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4.4.2 对数函数的图像和性质
第四章 指数函数与对数函数
学习目标
1.通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质
特征，并能解决问题。
2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。
我们该如何去研究对数函数的性质呢？
提出问题
列表
x 1/4 1/2 1 2 4
2 1 0 -1 -2
-2 -1 0 1 2
…
…
…
…
…
…
作图步骤：
1. 列表 2. 描点 3. 连线
问题1. 画出函数 和 的图象。
问题探究
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log2x
x 1/4 1/2 1 2 4
-2 -1 0 1 2
2 1 0 -1 -2
…
…
…
…
…
…
列表
问题探究
问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关
于 y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，
比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
描点
连线
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=log1/2x
y=log2x
x 1/4 1/2 1 2 4
…
…
…
…
…
…
-2 -1 0 1 2
2 1 0 -1 -2
列表
这两个函数的图象有什么关系呢？
关于x轴对称
问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
由此你能概括出对数函数 （a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？
问题探究
问题探究
y=logax（a>1）的图象
x
o
(1,0)
x =1
y = log x (a>1)
a
y
问题探究
y=logax（0x
y
x = 1
(1,0)
y = log x
(0a
o
问题探究

a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 ⑴定义域：
⑵值域：
⑶过特殊点：
⑷单调性 ： ⑷单调性：
（0，+∞）
R
过点（1，0），即x=1时y=0
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
x
o
(1,0)
x =1
y
x
y
x = 1
(1,0)
o
当 x > 1 时，y > 0;
当 0 < x < 1 时， y < 0.
当 x > 1 时，y < 0;
当 0 < x < 1 时， y > 0.
对数函数的图象和性质
对数函数的性质的助记口诀:
对数增减有思路, 函数图象看底数;
底数只能大于0, 等于1来也不行;
底数若是大于1, 图象从下往上增;
底数0到1之间, 图象从上往下减;
无论函数增和减, 图象都过(1,0)点.
记忆口诀
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5 ；
∴ log23.4< log28.5
解（1）:用对数函数的单调性
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵3.4<8.5
例题解析
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解（2）：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
例题解析
例1：比较下列各组中，两个值的大小：
（3） log a 5.1与 log a 5.9 （a＞０，且a≠１）
解（3）：考察函数log a 5.1与 log a 5.9 可看作函数y=log a x的
两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论
当a > 1时, 因为y=log a x是增函数，
且5.1 <5.9，所以log a 5.1 < log a 5.9 ；
当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数，
且5.1 <5.9，所以log a 5.1 > log a 5.9 ；
例题解析
归纳总结：当底数相同,真数不同时,利用对数函数的增减性比较大小。注意:当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。
归纳总结
练习1: 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108
⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6
⑷ log1.51.6 log1.51.4
＜
＜
＞
＞
跟踪训练
练习2：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0(4) log a m > log a n (a>1)
m < n
m < n
m > n
m > n
跟踪训练
例题解析
～
因此，函数 y = logax (a＞0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。
已知函数 y=2x （x∈R ，y ∈（0，+∞）） 可得到x=log2y ，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y ，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y （y∈（0，+∞））是函数 y=2x （ x∈R） 的反函数。
但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x，y，把它写成y=log2x ,这样，对数函数y=log2x （ x∈（0，+∞） ）是指数函数y=2x （x∈R ）的反函数。
反函数
图 象
性 质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
(4) a>1时, x<0,00,y>1
01;x>0,0(4) a>1时,01,y>0
00; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数；
0(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0x
y
o
1
指数函数、对数函数的图象和性质
当堂达标
解析：C　[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，
y＝logax是增函数，故选C.]
当堂达标
3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.
当堂达标
当堂达标
5.比较下列各组数中两个值的大小:
解:(1)∵log67＞log66＝1
　log76＜log77＝1
　 ∴log67＞log76
(2)∵log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
∴log3π＞log20.8
方法:当底数不同，真数不同时，
可考虑这些数与1或0的大小 。
当堂达标
6:解不等式:
解：原不等式可化为：
当堂达标
课堂小结
3.思想方法类比： 类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；
数形结合思想方法是研究函数图像和性质；

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