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人教版数学九年级上册综合试卷（第21章~第25章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．（3分）已知二次函数解析式为y＝4（x+1）2+9，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，9） B．（1，9） C．（﹣1，﹣9） D．（9，﹣1）
【思路点拔】依据题意，根据其顶点式可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数解析式为y＝4（x+1）2+9，
∴抛物线的顶点为（﹣1，9）．
故选：A．
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2）
【思路点拔】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接写出答案．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，3），点B与点A关于原点对称，
∴点B的坐标是（2，﹣3），
故选：B．
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨
B．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”与“点数为偶数”的可能性相等
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖
D．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”
【思路点拔】根据概率的意义即可求出答案．
【解答】解：（A）“明天的降水概率为80%”，只能说明有很大机会下雨，而不能说明有80%的时间降雨，故A错误；
（C）“某彩票中奖概率是1%”，只能说明中奖的机会很小，故C错误；
（D）小明上次的体育测试成绩与这次测试成绩并没有任何关系，故D错误
故选：B．
5．（3分）已知一个扇形的半径长是6，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（　　）
A．12π B．9π C．6π D．3π
【思路点拔】利用扇形的面积公式即可直接求解．
【解答】解：扇形的面积是9π．
故选：B．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，∠B＝50°，则旋转角的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【思路点拔】由旋转的性质可得AB＝AD，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：由旋转的性质可得：AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝50°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴旋转角的度数为80°，
故选：D．
7．（3分）如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据题意，涂黑一个格共6种等可能情况，结合轴对称的意义，可得到轴对称图形的情况数目，结合概率的计算公式，计算可得答案．
【解答】解：如图所示：根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，
只有2种是轴对称图形，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．
故选：A．
8．（3分）如图，AB为⊙O直径，点D是AB上方圆上一点，若∠AOC＝110°，则∠D度数是（　　）
A．70° B．35° C．40° D．45°
【思路点拔】求出∠BOC＝70°，再利用圆周角定理，求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝70°，
∴∠D∠BOC＝35°，
故选：B．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，y＜0时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 或x＞3 B．﹣1＜x＜3
C．﹣1＜x＜1 D．x＞﹣1
【思路点拔】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴y＜0时x的取值范围为x＜﹣1或x＞3，
故选：A．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一动点，且AD＝3，M为BD的中点，在点D运动的过程中，线段CM长度的取值范围是（　　）
A． B． C．6≤CM≤8 D．
【思路点拔】作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后在△CEM中根据三边关系即可求解．
【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE，
在直角△ABC中，AB10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴．
∵，
∴，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是　　．
【思路点拔】根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是．
【解答】解：P（黄灯亮）．
故答案为：．
12．（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程 　560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850　．
【思路点拔】由钢铁厂一月份的产量及月平均增长率，可得出该钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，结合该钢铁厂第一季度共生产钢铁1850吨，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，二、三月份平均每月的增长率为x，
∴该钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨，三月份生产钢铁560（1+x）2吨，
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1850吨，
∴可列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850．
故答案为：560+560（1+x）+560（1+x）2＝1850．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根为1，则这个一元二次方程的另一根为 　x＝﹣2　．
【思路点拔】先把x＝1代入方程求出k的值，再利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根为1，
∴1+1﹣k＝0，
∴k＝2，
∴x2+x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴x1 x22．
∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0的一个根为1，
∴另一个根为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
14．（3分）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点．如∠APB＝40°，则∠COD的度数为 　70°　．
【思路点拔】连接OA、OB、OE，由切线的性质可求出∠AOB，再由切线长定理可得出∠COD∠AOB，可求得答案．
【解答】解：
如图，连接OA、OB、OE，
∵PA、PB分别为⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠APB＝140°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠AOC＝∠EOC，∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠EOD（∠AOE+∠BOE）∠AOB＝70°，
故答案为：70°．
15．（3分）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　6　．
【思路点拔】连接OC，OB，根据圆周角定理得出∠COB＝2∠BAC＝60°，继而得出△OCB是等边三角形，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接OC，OB，
∵弧BC＝弧BC，∠BAC＝30°，
∴∠COB＝2∠BAC＝60°，
又∵OC＝OB＝6，
∴△OCB是等边三角形，
∴BC＝6，
故答案为：6．
16．（3分）边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转如图（2），线段DG与线段BE相交，交点为H，则△GHE与△BHD面积之和的最大值为　6　．
【思路点拔】△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△EGH的高最大；对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，即当点H与点A重合时，△BDH的高最大，即可确定出面积的最大值．
【解答】解：△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：
∵对于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；
∵对于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，
∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，
∴△GHE和△BHD面积之和的最大值为：22（2）2＝2+4＝6．
故答案为6．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0；
（2）3x2﹣2x+1＝0．
【思路点拔】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）将x2+4x﹣12＝0进行因式分解可得：
（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
（2）∵3x2﹣2x+1＝0，
a＝3，b＝﹣2，c＝1，
根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×1＝﹣8＜0，
∴方程无实数根．
18．（8分）在不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），现从中任意摸出一个是白球的概率为，从中任意摸出一个是红球的概率为．白球比红球多1个．
（1）试求袋中白球、黄球、红球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图，或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【思路点拔】（1）可先设球的总数为未知数，根据白球比红球多1个列出方程求得球的总数，进而得到各种颜色球的个数即可；
（2）列举出所有情况，看两次摸出白球的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：（1）设球的总数为x，则白球为x，红球为x．
xx＝1，
解得x＝6，
∴x＝6，x＝2，
∴黄球个数为1，
答：白球3个、黄球1个、红球2个（3分）
（2）
黄 白 白 白 红 红
黄 黄，白 黄，白 黄，白 黄，红 黄，红
白 白，黄 白，白 白，白 白，红 白，红
白 白，黄 白，白 白，白 白，红 白，红
白 白，黄 白，白 白，白 白，红 白，红
红 红，黄 红，白 红，白 红，白 红，红
红 红，黄 红，白 红，白 红，白 红，红
共30种情况，有6种情况恰好两次都摸出白球，所以概率为（3分）．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【思路点拔】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，代入x1+x2﹣x1x2＝4，解方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵x1+x2﹣x1x2＝4，
∴m+2﹣2m＝4．
解得m＝﹣2．
20．（8分）如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接OC，OD，OB，由线段垂直平分线判定定理得OD⊥BC，由等腰三角形的性质得∠ODC＝∠OCD，从而可得∠OCD+∠ACD＝90°，即可得出结论；
（2）由垂径定理得，设OB＝x，由直角三角形的特征得，由勾股定理得OB2＝BE2+OE2，可求出OB，由S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD即可求解．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD，OB，
∵点D是劣弧BC的中点，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD⊥BC，
∴∠ODC+∠BCD＝90°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠OCD+∠ACD＝90°，
即OC⊥AC，
∵OC是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知，OD⊥BC，
在Rt△BDE中，，
∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠OBE＝30°，
设OB＝x，则，
在Rt△OBE中，OB2＝BE2+OE2，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣1（舍去），
∴OB＝1，
∴S阴影部分＝S扇形OBD﹣S△OBD
．
21．（8分）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
【思路点拔】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断．
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入yx2+bx+c得
解得．
所以抛物线解析式为yx2+2x+4，
则y（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y6，
所以这辆货车能安全通过．
22．（10分）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件） 55 65
销售量y（件/天） 90 70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
【思路点拔】（1）设y＝kx+b，用待定系数法即可得到销量与售价的关系式，由单利×销量＝总利润，列方程即可求该天的售价；
（2）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润；
（3）根据题意得，W'＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a，把x＝70，W'＝960代入函数解析式，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，
则有，
解得：，
∴y＝﹣2x+200，
若某天销售利润为800元，
则（x﹣50）（﹣2x+200）＝800，
解得：x1＝60，x2＝90，
∴该天的售价为60元或者90元；
（2）根据题意得，
W＝（x﹣50）（﹣2x+200）＝﹣2x2+300x﹣10000＝﹣2（x﹣75）2+1250，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝75时，W有最大值1250，
答：当销售单价定为75元时利润最大；
（3）设总利润为W'，根据题意得，
W'＝（x﹣50﹣a）（﹣2x+200）
＝﹣2x2+（300+2a）x﹣10000﹣200a，
∵a＞0，
∴对称轴直线x75，
∵﹣2＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x≤70时，W'随x的增大而增大，
故当x＝70时，w最大＝960，
即960＝﹣2×702+（300+2a）×70﹣10000﹣200a，
解得：a＝4．
∴a的值是4．
23．（10分）阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE绕着点B旋转α°，求证：AE＝CD．
【探究发现】（1）小百合很快就通过△ABE≌△CBD，论证了AE＝CD，于是她想，把等边△ABC和等边△BDE都换成等腰直角三角形，如图2，将△BDE绕着点B旋转α°，其中∠ACB＝∠EDB＝90°那么AE和CD有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形AFEG绕点A旋转α°，若AB＝6，AG＝4，在旋转过程中，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形ABCD≌矩形FECG，且具有公共顶点C，将矩形ABCD固定，另一个矩形FECG绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜90），连接AF、DG，直线GD交AF于点H，在旋转的过程中，试证明H为AF的中点．
【思路点拔】阅读材料：证明△ABE≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CD；
（1）证明△ABE∽△CBD，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）分两种情况画出图形，证明△ADG∽△ACE，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案；
（3）延长BA，GH交于点N，EF与DG交于点M，过点A作AK∥EF，则AK∥EF∥CG，设∠DGF＝α，证明△ADN≌△FGM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝FM，∠N＝∠FMG＝90°﹣α，证明△AKH≌△FMH（AAS），由全等三角形的性质得出AH＝HF．
【解答】阅读材料：
证明：∵△ABC和△BDE分别是等边三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，
∴∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD．
（1）解：∵△ABC，△DEB都是等腰直角三角形，
∴BABC，BEBD，
∴，
∵∠ABC＝∠DBE＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴，
∴AECD；
（2）解：①如图：
由（1）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DGCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝6，
∴AC12，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝4，
∵C，G，E三点共线．
∴CG8，
∴CE＝CG﹣EG＝84，
∴DGCE＝8﹣2；
②如图：
由（1）知△ADG∽△ACE，
∴，
∴DGCE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC＝6，AC＝12，
∵四边形AFEG是正方形，
∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝4，
∵C，G，E三点共线．
∴∠AGC＝90°，
∴CG8，
∴CE＝CG+EG＝84，
∴DGCE＝8+2．
综上，当C，G，E三点共线时，DG的长度为8﹣2或8+2；
（3）证明：延长BA，GH交于点N，EF与DG交于点M，过点A作AK∥EF，则AK∥EF∥CG，
设∠DGF＝α，
∵四边形ECGF为矩形，
∴∠CGF＝90°，EF∥CG，
∴∠DCG＝90°﹣α，
∵矩形ABCD≌矩形FECG，
∴CD＝CG，
∴∠CDG＝∠CGD＝90°﹣α，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADN＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠ADN＝∠DGF，
又∵AD＝FG，∠NAD＝∠MFG，
∴△ADN≌△FGM（ASA），
∴AN＝FM，∠N＝∠FMG＝90°﹣α，
又∵AK∥CG，
∴∠AKN＝∠CGM＝90°﹣α，
∴∠N＝∠AKN，
∴AN＝AK，
∴AK＝FM，
∵AK∥FM，
∴∠KAH＝∠HFM，
∵∠AHK＝∠FHM，
∴△AKH≌△FMH（AAS），
∴AH＝HF，
即H为AF的中点．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）根据抛物线的交点式直接得出结果；
（2）作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，先求出抛物线的对称轴，进而求得C，D坐标及CD的长，从而得出过M的直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，根据x+m＝﹣x2﹣2x+3的Δ＝0求得m的值，进而求得M的坐标，进一步求得CD上的高MQ的值，进一步得出结果；
（3）分两种情形：当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，设P（t，t+3），根据CP＝CB求得t的值，可推出四边形BCPQ是平行四边形，进而求得Q点坐标；当点P在AC的延长线上时，同样方法得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，
抛物线的对称轴是直线：x，
∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，
∴D（﹣1，2），
∵C（0，3），
∴CD，
故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，
设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，
当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，
由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，
x2+3x+（m﹣3）＝0，
由Δ＝0得，
32﹣4（m﹣3）＝0得，
m﹣3，
∴x2+3x0，
∴x1＝x2，
∴y＝﹣（）2﹣23，
y＝x+33，
∴ME，
∴MQ＝ME sin∠MEQ＝ME sin45°，
∴S△MCD最大；
（3）如图2，
当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，
∵点B和点Q关于CQ对称，
∴CP＝CB，
设P（t，t+3），
由CP2＝CB2得，
2t2＝10，
∴t1，t2（舍去），
∴P（，3），
∵PQ∥BC，
∴，
∴CR＝QR，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3，
∴Q（1，）；
如图3，
当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3），
同理可得：Q（1，），
综上所述：Q（1，）或（1，）．中小学教育资源及组卷应用平台
人教版数学九年级上册综合试卷（第21章~第25章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知二次函数解析式为y＝4（x+1）2+9，则抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，9） B．（1，9） C．（﹣1，﹣9） D．（9，﹣1）
3．（3分）在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2）
4．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．“明天的降水概率为80%”，意味着明天有80%的时间降雨
B．掷一枚质地均匀的骰子，“点数为奇数”与“点数为偶数”的可能性相等
C．“某彩票中奖概率是1%”，表示买100张这种彩票一定会中奖
D．小明上次的体育测试成绩是“优秀”，这次测试成绩一定也是“优秀”
5．（3分）已知一个扇形的半径长是6，圆心角为90°，则这个扇形的面积为（　　）
A．12π B．9π C．6π D．3π
6．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，∠B＝50°，则旋转角的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（3分）如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，AB为⊙O直径，点D是AB上方圆上一点，若∠AOC＝110°，则∠D度数是（　　）
A．70° B．35° C．40° D．45°
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，y＜0时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 或x＞3 B．﹣1＜x＜3
C．﹣1＜x＜1 D．x＞﹣1
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是平面内的一动点，且AD＝3，M为BD的中点，在点D运动的过程中，线段CM长度的取值范围是（　　）
A． B． C．6≤CM≤8 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是　 　．
12．（3分）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可得方程 　 　．
13．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根为1，则这个一元二次方程的另一根为 　 　．
14．（3分）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，A、B、E是切点，CD分别交PA、PB于C、D两点．如∠APB＝40°，则∠COD的度数为 　 　．
15．（3分）如图，⊙O的半径为6，直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边与圆交于点B、C，则弦BC的长为 　 　．
16．（3分）边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转如图（2），线段DG与线段BE相交，交点为H，则△GHE与△BHD面积之和的最大值为　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0；
（2）3x2﹣2x+1＝0．
18．（8分）在不透明的口袋里装有白、红、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），现从中任意摸出一个是白球的概率为，从中任意摸出一个是红球的概率为．白球比红球多1个．
（1）试求袋中白球、黄球、红球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图，或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
19．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
20．（8分）如图，在⊙O中，BC为非直径弦，以BC为边作△ABC，边AB交⊙O于点D，且点D是劣弧BC的中点，CD是△ABC的角平分线．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当∠BCD＝30°，时，求阴影部分的面积．
21．（8分）如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m．
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
22．（10分）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：
售价x（元/件） 55 65
销售量y（件/天） 90 70
（1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？
（2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？
（3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值．
23．（10分）阅读材料：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，将△BDE绕着点B旋转α°，求证：AE＝CD．
【探究发现】（1）小百合很快就通过△ABE≌△CBD，论证了AE＝CD，于是她想，把等边△ABC和等边△BDE都换成等腰直角三角形，如图2，将△BDE绕着点B旋转α°，其中∠ACB＝∠EDB＝90°那么AE和CD有什么数量关系呢？请写出你的结论，并给出证明．
【拓展迁移】（2）如果把等腰直角三角形换成正方形，如图3，将正方形AFEG绕点A旋转α°，若AB＝6，AG＝4，在旋转过程中，当C，G，E三点共线时，请直接写出DG的长度．
【拓展延伸】（3）小百合继续探究，做了如下变式：如图4，矩形ABCD≌矩形FECG，且具有公共顶点C，将矩形ABCD固定，另一个矩形FECG绕着点C顺时针旋转α°（0＜α＜90），连接AF、DG，直线GD交AF于点H，在旋转的过程中，试证明H为AF的中点．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．
（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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