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2025年湖南省中考数学一轮复习
第十三讲　函数图象的平移、轴对称变换 学生版
知识要点 对点练习
1.一次函数图象的平移 (1)左右平移: y=kx+b向左平移a个单位长度:y= k +b, 向右平移a个单位长度:y=k +b; (2)上下平移: y=kx+b向上平移a个单位长度:y=kx+ ,向下平移a个单位长度:y=kx+ . 1.(1)将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为( ) A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2) (2)在平面直角坐标系中,将直线y=2x+b沿y轴向下平移2个单位后恰好经过原点,则b的值为( ) A.-2 B.2 C.4 D-4
2.函数关于坐标轴的对称 函数y=kx+by=ax2+bx+c关于x轴 对称y= y= 关于y轴 对称y= y= 关于原点 对称y=kx-by=
　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1)直线y=-x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是 . (2)(教材再开发·湘教九下P37T3改编)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.(1)在同一平面直角坐标系内,将抛物线y=(x-1)2+3先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度后所得抛物线的顶点坐标为( ) A.(2,0) B.(2,6) C.(0,6) D.(0,0) (2)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的表达式为( ) A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 (3)抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是 .
考点1　一次函数图象的平移
【例1】(2024·许昌模拟)在平面直角坐标系中,要得到函数y=2x-1的图象,只需要将函数y=2x的图象( )
A.向上平移1个单位长度
B.向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
【方法技巧】
一次函数图象平移规律
左加右减,给x加减;上加下减,给函数整体加减.
提醒:若一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的图象平行,则k1=k2.
【变式训练】
(2024·鞍山模拟)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是( )
A.1C.m>1　 D.m<4
考点2　二次函数的平移
【例2】(2024·山东中考改编)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值;
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.求新的二次函数的表达式.
【方法技巧】
二次函数图象平移变化的关键
1.顶点变换法:先确定原二次函数图象的顶点坐标,然后确定平移后的图象的顶点坐标,最后用顶点式确定函数的表达式.
2.左加右减,上加下减:左右平移是对x加减;上下平移是直接在表达式后面加减.
【变式训练】
1.(2023·西藏中考)将抛物线y=(x-1)2+5通过平移后,得到抛物线的表达式为y=x2+2x+3,则平移的方向和距离是( )
A.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
2.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为( )
A.y=(x+1)2-3　 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3　 D.y=(x-1)2-2
考点3　函数图象的轴对称
【例3】(2022·湘西州中考)已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线y=-x+b与新图象有4个交点时,b的取值范围是 .
【方法技巧】
关于函数图象轴对称问题的解题思路
1.分清对称轴,关于x轴和y轴对称,所对应的函数表达式不同.
2.分清函数图象对称是全体,还是部分.
3.关键是确定对称前后的表达式,画出草图分析判断.
【变式训练】
1.已知二次函数y=x2-2tx+t2+t,将其图象在直线x=1左侧部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,组成图形G.在图形G上任取一点M,点M的纵坐标y的取值满足y≥m或yn.令s=m-n,则s的取值范围是( )
A.s≤0 B.0≤s≤2
C.s≤2 D.s≥2
2. (2023·株洲渌口区一模)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的表达式为y=-a(x-1)2+2a,a+c= ,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是 .
1.(2022·娄底中考)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于( )
A.向左平移2个单位
B.向左平移1个单位
C.向右平移2个单位
D.向右平移1个单位
2.(2023·娄底中考)将直线y=2x+1向右平移2个单位所得直线的表达式为( )
A.y=2x-1　
B.y=2x-3
C.y=2x+3　
D.y=2x+5
3.(2021·郴州中考)将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x-h)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式;
(2)如图,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值.
4.(2023·衡阳中考)如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B,C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B',C'两点.在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,请求出直线BP的表达式;若不存在,请说明理由.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十三讲　函数图象的平移、轴对称变换 教师版
知识要点 对点练习
1.一次函数图象的平移 (1)左右平移: y=kx+b向左平移a个单位长度:y= k　(x+a)　+b, 向右平移a个单位长度:y=k　(x-a)　+b; (2)上下平移: y=kx+b向上平移a个单位长度:y=kx+　b+a　,向下平移a个单位长度:y=kx+　b-a　. 1.(1)将直线y=5x向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为(A) A.y=5x-2 B.y=5x+2 C.y=5(x+2) D.y=5(x-2) (2)在平面直角坐标系中,将直线y=2x+b沿y轴向下平移2个单位后恰好经过原点,则b的值为(B) A.-2 B.2 C.4 D-4
2.函数关于坐标轴的对称 函数y=kx+by=ax2+bx+c关于x轴 对称y=　-kx-b　 y=　-ax2-bx-c　 关于y轴 对称y=　-kx+b　 y=　ax2-bx+c　 关于原点 对称y=kx-by=　-ax2+bx-c　
　　　　　　　　　　　　　　　　 2.(1)直线y=-x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是　y=x-1　. (2)(教材再开发·湘教九下P37T3改编)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x-1先绕原点旋转180°,再向下平移5个单位,所得到的抛物线的顶点坐标是　(1,-3)　.
3.将抛物线y=ax2的顶点平移到(h,k)处,平移方法如下: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.(1)在同一平面直角坐标系内,将抛物线y=(x-1)2+3先向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度后所得抛物线的顶点坐标为(D) A.(2,0) B.(2,6) C.(0,6) D.(0,0) (2)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的表达式为(D) A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3 C.y=x2+1 D.y=x2-1 (3)抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线的顶点坐标是　(3,5)　.
考点1　一次函数图象的平移
【例1】(2024·许昌模拟)在平面直角坐标系中,要得到函数y=2x-1的图象,只需要将函数y=2x的图象(B)
A.向上平移1个单位长度
B.向下平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度
【方法技巧】
一次函数图象平移规律
左加右减,给x加减;上加下减,给函数整体加减.
提醒:若一次函数y1=k1x+b1,y2=k2x+b2的图象平行,则k1=k2.
【变式训练】
(2024·鞍山模拟)把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是(C)
A.1C.m>1　 D.m<4
考点2　二次函数的平移
【例2】(2024·山东中考改编)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值;
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.求新的二次函数的表达式.
【自主解答】(1)∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,
∴4a+2b-3=-3,解得:b=-2a,∴抛物线为y=ax2-2ax-3,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1,∴m=1;
(2)∵点Q(1,-4)在y=ax2-2ax-3的图象上,
∴a-2a-3=-4,解得:a=1,∴抛物线为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.
【方法技巧】
二次函数图象平移变化的关键
1.顶点变换法:先确定原二次函数图象的顶点坐标,然后确定平移后的图象的顶点坐标,最后用顶点式确定函数的表达式.
2.左加右减,上加下减:左右平移是对x加减;上下平移是直接在表达式后面加减.
【变式训练】
1.(2023·西藏中考)将抛物线y=(x-1)2+5通过平移后,得到抛物线的表达式为y=x2+2x+3,则平移的方向和距离是(D)
A.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
D.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
2.(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为(A)
A.y=(x+1)2-3　 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3　 D.y=(x-1)2-2
考点3　函数图象的轴对称
【例3】(2022·湘西州中考)已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线y=-x+b与新图象有4个交点时,b的取值范围是　-【方法技巧】
关于函数图象轴对称问题的解题思路
1.分清对称轴,关于x轴和y轴对称,所对应的函数表达式不同.
2.分清函数图象对称是全体,还是部分.
3.关键是确定对称前后的表达式,画出草图分析判断.
【变式训练】
1.已知二次函数y=x2-2tx+t2+t,将其图象在直线x=1左侧部分沿x轴翻折,其余部分保持不变,组成图形G.在图形G上任取一点M,点M的纵坐标y的取值满足y≥m或yn.令s=m-n,则s的取值范围是(D)
A.s≤0 B.0≤s≤2
C.s≤2 D.s≥2
2. (2023·株洲渌口区一模)把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的表达式为y=-a(x-1)2+2a,a+c=　0　,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是　4　.
1.(2022·娄底中考)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于(B)
A.向左平移2个单位
B.向左平移1个单位
C.向右平移2个单位
D.向右平移1个单位
2.(2023·娄底中考)将直线y=2x+1向右平移2个单位所得直线的表达式为(B)
A.y=2x-1　
B.y=2x-3
C.y=2x+3　
D.y=2x+5
3.(2021·郴州中考)将抛物线y=ax2(a≠0)向左平移1个单位,再向上平移4个单位后,得到抛物线H:y=a(x-h)2+k.抛物线H与x轴交于点A,B,与y轴交于点C.已知A(-3,0),点P是抛物线H上的一个动点.
(1)求抛物线H的表达式;
(2)如图,点P在线段AC上方的抛物线H上运动(不与A,C重合),过点P作PD⊥AB,垂足为D,PD交AC于点E.作PF⊥AC,垂足为F,求△PEF的面积的最大值.
【解析】(1)由题意得抛物线的顶点坐标为(-1,4),
∴抛物线H:y=a(x+1)2+4,将A(-3,0)代入,得a(-3+1)2+4=0,解得a=-1,
∴抛物线H的表达式为y=-(x+1)2+4;
(2)由(1)知:y=-x2-2x+3,令x=0,得y=3,∴C(0,3),
设直线AC的表达式为y=mx+n,∵A(-3,0),C(0,3),
∴,解得,∴直线AC的表达式为y=x+3,
设P(m,-m2-2m+3),则E(m,m+3),∴PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m=-+,
∵-1<0,∴当m=-时,PE有最大值,∵OA=OC=3,∠AOC=90°,
∴△AOC是等腰直角三角形,∴∠ACO=45°,∵PD⊥AB,∴∠ADP=90°,
∴∠ADP=∠AOC,∴PD∥OC,∴∠PEF=∠ACO=45°,
∵PF⊥AC,∴△PEF是等腰直角三角形,∴PF=EF=PE,
∴S△PEF=PF·EF=PE2,∴当m=-时,S△PEF最大值=×=.
4.(2023·衡阳中考)如图,已知抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接AC,过B,C两点作直线.
(1)求a的值.
(2)将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B',C'两点.在直线B'C'上方的抛物线上是否存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大 若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)抛物线上是否存在点P,使∠PBC+∠ACO=45° 若存在,请求出直线BP的表达式;若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)∵抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0),
∴a+2a+3=0,∴a=-1.
(2)存在定点D,无论m取何值时,都是点D到直线B'C'的距离最大.
∵y=-x2+2x+3,
当x=0时,y=3,∴C(0,3),当y=0时,-x2+2x+3=0,
解得:x1=-1,x2=3,∴B(3,0),设直线BC的表达式为y=kx+b,
则,解得,∴直线BC的表达式为y=-x+3,
∵将直线BC向下平移m(m>0)个单位长度,交抛物线于B',C'两点,
∴直线B'C'的表达式为y=-x+3-m,设D(t,-t2+2t+3),
过点D作DE∥y轴,交B'C'于点E,作DF⊥B'C'于点F,设直线B'C'交y轴于点G,如图,
∴E(t,-t+3-m),∴DE=-t2+2t+3-(-t+3-m)=-t2+3t+m,
∵OB=OC=3,∠BOC=90°,∴∠BCO=∠CBO=45°,
∵B'C'∥BC,∴∠B'GO=∠BCO=45°,∵DE∥y轴,
∴∠DEF=∠B'GO=45°,∵∠DFE=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,
∴DF=DE=(-t2+3t+m)=-+(+m),∵-<0,
∴当t=时,DF取得最大值(+m),此时点D的坐标为(,).
(3)存在.当∠PBC在BC的下方时,在y轴正半轴上取点M(0,1),连接BM交抛物线于点P,如图,
∵A(-1,0),B(3,0),C(0,3),M(0,1),
∴OB=OC=3,OM=OA=1,∠BOM=∠COA=90°,∴△BOM≌△COA(SAS),
∴∠MBO=∠ACO,∵∠CBO=45°,∴∠CBP+∠MBO=45°,
∴∠CBP+∠ACO=45°,
设直线BM的表达式为y=k'x+b',则,解得,
∴直线BM的表达式为y=-x+1;
当∠PBC在BC的上方时,作点M关于直线BC的对称点M',如图,连接MM',CM',直线BM'交抛物线于P,
由对称得:MM'⊥BC,CM'=CM=2,∠BCM'=∠BCM=45°,∴∠MCM'=90°,
∴M'(2,3),则直线BM'的表达式为y=-3x+9;
综上所述,抛物线上存在点P,使∠PBC+∠ACO=45°,直线BP的表达式为y=-x+1或y=-3x+9.
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