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2025年湖南省中考数学一轮复习
第十四讲　函数与方程、不等式的关系 学生版
知识要点 对点练习
1.一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数y=kx+b的表达式是一个 方程. (2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程 的根. (3)一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图象的 坐标就是方程组的解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)如图,直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1,则关于x的方程ax+b=0的解为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2),则关于x的方程kx+b=2x的解是 .
2.一次函数与不等式的关系 (1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式 的解集. (2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式 的解集. (3)直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2, 当直线l1在直线l2上方时,y1 y2; 当直线l1在直线l2下方时,y1 y2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如图,一次函数y=x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(m,2),则关于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集为 .
3.反比例函数与不等式 反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b有两个交点. (1)y1>y2或>k2x+b的解集: ; (2)y1y2时,x的取值范围是( ) A.x<-1或x>2 B.x<-1或02
续表
知识要点 对点练习
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与方程的关系 (1)当y=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的 坐标. (2)①b2-4ac>0 抛物线与x轴有 个交点; ②b2-4ac=0 抛物线与x轴有且只有 个交点; ③b2-4ac<0 抛物线与x轴有 个交点. 4.(1)若二次函数y=x2-(m-1)x的图象经过点(4,0),则关于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根为 . (2)函数y=kx2+x+1(k为常数)的图象与坐标轴有两个交点,则k的值为 .
5.二次函数与含a,b,c不等式的关系 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集 抛物线位于 上方对应的点的横坐标的取值范围. (2)不等式ax2+bx+c<0的解集 抛物线位于 下方对应的点的横坐标的取值范围. (3)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m相交: ①ax2+bx+ckx+m 二次函数图象在一次函数图象 . 5.如图,二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A,B两点,则不等式x2+bx+c考点1　一次函数与方程、不等式
【例1】(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
【变式训练】
1.(2024·扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为 .
2.(2024·呼伦贝尔中考)点P(x,y)在直线y=-x+4上,坐标(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,则点P的位置在( )
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考点2　反比例函数与一次函数的不等式
【例2】(2023·内蒙古中考)如图,直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=(k≠0)交于点A(-2,4)和点B(m,-2),则不等式0A.-2B.-2C.x<-2或0D.-24
【方法技巧】
反比例函数与一次函数的不等式解集确定方法
1.确定反比例函数与一次函数交点的横坐标是解题关键.
2.图象在上方的函数值大.
3.两个交点所在的直线x=x1和x=x2(与y轴),将图象分为几部分,根据划分区域,写出解集范围.
提醒:有时不等式组的解集有两部分,容易漏写其一;同时两个解集应用“或”字连接,而非“且”.
【变式训练】
(2024·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围 .
考点3　二次函数与方程、不等式
【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的有( )
A.2a+b>0 B.abc>0
C.4a-2b+c>0 D.a+c>0
【思路点拨】利用抛物线开口方向得a<0,利用对称轴方程得00,再根据当x=-2时,y<0等可以判断出答案.
【方法技巧】
二次函数的图象与方程、不等式的关系
1.ax2+bx+c=m(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c在函数值y=m时对应的x的值.
2.ax2+bx+c>m(a≠0) 抛物线y=ax2+bx+c在直线y=m上方对应的x的取值范围.
3.ax2+bx+c4.二次函数与系数a,b,c相关的不等式.
【变式训练】
1.(2024·福建模拟)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≥1成立的x的取值范围是( )
A.-1≤x≤3　 B.x≥-1
C.x≥1　 D.x≤-1或x≥3
2.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(-,n),与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(-6,y1),(5,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,则n<4.其中正确结论是 (请填写序号).
考点4　二次函数与x轴交点的个数
【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P28T4)
当t取什么值时,抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点
【思路点拨】当抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点时,则Δ=b2-4ac=0,即可求解.
【方法技巧】
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数关系
1.由Δ=b2-4ac与0的大小关系,可判断抛物线与x轴交点的个数.
2.由抛物线与x轴交点个数,可得相关字母系数的不等式.
【变式训练】
1.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数为( )
A.无交点　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.(2024·辽宁中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为 .
1.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x12.(2023·郴州中考)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m= .
3.(2022·岳阳中考)如图,反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B,点C是点A关于y轴的对称点,连接AC,BC.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)求△ABC的面积;
(3)请结合函数图象,直接写出不等式4.(2024·长沙中考)已知四个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象上.
(1)当A,B两点的坐标分别为(-1,-4),(3,4)时,求代数式2 024a+1 012b+的值;
(2)当A,B两点的坐标满足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由;
(3)当a>0时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足:2a2+2(y1+y2)a++=0,2a2-2(y3+y4)a++=0.请问是否存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1∶2∶3 若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:m·EF表示一条长度等于EF的m倍的线段).
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十四讲　函数与方程、不等式的关系 教师版
知识要点 对点练习
1.一次函数与方程(组)的关系 (1)一次函数y=kx+b的表达式是一个　二元一次　方程. (2)一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标是方程　kx+b=0　的根. (3)一次函数y=k1x+b1与一次函数y=k2x+b2的图象的　交点　坐标就是方程组的解. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(1)如图,直线y=ax+b(a≠0)与x轴交点的横坐标为1,则关于x的方程ax+b=0的解为(A) A.1 B.-1 C.2 D.-2 (2)如图,直线y=2x与y=kx+b相交于点P(1,2),则关于x的方程kx+b=2x的解是　x=1　.
2.一次函数与不等式的关系 (1)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式　kx+b>0　的解集. (2)直线y=kx+b在x轴下方的点的横坐标就是不等式　kx+b<0　的解集. (3)直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2, 当直线l1在直线l2上方时,y1　>　y2; 当直线l1在直线l2下方时,y1　<　y2. 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如图,一次函数y=x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于点A(m,2),则关于字母x的不等式kx+b≥x+1的解集为　x≤1　.
3.反比例函数与不等式 反比例函数y1=与一次函数y2=k2x+b有两个交点. (1)y1>y2或>k2x+b的解集:　xm　. 　　　　　　　　　　　　　　　　 3.如图,一次函数y1=x-1的图象与反比例函数y2=的图象交于点A(2,m),B(n,-2),当y1>y2时,x的取值范围是(D) A.x<-1或x>2 B.x<-1或02
续表
知识要点 对点练习
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与方程的关系 (1)当y=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的　横　坐标. (2)①b2-4ac>0 抛物线与x轴有　2　个交点; ②b2-4ac=0 抛物线与x轴有且只有　1　个交点; ③b2-4ac<0 抛物线与x轴有　0　个交点. 4.(1)若二次函数y=x2-(m-1)x的图象经过点(4,0),则关于x的一元二次方程x2-(m-1)x=0的根为　0或4　. (2)函数y=kx2+x+1(k为常数)的图象与坐标轴有两个交点,则k的值为　0或　.
5.二次函数与含a,b,c不等式的关系 (1)不等式ax2+bx+c>0的解集 抛物线位于　x轴　上方对应的点的横坐标的取值范围. (2)不等式ax2+bx+c<0的解集 抛物线位于　x轴　下方对应的点的横坐标的取值范围. (3)二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=kx+m相交: ①ax2+bx+ckx+m 二次函数图象在一次函数图象　上方　. 5.如图,二次函数y1=x2+bx+c与一次函数y2=mx+n的图象相交于A,B两点,则不等式x2+bx+c考点1　一次函数与方程、不等式
【例1】(2024·广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是(B)
【变式训练】
1.(2024·扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为　x=-2　.
2.(2024·呼伦贝尔中考)点P(x,y)在直线y=-x+4上,坐标(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解,则点P的位置在(D)
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
考点2　反比例函数与一次函数的不等式
【例2】(2023·内蒙古中考)如图,直线y=ax+b(a≠0)与双曲线y=(k≠0)交于点A(-2,4)和点B(m,-2),则不等式0A.-2B.-2C.x<-2或0D.-24
【方法技巧】
反比例函数与一次函数的不等式解集确定方法
1.确定反比例函数与一次函数交点的横坐标是解题关键.
2.图象在上方的函数值大.
3.两个交点所在的直线x=x1和x=x2(与y轴),将图象分为几部分,根据划分区域,写出解集范围.
提醒:有时不等式组的解集有两部分,容易漏写其一;同时两个解集应用“或”字连接,而非“且”.
【变式训练】
(2024·威海中考)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围　-1≤x<0或x≥2　.
考点3　二次函数与方程、不等式
【例3】(2023·湘潭三模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的有(D)
A.2a+b>0 B.abc>0
C.4a-2b+c>0 D.a+c>0
【思路点拨】利用抛物线开口方向得a<0,利用对称轴方程得00,再根据当x=-2时,y<0等可以判断出答案.
【方法技巧】
二次函数的图象与方程、不等式的关系
1.ax2+bx+c=m(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c在函数值y=m时对应的x的值.
2.ax2+bx+c>m(a≠0) 抛物线y=ax2+bx+c在直线y=m上方对应的x的取值范围.
3.ax2+bx+c4.二次函数与系数a,b,c相关的不等式.
【变式训练】
1.(2024·福建模拟)如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象,使y≥1成立的x的取值范围是(A)
A.-1≤x≤3　 B.x≥-1
C.x≥1　 D.x≤-1或x≥3
2.(2024·德阳中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为(-,n),与x轴的一个交点位于0和1之间,则以下结论:①abc>0;②5b+2c<0;③若抛物线经过点(-6,y1),(5,y2),则y1>y2;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根,则n<4.其中正确结论是　①②④　(请填写序号).
考点4　二次函数与x轴交点的个数
【例4】(教材原题·湘教版九年级下册·P28T4)
当t取什么值时,抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点
【思路点拨】当抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点时,则Δ=b2-4ac=0,即可求解.
【自主解答】由题意得:Δ=b2-4ac=(4t)2-4×5×(t2-1)=0,解得t=±,
∴t=-或时,抛物线y=5x2+4tx+t2-1与x轴有一个交点.
【方法技巧】
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数关系
1.由Δ=b2-4ac与0的大小关系,可判断抛物线与x轴交点的个数.
2.由抛物线与x轴交点个数,可得相关字母系数的不等式.
【变式训练】
1.抛物线y=x2-2x+1与坐标轴的交点个数为(C)
A.无交点　　　B.1　　　C.2　　　D.3
2.(2024·辽宁中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为　4　.
1.(2023·衡阳中考)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x12.(2023·郴州中考)已知抛物线y=x2-6x+m与x轴有且只有一个交点,则m=　9　.
3.(2022·岳阳中考)如图,反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B,点C是点A关于y轴的对称点,连接AC,BC.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)求△ABC的面积;
(3)请结合函数图象,直接写出不等式【解析】(1)把点A(-1,2)代入y=(k≠0)得2=,∴k=-2,
∴反比例函数的表达式为y=-;
(2)∵反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(-1,2)和点B,∴B(1,-2),∵点C是点A关于y轴的对称点,∴C(1,2),∴AC=2,
∴S△ABC=×2×(2+2)=4.
(3)根据图象得:不等式4.(2024·长沙中考)已知四个不同的点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)都在关于x的函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象上.
(1)当A,B两点的坐标分别为(-1,-4),(3,4)时,求代数式2 024a+1 012b+的值;
(2)当A,B两点的坐标满足a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并说明理由;
(3)当a>0时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足:2a2+2(y1+y2)a++=0,2a2-2(y3+y4)a++=0.请问是否存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1∶2∶3 若存在,求出m的值和此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注:m·EF表示一条长度等于EF的m倍的线段).
【解析】(1)将A(-1,-4),B(3,4)代入y=ax2+bx+c得,
②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.
所以2 024a+1 012b+=1 012(2a+b)+=2 024.
(2)此函数图象与x轴的公共点有两个.
方法1:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-或y2=-.
当a>0时,-<0,此抛物线开口向上,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方,此时该函数图象与x轴有两个公共点;
当a<0时,->0,此抛物线开口向下,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方,此时该函数图象与x轴也有两个公共点.
综上所述,此函数图象与x轴必有两个公共点.
方法2:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,得(a+2y1)(a+2y2)=0.可得y1=-或y2=-.
所以抛物线上存在纵坐标为-的点,即一元二次方程ax2+bx+c=-有解.
所以该方程根的判别式Δ=b2-4a(c+)≥0,即b2-4ac≥2a2.因为a≠0,所以b2-4ac>0.
所以原函数图象与x轴必有两个公共点.
方法3:由a2+2(y1+y2)a+4y1y2=0,可得y1=-或y2=-.
当y1=-时,有a+bx1+c=-,即a+bx1+=-c,
所以Δ=b2-4ac=b2+4a(a+bx1+)=2a2+(2ax1+b)2>0.
此时该函数图象与x轴有两个公共点.
当y2=-时,同理可得Δ>0,此时该函数图象与x轴也有两个公共点.
综上所述,该函数图象与x轴必有两个公共点.
(3)因为a>0,所以该函数图象开口向上.
由2a2+2(y1+y2)a++=0,得(a+y1)2+(a+y2)2=0,可得y1=y2=-a.
由2a2-2(y3+y4)a++=0,得(a-y3)2+(a-y4)2=0,可得y3=y4=a.
所以直线AB,CD均与x轴平行.
由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点,设E(x5,0),F(x6,0).
由图象可知-a>,即b2-4ac>4a2.
所以ax2+bx+c=-a的两根为x1,x2,可得AB=|x1-x2|=.
同理ax2+bx+c=a的两根为x3,x4,可得CD=|x3-x4|=.
同理ax2+bx+c=0的两根为x5,x6,可得m·EF=m·|x5-x6|=m·.
由于m>1,结合图象与计算可得AB若存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为1∶2∶3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形,所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当以线段CD为斜边,且两锐角分别为30°,60°时,因为m·EF>AB,
所以必须同时满足:AB2+(m·EF)2=CD2,m·EF=AB.
将上述各式代入化简可得m2=<=2,且m2=,
联立,解得b2-4ac=,m2==<2,解得m=>1符合要求.
所以m=,此时该函数的最小值为==-.
②当以线段m·EF为斜边时,必有AB2+CD2=(m·EF)2,同理代入化简可得
2(b2-4ac)=m2(b2-4ac),解得m=.
因为以线段EF为斜边,且有一个内角为60°,而CD>AB,
所以CD=AB·tan 60°,即=·,
化简得b2-4ac=8a2>4a2符合要求.
所以m=,此时该函数的最小值为==-2a.
综上所述,存在两个m的值符合题意;
当m=时,此时该函数的最小值为-;
当m=时,此时该函数的最小值为-2a.
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