40 km/h
3.反比例函数的实际应用 根据图象或表格确定 函数表达式,再解决实际问题. 2.(教材再开发·湘教九上P15例题改编)收音机刻度盘上的频率f(kHz)是波长λ(m)的反比例函数,其函数图象如图所示,当λ=1 000 m时,该频道的频率为 kHz.
4.应用二次函数解决实际问题的方法 (1)根据题意得出二次函数 及自变量的取值范围; (2)根据表达式确定顶点坐标,确定最值;或根据对称轴及增减性求取值范围内的最值. 3.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,当出售价格是 元时,才能使利润最大.
考点1　一次函数在行程问题中的应用
【例1】(2024·牡丹江中考)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,沿公路经B地到C地,乙车从C地出发,沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车比甲车早小时到达目的地.甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间x h的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是 km/h,并在图中括号内填上正确的数;
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两车出发多少小时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
【方法技巧】
一次函数求解行程问题的关键
关键1:弄清各个点的含义,求出相应坐标;
关键2:求出相关线段对应的一次函数表达式,借助一次函数表达式求关键点.
【变式训练】
1.(2024·广州模拟)随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎.打车总费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:千米)的函数关系如图所示.如果小明某次打车行驶里程为22千米,则他的打车费用为( )
A.33元　 B.36元　 C.40元　 D.42元
2.(2024·龙东中考)甲、乙两货车分别从相距225 km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是 km/h,乙货车的速度是 km/h;
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
考点2　应用一次函数的性质解最优化问题
【例2】(2024·眉山中考)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
【方法技巧】
用一次函数的性质解决方案问题
1.最优化问题就是利用一次函数的性质解决如何购买费用最少、如何出售利润最大等问题.
2.构建一次函数,并确定其增减变化,根据自变量的范围,作出最优化判断.
【变式训练】
(2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少 并求出最少总费用.
考点3　反比例函数图象的实际应用
【例3】(2024·吉林中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围).
(2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I.
【方法技巧】
反比例函数实际应用的两大特点
1.已知一个点的坐标,求表达式;
2.应用表达式求另一个点的坐标解决问题.
【变式训练】
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品,如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB段是恒温阶段,BC段是双曲线y=的一部分,请根据图中信息解答下列问题:
(1)求k的值;
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15 ℃的时间有多少小时
考点4　应用二次函数解决面积最大问题
【例4】(2024·湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围);
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由;
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
【方法技巧】
应用二次函数解决面积最大问题的思路
1.根据图形面积公式,列出二次函数表达式.
2.由配方法或顶点法,求得最大值.
提醒:注意最大值不一定是顶点的纵坐标,需注意自变量的取值范围.
【变式训练】
如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为 m2.
考点5　应用二次函数解决利润问题
【例5】(教材原题·湘教版九年级下册·P32T3)
某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品,并投放市场进行试销.经过调查,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系y=-10x+700.
(1)销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大 最大利润为多少
(2)若物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,那么销售单价如何定位才能获取最大利润
【思路点拨】(1)根据题意,可以写出利润与销售单价之间的函数关系式,然后根据二次函数的性质,即可得到销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为多少;
(2)根据(1)中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,可以得到当单价为多少时,才能获得最大利润.
【方法技巧】
应用二次函数解决利润问题
1.列出此类二次函数的依据:
利润=单件利润×销售数量或利润=总售价-总成本.
2.有时根据函数图象所求的一次函数表达式就是销售数量, 而此类问题也与一次函数有关.
【变式训练】
(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中(,)是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
考点6　应用二次函数解决抛物线形问题
【例6】(2024·成都一模)为了美化校园,某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池,喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米,点A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.O位于圆形喷水池中心的水面处,按照如图所示建立直角坐标系,该设计水流与OA的水平距离为1米处时,喷出的水柱可以达到最大高度3米.
(1)求出该抛物线的函数表达式;
(2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外,需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离,则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理
【方法技巧】
1.已知抛物线表达式或给定可求解的表达式.
2.结合给定的抛物线表达式,确定抛物线的顶点坐标或抛物线与x轴、y轴交点等解决实际问题.
【变式训练】
(2024·商洛二模)根据以下素材,探索解决下列问题.
素材1:图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图,其下半部分是一个长为20 m,宽为1 m的矩形,其上半部分是一条抛物线,现测得,大棚顶部的最高点距离地面5 m.以矩形长的中点为原点O,竖直方向为y轴,水平方向为x轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,大棚顶部的最高点为P.
素材2:为了让苗木更好生长需要在大棚内安装补光灯,补光灯采用吊装模式悬挂在顶部,已知补光灯在距离地面3.5 m时补光效果最好.
(1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式;
(2)若在距离B处水平距离7.5 m的地方挂补光灯,为了使补光效果最好,求补光灯
1.(2022·郴州中考)科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I( )、电阻R(Ω)三者之间的关系:I=,测得数据如下:
R(Ω) 100 200 220 400
I( ) 2.2 1.1 1 0.55
那么,当电阻R=55 Ω时,电流I= A.
2.冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会举办后,冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1 400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元.
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少;
(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元
3.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG,DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长 此时最大面积为多少
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十五讲　函数的实际应用 教师版
知识要点 对点练习
1.一次函数中的折线图象应用 (1)先确定　拐点　的坐标; (2)求出对应线段的　一次函数表达式　; (3)根据表达式求相关点的坐标(如交点坐标). 2.应用一次函数求最值问题 (1)根据题中数量的等量关系来列　一次函数　表达式. (2)由一元一次不等式求出自变量的取值范围; (3)由一次函数的　增减性　确定最值. 1.现代物流的高速发展,为乡村振兴提供了良好条件.某物流公司的汽车行驶30 km后进入高速路,在高速路上匀速行驶一段时间后,再在乡村道路上行驶1 h到达目的地.汽车行驶的时间x(单位:h)与行驶的路程y(单位:km)之间的关系如图所示.请结合图象,判断以下说法正确的是(D) A.汽车在高速路上行驶了2.5 h B.汽车在高速路上行驶的路程是180 km C.汽车在高速路上行驶的平均速度是72 km/h D.汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40 km/h
3.反比例函数的实际应用 根据图象或表格确定　反比例　函数表达式,再解决实际问题. 2.(教材再开发·湘教九上P15例题改编)收音机刻度盘上的频率f(kHz)是波长λ(m)的反比例函数,其函数图象如图所示,当λ=1 000 m时,该频道的频率为　300　kHz.
4.应用二次函数解决实际问题的方法 (1)根据题意得出二次函数　表达式　及自变量的取值范围; (2)根据表达式确定顶点坐标,确定最值;或根据对称轴及增减性求取值范围内的最值. 3.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,当出售价格是　65　元时,才能使利润最大.
考点1　一次函数在行程问题中的应用
【例1】(2024·牡丹江中考)一条公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发,沿公路经B地到C地,乙车从C地出发,沿公路驶向B地.甲、乙两车同时出发,匀速行驶,乙车比甲车早小时到达目的地.甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间x h的函数关系如图所示,请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是　　　　　km/h,并在图中括号内填上正确的数;
(2)求图中线段EF所在直线的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围);
(3)请直接写出两车出发多少小时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
【自主解答】(1)由图可知,甲车小时行驶的路程为(200-180)km,
∴甲车行驶的速度是(200-180)÷=70(km/h),70×(4+)=300(km),
填图如下:
答案:70
(2)由图可知E,F的坐标分别为(,0),(4,180),
设线段EF所在直线的函数表达式为y=kx+b,则,解得,
∴线段EF所在直线的函数表达式为y=120x-300;
(3)由题意知,A,C两地的距离为(4+)×70=300(km),
乙车行驶的速度为300÷-70=50(km/h),C,B两地的距离为50×4=200(km),
A,B两地的距离为300-200=100(km),
设两车出发x小时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍,
分两种情况,当甲、乙相遇前时,200-50x=3(100-70x),解得x=;
当甲、乙相遇后时,200-50x=3(70x-100),解得x=;
综上可知,两车出发 h或 h时,乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
【方法技巧】
一次函数求解行程问题的关键
关键1:弄清各个点的含义,求出相应坐标;
关键2:求出相关线段对应的一次函数表达式,借助一次函数表达式求关键点.
【变式训练】
1.(2024·广州模拟)随着“互联网+”时代的到来,一种新型的打车方式受到大众欢迎.打车总费用y(单位:元)与行驶里程x(单位:千米)的函数关系如图所示.如果小明某次打车行驶里程为22千米,则他的打车费用为(C)
A.33元　 B.36元　 C.40元　 D.42元
2.(2024·龙东中考)甲、乙两货车分别从相距225 km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　km/h,乙货车的速度是　　　　　km/h;
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
【解析】(1)甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30(km/h);乙货车的速度是(225-105)×2÷6=40(km/h).
答案:30　40
(2)∵3.5+0.5=4(h),6-0.5=5.5(h),∴点E(4,105),F(5.5,225).
设线段EF对应的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,且k≠0).
将坐标E(4,105)和F(5.5,225)分别代入y=kx+b,得,
解得,
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y=80x-215(4≤x≤5.5).
(3)线段CM对应的函数表达式为y=225-40x=-40x+225(0≤x≤3),线段MN对应的函数表达式为y=105+40(x-3)=40x-15(3当0≤x≤3时,甲货车离配货站的距离为(105-30x)km,乙货车离配货站的距离为-40x+225-105=(-40x+120)km,
根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得105-30x=-40x+120,解得x=;
当3根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”,得105-30x=40x-120,解得x=;
当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时,两车与配货站的距离相等,根据“相遇时两车与A地距离相等”,80x-215=40x-15,解得x=5;
∴出发 h或 h或5 h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.
考点2　应用一次函数的性质解最优化问题
【例2】(2024·眉山中考)眉山是“三苏”故里,文化底蕴深厚.近年来眉山市旅游产业蓬勃发展,促进了文创产品的销售,某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同.每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元.
(1)求A,B两款文创产品每件的进价各是多少元.
(2)已知A款文创产品每件售价为100元,B款文创产品每件售价为80元,根据市场需求,商店计划再用不超过7 400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售,问:怎样进货才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是多少元
【自主解答】(1)设A款文创产品每件的进价a元,则B款文创产品每件的进价是(a-15)元,根据题意得:=,解得:a=80,经检验,a=80是原分式方程的解,
80-15=65(元).
答:A款文创产品每件的进价80元,则B款文创产品每件的进价是65元.
(2)设购进A款文创产品x件,则购进B款文创产品(100-x)件,总利润为w,根据题意得:80x+65(100-x)≤7 400,解得:x≤60,∴w=(100-80)x+(80-65)(100-x)=5x+1 500,
∵k=5>0,w随x的增大而增大,∴当x=60时,利润最大,w最大=5×60+1 500=1 800.
答:购进A款文创产品60件,购进B款文创产品40件,才能使销售完后获得的利润最大,最大利润是1 800元.
【方法技巧】
用一次函数的性质解决方案问题
1.最优化问题就是利用一次函数的性质解决如何购买费用最少、如何出售利润最大等问题.
2.构建一次函数,并确定其增减变化,根据自变量的范围,作出最优化判断.
【变式训练】
(2024·广安中考)某小区物管中心计划采购A,B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
(1)求A,B两种花卉的单价.
(2)该物管中心计划采购A,B两种花卉共计10 000株,其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍,当A,B两种花卉分别采购多少株时,总费用最少 并求出最少总费用.
【解析】(1)设A种花卉的单价为x元,B种花卉的单价为y元.
由题意得:,解得:,
答:A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元;
(2)设采购A种花卉m株,则B种花卉(10 000-m)株,总费用为w元.
由题意得:w=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000,∵m≤4(10 000-m),解得:m≤8 000,
在w=-2m+50 000中,∵-2<0,∴w随m的增大而减小,
∴当m=8 000时w的值最小,w=-2×8 000+50 000=34 000,
此时10 000-m=2 000,
答:当购进A种花卉8 000株,B种花卉2 000株时,总费用最少,最少费用为34 000元.
考点3　反比例函数图象的实际应用
【例3】(2024·吉林中考)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围).
(2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I.
【自主解答】(1)设这个反比例函数的表达式为I=(U≠0),
把(9,4)代入I=(U≠0)中得4=(U≠0),解得U=36,
∴这个反比例函数的表达式为I=;
(2)在I=中,当R=3 Ω时,I==12 A,
∴此时的电流I为12 A.
【方法技巧】
反比例函数实际应用的两大特点
1.已知一个点的坐标,求表达式;
2.应用表达式求另一个点的坐标解决问题.
【变式训练】
某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品,如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后,大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象,其中AB段是恒温阶段,BC段是双曲线y=的一部分,请根据图中信息解答下列问题:
(1)求k的值;
(2)恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15 ℃的时间有多少小时
【解析】(1)把B(12,20)代入y=中得:k=12×20=240;
(2)设AD的表达式为y=mx+n.
把(0,10),(2,20)代入y=mx+n中得:,
解得,∴AD的表达式为y=5x+10,
当y=15时,15=5x+10,x=1.
15=,解得x=16,16-1=15.
答:恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15 ℃的时间有15小时.
考点4　应用二次函数解决面积最大问题
【例4】(2024·湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围);
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由;
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
【自主解答】(1)∵2x+y=80,∴y=-2x+80,∵S=xy,∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x;
(2)∵y≤42,∴-2x+80≤42,∴x≥19,∴19≤x<40,
当S=750时,-2x2+80x=750,x2-40x+375=0,(x-25)(x-15)=0,
∴x=25,∴当x=25 m时,矩形实验田的面积S能达到750 m2;
(3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,∴当x=20时,S有最大值,最大值是800 m2.
【方法技巧】
应用二次函数解决面积最大问题的思路
1.根据图形面积公式,列出二次函数表达式.
2.由配方法或顶点法,求得最大值.
提醒:注意最大值不一定是顶点的纵坐标,需注意自变量的取值范围.
【变式训练】
如图,用一段长为16 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏(墙足够长),则这个围栏的最大面积为　32　m2.
考点5　应用二次函数解决利润问题
【例5】(教材原题·湘教版九年级下册·P32T3)
某工艺厂设计了一款成本为10元/件的产品,并投放市场进行试销.经过调查,发现每天的销售量y(件)与销售单价x(元)存在一次函数关系y=-10x+700.
(1)销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大 最大利润为多少
(2)若物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,那么销售单价如何定位才能获取最大利润
【思路点拨】(1)根据题意,可以写出利润与销售单价之间的函数关系式,然后根据二次函数的性质,即可得到销售单价定为多少时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为多少;
(2)根据(1)中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定,该产品的最高销售单价不得超过35元,可以得到当单价为多少时,才能获得最大利润.
【自主解答】(1)设销售利润为w元,
w=(x-10)(-10x+700)=-10(x-40)2+9 000,∴当x=40时,
w取得最大值,此时w=9 000,
答:销售单价定为40元时,该厂每天获取的利润最大,最大利润为9 000元;
(2)∵w=-10(x-40)2+9 000,x≤35,
∴当x=35时,w取得最大值,此时w=8 750,
答:销售单价为35元时,才能获取最大利润.
【方法技巧】
应用二次函数解决利润问题
1.列出此类二次函数的依据:
利润=单件利润×销售数量或利润=总售价-总成本.
2.有时根据函数图象所求的一次函数表达式就是销售数量, 而此类问题也与一次函数有关.
【变式训练】
(2024·新疆中考)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为:y1=5x;成本y2(万元)与销售量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中(,)是其顶点.
(1)求出成本y2关于销售量x的函数表达式;
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润 最大利润是多少
(注:利润=销售额-成本)
【解析】(1)由题意,∵顶点为(,),
∴可设抛物线为y2=a(x-)2+.
又抛物线过(2,4),∴a×+=4.∴a=1.∴y2=(x-)2+.
(2)由题意,当销售量x=时,成本最低为y2=,又销售量在0.4吨至3.5吨之间时,销售额y1(万元)与销售量x(吨)的函数表达式为y1=5x,
∴当x=时,销售额为y1=5x=5×=2.5.∴此时利润为2.5-=0.75(万元).
答:当成本最低时,销售产品所获利润是0.75万元.
(3)由题意,利润=y1-y2
=5x-(x-)2-
=-x2+6x-2
=-(x-3)2+7.
∵-1<0,
∴当x=3时,利润取最大值,最大值为7.
答:当销售量是3吨时,可获得最大利润,最大利润是7万元.
考点6　应用二次函数解决抛物线形问题
【例6】(2024·成都一模)为了美化校园,某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池,喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米,点A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.O位于圆形喷水池中心的水面处,按照如图所示建立直角坐标系,该设计水流与OA的水平距离为1米处时,喷出的水柱可以达到最大高度3米.
(1)求出该抛物线的函数表达式;
(2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外,需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离,则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理
【自主解答】(1)∵喷出的水流距OA 1米处时达到最大高度3米,
∴抛物线的顶点坐标为(1,3),设水流所在抛物线表达式为y=a(x-1)2+3,
∵OA=2米,∴A(0,2),将A(0,2)代入y=a(x-1)2+3得:a×(0-1)2+3=2,解得:a=-1,∴水流所在抛物线表达式为y=-(x-1)2+3;
(2)当y=0时,-(x-1)2+3=0,解得:x1=+1,x2=-+1(不符合题意,舍去),
+1+1=+2.
答:该圆形喷水池的半径至少设计为(+2)米合理.
【方法技巧】
1.已知抛物线表达式或给定可求解的表达式.
2.结合给定的抛物线表达式,确定抛物线的顶点坐标或抛物线与x轴、y轴交点等解决实际问题.
【变式训练】
(2024·商洛二模)根据以下素材,探索解决下列问题.
素材1:图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图,其下半部分是一个长为20 m,宽为1 m的矩形,其上半部分是一条抛物线,现测得,大棚顶部的最高点距离地面5 m.以矩形长的中点为原点O,竖直方向为y轴,水平方向为x轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,大棚顶部的最高点为P.
素材2:为了让苗木更好生长需要在大棚内安装补光灯,补光灯采用吊装模式悬挂在顶部,已知补光灯在距离地面3.5 m时补光效果最好.
(1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式;
(2)若在距离B处水平距离7.5 m的地方挂补光灯,为了使补光效果最好,求补光灯悬挂部分的长度.(灯的大小忽略不计)
【解析】(1)根据题图中的坐标系以及题意可得,点P的坐标为(0,5),点B的坐标为(10,1),∵抛物线的顶点坐标为点P(0,5),∴可设抛物线的函数表达式为y=ax2+5,
把点B(10,1)代入,得100a+5=1,解得a=-.∴抛物线的函数表达式为y=-x2+5.
(2)10-7.5=2.5(m),当x=2.5时,y=-×2.52+5=4.75,
∵4.75-3.5=1.25(m),∴补光灯悬挂部分的长度应是1.25 m.
1.(2022·郴州中考)科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系:I=,测得数据如下:
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
那么,当电阻R=55 Ω时,电流I=　4　A.
2.(2022·衡阳中考)冰墩墩(BingDwenDwen)、雪容融(ShueyRhonRhon)分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物.冬奥会举办后,冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶.决定从该网店进货并销售.第一次小雅用1 400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个,已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元,销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元,每个雪容融玩偶可获利20元.
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少;
(2)第二次小雅进货时,网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少元
【解析】(1)设冰墩墩的进价为x元/个,雪容融的进价为y元/个,
由题意可得:解得
答:冰墩墩的进价为72元/个,雪容融的进价为64元/个;
(2)设冰墩墩购进a个,则雪容融购进(40-a)个,利润为w元,
由题意可得:w=28a+20(40-a)=8a+800,∴w随a的增大而增大,
∵网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍,
∴a≤1.5(40-a),解得a≤24,∴当a=24时,w取得最大值,此时w=992,40-a=16,
答:冰墩墩购进24个,雪容融购进16个时才能获得最大利润,最大利润是992元.
3.(2022·湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙,围成Ⅰ,Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:
(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1 m的水池,且需保证总种植面积为32 m2,试分别确定CG,DG的长;
(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长 此时最大面积为多少
【解析】(1)∵(21-12)÷3=3(m),∴Ⅰ,Ⅱ两块矩形的面积为12×3=36(m2),
设水池长为a m,则水池的面积为a×1=a(m2),∴36-a=32,解得a=4,∴DG=4 m,
∴CG=CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8 m,DG的长为4 m;
(2)设BC长为x m,则CD长度为21-3x,
∴总种植面积为(21-3x)·x=-3(x2-7x)=-3(x-)2+,∵-3<0,
∴当x=时,总种植面积有最大值为 m2,
答:BC应设计为 m,此时总种植面积最大,最大面积为 m2.
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