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1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　×　)
(2)G为a，b的等比中项 G2＝ab.(　×　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　×　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　×　)
2、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D.
答案　D
解析　由题意知q3＝＝，∴q＝.
3、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
答案　C
解析　根据题意知，等比数列{an}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．
答案　27,81
解析　设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.
5、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
答案　－11
解析　设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，
∴＝·
＝＝＝－11.
无
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4等于(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
答案　(1)C　(2)B
解析　(1)由{an}为等比数列，得a3a5＝a，
又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)，
解得a4＝2.设等比数列{an}的公比为q，
则由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2，
所以a2＝a1q＝.故选C.
(2)由题意知2(a4＋2)＝a2＋a5，即2(2q3＋2)＝2q＋2q4＝q(2q3＋2)，得q＝2，所以an＝2n，S10＝＝211－2＝2 046，S4＝＝25－2＝30，
所以S10－S4＝2 016.故选B.
思维升华　等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
【同步练习】
(1)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝________，数列{an}的前4项和S4＝________.
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
答案　(1)1或－　4或　(2)3n－1
解析　(1)由a2，a4，a3成等差数列得2a1q3＝a1q＋a1q2，
即2q3＝q＋q2，解得q＝1或q＝－.
当q＝1时，S4＝4a1＝4，
当q＝－时，S4＝＝.
(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，
可得a3＝3a2，所以公比q＝3，
故等比数列的通项an＝a1qn－1＝3n－1.
题型二　等比数列的判定与证明
例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故{}是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
引申探究
若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
解　由已知得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n.
∴Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，n≥2，
又a1＝1，S2＝a1＋a2＝2a1＋2，a2＝3，
当n＝1时上式也成立，
故{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
【同步练习】
1、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
证明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知＝.
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝(1－)<，
所以＋＋…＋<.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
【知识拓展】
等比数列{an}的单调性
(1)满足或时，{an}是递增数列．
(2)满足或时，{an}是递减数列．
(3)当时，{an}为常数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
题型三　等比数列性质的应用
例3　（1）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
答案　(1)50　(2)
解析　(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，
所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.
由÷＝，得q3＝－，
∴＝＝.
方法二　∵{an}是等比数列，且＝，∴公比q≠－1，
∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，
将S6＝S3代入得＝.
【同步练习】
(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lg an}的前4项和等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
答案　(1)C　(2)A
解析　(1)前4项和S4＝lg a1＋lg a2＋lg a3＋lg a4＝lg(a1a2a3a4)，又∵等比数列{an}中，a2a3＝a1a4＝10，
∴S4＝lg 100＝2.
(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且公比不等于－1，在等比数列中，S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝(－1)2，S9－S6＝，即a7＋a8＋a9＝.
题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用
典例　(15分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．
思想方法指导　(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；
(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明．
规范解答
(1)解　设等比数列{an}的公比为q，
因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. [3分]
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×n－1＝(－1)n－1·. [5分]
(2)证明　由(1)知，Sn＝1－n，
Sn＋＝1－n＋
＝ [8分]
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S1＋＝. [11分]
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
所以Sn＋≤S2＋＝. [13分]
故对于n∈N*，有Sn＋≤（n∈N*）. [15分]
一、等比数列的证明
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
二、等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
1．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．8－4
答案　C
解析　在等比数列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.
2．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)
A. B.
C．－ D.或－
答案　C
解析　由解得或
又a1<0，因此q＝－.
3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
答案　C
解析　设数列{an}的公比为q，
由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n＝14，故选C.
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5等于(　　)
A．32 B．62 C．27 D．81
答案　B
解析　设正项等比数列{an}的公比为q，则q>0，
由a2，a4＋2，a5成等差数列，得a2＋a5＝2(a4＋2)，
即2q＋2q4＝2(2q3＋2)，(q－2)(1＋q3)＝0，
解得q＝2或q＝－1(舍去)，
∴S5＝＝62，故选B.
5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则的值是(　　)
A．－ B．－5
C．5 D.
答案　B
解析　由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，
得log3an＋1－log3an＝1，即log3＝1，
解得＝3，所以数列{an}是公比为3的等比数列．
因为a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3，
所以a5＋a7＋a9＝9×33＝35.
所以＝＝－5.
6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为(　　)
A. B.
C．1 D．－
答案　B
解析　因为a3a4a5＝3π＝a，所以
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)
＝log3a＝＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝________.
答案　4
解析　因为
由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，
则q＝＝4.
8．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
答案　150
解析　依题意，知数列{an}的公比q≠－1，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.
答案　
解析　∵an＋Sn＝1， ①
∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)， ②
由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
则an＝×()n－1＝.
10．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.
答案　1 024
解析　∵b1＝＝a2，b2＝，
∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，
∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，
∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.
11．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
解　(1)设等差数列的公差为d，
由题意得d＝＝＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，
由题意得q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)，
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，
数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1.
所以数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
12．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解　(1)由题意，得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，
因此an＝.
13．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解　(1)∵an·an＋1＝n，
∴an＋1·an＋2＝n＋1，
∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，
∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，
∴a2＝ b1＝a1＋a2＝.
∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．
∴bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝＋＝3－.1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)
(2)G为a，b的等比中项 G2＝ab.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)
2、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2
C．2 D.
3、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．
5、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
无
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　)
A．2 B．1 C. D.
(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，a2，a4＋2，a5成等差数列，a1＝2，Sn是数列{an}的前n项的和，则S10－S4等于(　　)
A．1 008 B．2 016
C．2 032 D．4 032
【同步练习】
(1)已知等比数列{an}的首项a1＝1，且a2，a4，a3成等差数列，则数列{an}的公比q＝________，数列{an}的前4项和S4＝________.
(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.
题型二　等比数列的判定与证明
例2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
引申探究
若将例2中“Sn＋1＝4an＋2”改为“Sn＋1＝2Sn＋(n＋1)”，其他不变，求数列{an}的通项公式．
【同步练习】
1、已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
【知识拓展】
等比数列{an}的单调性
(1)满足或时，{an}是递增数列．
(2)满足或时，{an}是递减数列．
(3)当时，{an}为常数列．
(4)当q<0时，{an}为摆动数列．
题型三　等比数列性质的应用
例3　（1）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
【同步练习】
(1)已知在等比数列{an}中，a1a4＝10，则数列{lg an}的前4项和等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
(2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A. B．－ C. D.
题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用
典例　(15分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn＋≤(n∈N*)．
一、等比数列的证明
(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
二、等比数列常见性质的应用
等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
1．在各项均为正数的等比数列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，则a＋2a2a6＋a3a7等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．8－4
2．在等比数列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，则公比q等于(　　)
A. B.
C．－ D.或－
3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
4．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，a4＋2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S5等于(　　)
A．32 B．62 C．27 D．81
5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则的值是(　　)
A．－ B．－5 C．5 D.
6．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为(　　)
A. B.
C．1 D．－
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝________.
8．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.
10．已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.
11．已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
12．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
13．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.

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