资源简介

2024—2025 学年度东北育才学校高中高三
第三次模拟考试数学科试卷
答题时间：150分钟 满分：120分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。每小题给出的备选答案中，只有
一个是符合题意的。
1．已知全集 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 = 1,2,4 ，集合 = 0,3,5,6 ，则 ∩
等于（ ）
A． 4 B． 7,8 C． 3,5,6 D． 3,5,6,0
2 1 i．若复数 满足i = （i为虚数单位），则 的虚部是（ ）

A．i B．1 C． i D． 1
3 π．已知 2sin = sin ，则cos2 + cos2 =（ ）
4
A 3 B 1． ． C． 1 D 1．
4 2 4 2
4. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的
表面积为（ ）
A．4 3π B．2π C．2 3π D． 3π
5. 已知向量 1, 2, , ∈ 满足 +1 = = 1,2, …, 1 , 1 = 1,
= 2, 1与
π
的夹角为 ，设 = 1 ，数列 3 的前 项和为 ，则 20 =（ ）
A．120 B．180 C．210 D．420
6. 在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 , , ，且3 cos 3 cos = ，则
tan( )的最大值为（ ）
A． 3 B．2 C 2． D 3．
4 4
7. 已知矩形ABCD， = 3， = 3， M为边DC上一点且 = 1， AM与BD交于点
Q，将△ 沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则sin∠ 的最大值是（ ）
A 1． B 3． C 2 10． D．
3 3 3 10
高三年级数学科试卷第1页，共4页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
8 = e
2 1 2
．函数 + ，不等式 2 2 + 2 ≤ 2对 ∈ 恒成立，则实数 e 2 +1
的取值范围是（ ）
A． 2, + ∞ B． ∞,2 C． 0,2 D． 2,0
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分。每小题给出的备选答案中，有多
个选项是符合题意的。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分。
9．已知函数 ( ) = sin 3 + π ，下列说法正确的是（ ）
3
A 2π． 的最小正周期为
3
B π．点 , 0 为 图象的一个对称中心
6
C ( ) = ( ∈ R) ∈ π , π 3．若 在 上有两个实数根，则 ≤ < 1
18 9 2
D．若 的导函数为 ' ，则函数 = + ' 的最大值为 10
10. 如图，已知△ 中， = 2 ， = = 2， 是 的中点，动点 在以 为直径
3
的半圆弧上.则（ ）
A．2 = +
B． 最小值为-2
C 1． 在 上的投影向量为
3
D．若 = + , + 的最大值为1 + 3
11. 如图所示，在五面体 中，四边形 是矩形，△ 和△ 均是等边三
角形，且 = 2 3， = ( > 0)，则（ ）
A． //平面
B．二面角 随着 的减小而减小
C 27．当 = 2时，五面体 的体积 ( )最大值为
2
D = 3 3．当 时，存在 使得半径为 的球能内含于五面体
2 2
高三年级数学科试卷第2页，共4页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。
12. 已知函数 = 3 2 2 是偶函数，则 = .
13. 如图，平面四边形 中， ⊥ , = 3, = 2 3, △ 为等边三角形，现
将△ 沿 翻折，使点 移动至点 ，且 ⊥ ，则三棱锥 的外接球的表面
积为 .
14. 已知不等式 ln ln ≥ + 对 > 0 恒成立，则当 取最大值时， = ．

四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本题满分 13分）
已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且满足 sin 3 cos = 0， = 4.
（1）求∠ ；
（2）若 是 中点， = 3，求 面积.
16．（本题满分 15分）
已知数列 满足 1 = 1, +1 = 3 + 1.
(1)证明 +
1
是等比数列，并求 的通项公式；2
1 1
(2)证明： + + . . . +
1 < 3
1
.
2 2
17．（本题满分 15分）
2+ 1
已知函数 = ， ∈ .
e
(1)当 = 0 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3) > 0 1 1当 时，若对于任意 ∈ 1,3 ，不等式 ≤ ≤ 1 + 2成立，求 a 的取值范围．2 e
高三年级数学科试卷第3页，共4页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
18. （本题满分 17分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥面 , = = 4, 为棱
上的动点．
(1)若 为棱 中点，证明： //面 ；
(2)在棱 2 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在，求出 的值；
3
若不存在，请说明理由；
(3) , , 分别在棱 , , 上， = = 1，求三棱锥 的体积的最大值．
19．（本题满分 17分）
已知定义在 上的函数 = e + （e是自然对数的底数）满足 = ' ，且 1 = 1，
删除无穷数列 1 、 2 、 3 、 、 、 中的第3项、第6项、 、第3 项、 、 ∈ N, ≥
1 ，余下的项按原来顺序组成一个新数列 ，记数列 前 项和为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)已知数列 的通项公式是 = ， ∈ N， ≥ 1，求函数 的解析式；
(3)设集合 是实数集 的非空子集，如果正实数 满足：对任意 1、 2 ∈ ，都有 1 2 ≤
，设称 为集合 的一个“阈度”；

记集合 = = , ∈ N, ≥ 1 ，试问集合 存在“阈度”吗？若存在，求
3 2
1+3 1
4
出集合 “阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由.
高三年级数学科试卷第4页，共4页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
2024—2025 学年度东北育才学校高中高三
第三次模拟考试数学科试卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分。每小题给出的备选答案中，只有
一个是符合题意的。
1．已知全集 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合 = 1,2,4 ，集合 = 0,3,5,6 ，则 ∩
等于（ ）
A． 4 B． 7,8 C． 3,5,6 D． 3,5,6,0
【答案】D
【详解】全集 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ，而 = 1,2,4 ，则 = 0,3,5,6,7,8 ，又 = 0,3,5,6 ，
所以 ∩ = 3,5,6,0 ．故选：D．
2 1 i．若复数 满足i = （i为虚数单位），则 的虚部是（ ）

A．iB．1 C． i D． 1
【答案】D
【详解】∵ = 1 i = 1 i i2 = 1 i, ∴复数的虚部是 1.故选：D.i i
3．已知 2sin = sin π ，则cos2 + cos2 =（ ）
4
A 3 B 1 1 1． ． C． D．
4 2 4 2
【答案】B
【详解】由 2sin = sin π ，则 2sin = sin π = 2 (sin cos )，化简得
4 4 2
cos = sin ，所以cos2 = 1，由cos2 + cos2 = 2cos2 1 + cos2 = 1.
2 2
故选：B
4. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的
表面积为（ ）
A．4 3π B．2π C．2 3πD． 3π
【答案】A
【详解】如图，正三角形绕 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆
锥，
高三年级数学科试卷第 1页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
圆锥的底面半径为 = = 3，
∴所得几何体的表面积为 = 2π = 2 × π × 3 × 2 = 4 3π．
故选：A．
5. 已知向量 1, 2, , ∈ 满足 +1 = = 1,2, , 1 , 1 = 1,
= 2, 1与
π
的夹角为 ，设 = ，数列 的前 项和为 ，则
3 1 20
=（ ）
A．120 B．180 C．210 D．420
【答案】C
【详解】 +1 = = 1,2, , 1 累加法，得
= 1 + ( 1) → = 1 =
2
1 + 1 1 ，
由于 1 = 1, = 2，
π 1
1与 的夹角为 ，故 1 = 1 × 2 × = 1，3 2
2
因此 = 1 + 1 1 = 1 + 1 = ，
故 20 =
1 × 20 × 20 + 1 = 210，故选：C．
2
6. 在△ 中，角 、 、 所对的边分别为 , , ，且3 cos 3 cos = ，则tan( )
的最大值为（ ）
A 2 3． 3 B．2 C． D．
4 4
【答案】C
【详解】∵ 3 cos 3 cos = ,∴ 3sin cos 3sin cos = sin ，
3sin cos 3sin cos = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
2sin cos 4cos sin = 0 ，tan = 2tan ，
tan( ) = tan tan = tan = 1 ≤ 1 = 2，
1+tan tan 1+2tan2 1 +2tan 2 2 4tan
当且仅当tan = 2时取等号，故选：C.
2
高三年级数学科试卷第 2页，共 16 页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
7. 已知矩形ABCD， = 3， = 3， M为边DC上一点且 = 1， AM与BD交于点
Q，将△ 沿着AM折起，使得点D折到点P的位置，则sin∠ 的最大值是（ ）
A 1 3 2 10． B． C． D．
3 3 3 10
【答案】A
【详解】在矩形 ， = 3， = 3， = 1，
tan∠ = 3由 可得∠ = 30 ，由tan∠ = 3可得∠ = 60 ，
3
则∠ = 90 ，即 ⊥ ，
可知折起后，必有 ⊥ , ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
故 ⊥平面 ，
因为 是确定的直线，故对任意点P， , , 都在同一个确定的平面内，
3 3
因为 = = ，可知点P在以点Q为圆心，半径为 的圆上（如图），
2 2
由图知，当且仅当PB与该圆相切时，∠ 取到最大值，则sin∠ 也取到最大值，
3
此时∠ = 90 , = 3 3 1，则sin∠ 的最大值为 2
2 3 3
= .故选：A.
3
2
8 = e
2 1 2
．函数 + ，不等式 2 2 + 2 ≤ 2对 ∈ 恒成立，则实数 e 2 +1
的取值范围是（ ）
A． 2, + ∞ B． ∞,2 C． 0,2 D． 2,0
【答案】D
【分析】令 = 1，根据奇偶性定义判断 为奇函数，再应用导数研究
的单调性，进而将目标式转化为 2 + 2 2 ≤ 0在R上恒成立，求参数范围.
e2 1 2 2
【详解】因为 = + = e e + ，
e 2 +1 2 +1
高三年级数学科试卷第 3页，共 16 页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}

所以 + = 2 + e e +
2 + e e = 2 + 2 2 = 2，
2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
令 = 1，则 + = 0，得 为奇函数，
'
' = 2 + e e ' = e + e 2
ln4
又 = e + 1 ln4 ，
2 +1 2 +1 2 e 2 + 12 +2
e + 1 ≥ 2 1，当且仅当e = ，即 = 0时等号成立；
e e
ln4 ≤ ln4 1 =
ln2
，当且仅当2 = 1 ，即 = 0时等号成立；2 + 4 2 22 +2
所以 ' > 0，得 在R上为增函数，
因为 2 2 + 2 ≤ 2 2 2 + 2 ≤ 0 2 2 ≤ 2 ，
所以 2 + 2 2 ≤ 0在R上恒成立，显然 = 0时满足；
≠ 0 < 0当 ，需满足 Δ = 4 2 + 8 ≤ 0，解得 2 ≤ < 0，
综上， ∈ 2,0 . 故选：D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，满分 18 分。每小题给出的备选答案中，有多
个选项是符合题意的。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分。
9．已知函数 ( ) = sin 3 + π ，下列说法正确的是（ ）
3
A 2π． 的最小正周期为
3
B π．点 , 0 为 图象的一个对称中心
6
C．若 ( ) = ( ∈ R) π π 3在 ∈ , 上有两个实数根，则 ≤ < 1
18 9 2
D．若 的导函数为 ' ，则函数 = + ' 的最大值为 10
【答案】ACD
2π
【详解】由题意可得 = ，故A正确；
3
π = sin 5π = 1 ≠ 0 π，所以 , 0 不是 图象的
6 6 2 6
一个对称中心，故B错误；
令 = 3 + π π，由 ≤ ≤ π π得 ≤ ≤ 2π，
3 18 9 6 3
根据题意可转化为直线 = 与曲线 ( ) = sin 3 +
π π π
， ∈ , 有两个交点，
3 18 9
3
数形结合可得 ≤ < 1，故C正确；
2
高三年级数学科试卷第 4页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
设 ' 为 的导函数，
则 + ' = sin 3 + π + 3cos 3 + π = 10sin 3 + π + ≤ 10，其中
3 3 3
tan = 3，
当且仅当3 + π + = π + 2 π, ∈ Z π 2 π，即当且仅当 = + + , ∈ Z时等号成立，
3 2 3 18 3
故D正确，
故选：ACD．
10. 2 如图，已知△ 中， = ， = = 2， 是 的中点，动点 在以 为直径
3
的半圆弧上.则（ ）
A．2 = +
B． 最小值为-2
C 1． 在 上的投影向量为
3
D．若 = + , + 的最大值为1 + 3
【答案】ABD
【详解】以M为原点，直线AC为 轴建立直角坐标系（如图），
设∠ = ，则 ∈ 0, ，在△ 中， = 2 ， = = 2， 是 的中点，
3
所以 = 1, = 2 3， = 3，则
3, 0 ， 3, 0 ， 0, 1 ， 3cos , 3sin ，
所以 = 3cos , 3sin + 1 ， = 3, 1 ， = 3, 1 ， = 0,1
对于A：因为 是 的中点，所以2 = + ，故A正确；
对于B： = 3cos + 3sin + 1 = 2 3sin + + 1
3
∈ 0, + ∈ , 4 + 4 因为 ，所以 ，当 = 时，sin + 3取得最小值 ，
3 3 3 3 3 3 2
所以 最小值为 2，故B正确；
C


1
对于 ： 在 上的投影向量为 2 = ，故C错误；
4
对于D：因为 = + ,所以 3cos , 3sin + 1 = 3, 1 + 3, 1 ，
则 + = 3sin + 1 ，当 = 时， + 取最大值1 + 3.故D正确.
2
高三年级数学科试卷第 5页，共 16 页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
故选：ABD.
11. 如图所示，在五面体 中，四边形 是矩形，△ 和△ 均是等边三
角形，且 = 2 3， = ( > 0)，则（ ）
A． //平面
B．二面角 随着 的减小而减小
C．当 = 2时，五面体 的体积 ( ) 27最大值为
2
D．当 = 3 3时，存在 使得半径为 的球能内含于五面体
2 2
【答案】ACD
【详解】A：由题设 // ， 面 ， 面 ，则 //面 ，
由面 ∩面 = ， 面 ，则 // ，
面 ， 面 ，则 //平面 ，对；
B：设二面角 的大小为2 ，点 到面 的距离为 ，则tan = 3，

点 到面 的距离，仅在面 ⊥面 时取得最大值，
当 = = 时tan 取最小值，即 取最小值，即二面角 取最小值，
所以 = ∈ (0, + ∞)，二面角先变小后变大，错；
C：当 = 2，如图，把五面体 补成直三棱柱 ，
高三年级数学科试卷第 6页，共 16 页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
分别取 , 的中点 , ，易得 ⊥面 ， = 3，
设∠ = (0 < ≤ π )，则 = 3cos , = 3sin ，
2
( ) = =
1
2 = × 2 3 × 3sin × (2 + 6cos ) 2 ×
1 ×
2 3
3sin × 2 3 × 3cos = 6 3sin + 6 3sin cos ，
令 ( ) = 6 3sin + 6 3sin cos ，则 '( ) = 6 3cos + 6 3cos2 ，
令 '( ) = 0 2cos2 + cos 1 = 0 1 π，可得cos = 或cos = 1（舍），即 = ，
2 3
0 < < π， '( ) > 0， ( ) π递增， < ≤ π， '( ) < 0， ( )递减，
3 3 2
= π ( ) ( ) = 6 3 × 3 + 6 3 × 3 1 27显然 是 的极大值点，故
3 max
× = .
2 2 2 2
所以五面体 ( ) 27的体积 最大值为 ，C对；
2
D：当 = 3时，△ 和△ 所在平面均垂直于面 时构成正三棱柱 ，
2
3 3 3
此时正三棱柱内最大的求半径 = < ，故半径为 的球不能内含于五面体 ，
4 2 2
对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，
由C分析结果，当五面体 体积最大时，其可内含的球的半径较大，
∠ = π = 3 3 , = 3, = 39易知，当 时， ，
3 2 2
△ 1 3 3设 的内切圆半径为 1，则 × × 2 3 =
1 1 × (2 3 + 2 ×
39 ) 3 3，可得 = >
2 2 2 2 1 2+ 13
3
，
2
另外，设等腰梯形 3 π 3 3 3 3中圆的半径为 2，则 2 = tan = > 4 3 4 1 = ，2+ 13
3
所以，存在 使半径为 的球都能内含于五面体 ，对.
2
故选：ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分。
12. 已知函数 = 3 2 2 是偶函数，则 =
高三年级数学科试卷第 7页，共 16 页
{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
【答案】1
【详解】因为 = 3 2 2 ，故 = 3 2 2 ，
因为 为偶函数，故 = ，
时 3 2 2 = 3 2 2 ，整理得到 1 2 +2 =0，
故 = 1，故答案为：1
13. 如图，平面四边形 中， ⊥ , = 3, = 2 3, △ 为等边三角形，现
将△ 沿 翻折，使点 移动至点 ，且 ⊥ ，则三棱锥 的外接球的表面
积为 .
【答案】16π
【详解】因为 ⊥ , ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
将三棱锥 补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，
外接球的球心 在棱柱上下底面三角形的外心连线上，
令△ 的外心为 ，由△ 为等边三角形， = 3，
得 = 2 × 3 × 3 = 1，
3 2
1
因为 = = 3，所以在Rt△ 中， = 2 + 2 = ( 3)2 + 12 = 2，
2
即外接球的半径为2，
所以外接球的表面积为4π × 22 = 16π.
故答案为：16π.
高三年级数学科试卷第 8页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
14. 已知不等式 ln ln ≥ + 对 > 0 恒成立，则当 取最大值时， = ．

【答案】e
【分析】由题设 ≠ 0，结合 = ( )ln 、 = + 的性质及不等式恒成立得 > 0，
2
再构造 ( ) = ( )ln ，利用导数研究其最小值得 ( ) ≥ ( 0) = 且 00
2
0 ∈ (
1 , + ∞) ，根据不等式恒成立得 ≥ ，应用基本不等式求 最大值并确定
e 00
取值条件 = 0，此时有( 0 )ln 0 = 0 + 恒成立即可求参数值.
【详解】由( )ln ≥ + ，且 ≠ 0，
若 < 0，则 = ( )ln 在 趋向于0时，函数值趋向 ∞，而 = + 趋向于 ，
此时( )ln ≥ + 在 ∈ (0, + ∞)上不能恒成立，
所以 > 0，
令 ( ) = ( )ln ln 且 ∈ (0, + ∞)，则 '( ) = ，

令 ( ) = ln 且 ∈ (0, + ∞)，则 '( ) = ln + 1，
0 < < 1所以 时 '( ) < 0， ( ) 1递减， > 时 '( ) > 0， ( )递增，
e e
则 ( ) ≥ ( 1 ) = 1 < 0，且 ∈ (0, 1 )时 ( ) < 0， 趋向正无穷时 ( )趋向正无穷
e e e
故 0 ∈ (
1 , + ∞)，使 ( 0) = 0ln 0 = 0，即 = 0ln e 0，
所以 ∈ (0, 0)时 ( ) < 0，即 '( ) < 0， ∈ ( 0, + ∞)时 ( ) > 0，即 '( ) > 0，
所以 ∈ (0, 0)上 ( )递减， ∈ ( 0, + ∞)上 ( )递增，
2
则 ( ) ≥ ( 0) = 0ln 0 ln

0 0 = 0，0
要使 ln ln ≥ + 对 > 0恒成立，只需 ( 0) ≥ 恒成立，
2
所以 0 ≥ ，即 ≤ 1
0 ≤ 1 2 0 = 1，
0 0 0

当且仅当 = 0，即 = 0时等号成立，结合已知参数比值取最大值，此时 ( 0) = ( ) = 0
= ，
则 0ln 0 = = 0 ln 0 = 1，故 0 = e，即 = 0 = e.故答案为：e
四、解答题：本题共 5 小题，满分 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高三年级数学科试卷第 9页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
15．（本题满分 13分）
已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边，且满足 sin 3 cos = 0， = 4.
（1）求∠ ；
（2）若 是 中点， = 3，求 面积.
【详解】： （1） sin 3 cos = 0 ，2 sin sin 3 × 2 sin cos = 0

则 sin 3cos = 0 ，tan = 3 ∴ = 3
…………………(6分)
（2）方法一：在△ 中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 2
即 2 + 2 = 16 + .
2△ cos∠ = +
2 2 = 9+4
2
= 13
2
在 中 ，
2 2×3×2 12
2 2 2 2 2
同理△ 中 cos∠ = + = 9+4 = 13 ，
2 2×3×2 12
而∠ + ∠ = ，有 cos∠ + cos∠ = 0，
13 2 + 13
2
即 = 0 2 + 2 = 26.
12 12
联立得 16 + = 26 = 10，
1△ = sin∠ =
1 × 10 × 3 = 5 3.
2 2 2 2
2 2 2
方法二：又 cos = + = 1 2 + 2 = 16①
2 2
+ , 2
2
= = +
2+2 = 9
2 4
2+ 2+2 cos = 9 2 + 2 + = 36②
4
② ①得 = 10 1△ = sin =
1 × 10 × 3 = 5 3
2 2 2 2
方法三：（极化式）
= cos = + = 9 4 = 5 ∴ = 5 = 10
cos
∴ = 1△ sin =
5 3 …………………(13分)
2 2
16．（本题满分 15分）
高三年级数学科试卷第 10页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
已知数列 满足 1 = 1, +1 = 3 + 1.
(1)证明 +
1
是等比数列，并求
2
的通项公式；
1 1 1 3
(2)证明： + + . . . + < .1 2 2
1 1
解析：（1）证明：由 +1 = 3 + 1 得 +1 + = 3( + )，2 2
1 3 +1+
1
21 + = ≠ 0， 所以 = 3，2 2 1 +2
所以{ 1 1 3 + }是等比数列，首项为 1 + = ，公比为 3， …………………(4分)2 2 2
+ 1 3

所以 = 3 1 =
3 1
，解得 . …………………(6分)2 2 2
1 2
（2 1 3 1）由（ ）知： = ，所以 =2 3 ， 1
1 1
因为当 ≥ 1时，3 1 ≥ 2 3 1，所以 ≤ ， …………………(10分)3 1 2 3 1
1
于是 +
1 + 1
≤ 1 +
1 + + 1 3 1= (1
1
) <
3
， …………………(14分)
1 2 3 3 2 3 2
1 1 1 3
所以 + + 1 2 < . …………………(15分) 2
17．（本题满分 15分）
2+ 1
已知函数 = ， ∈ ．
e
(1)当 = 0 时，求曲线 = 在点 0, 0 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3) 1当 > 0 时，若对于任意 ∈ 1,3 ，不等式 ≤ ≤ 1 + 12成立，求 a 的取值范围．2 e
1 = 0 = 1 ' = +2【详解】（ ）因为 ，所以 ，得到 ，e e
所以 ' 0 = 2，又 0 = 1，
所以曲线 ( )在点 0, 0 处的切线方程为 + 1 = 2 ，
即 2 1 = 0． …………………(3分)
2
2 ( ) = + 1（ ）因为 ，定义域为 R，e
2
' = 2 + 2 +1 2所以 = ．
e e
当 > 0 时，令 ' = 0，即 + 1 2 = 0，
1解得 1 = ， 2 = 2，所以
1 < 0 < 2，

当 x 变化时， '( )， 的变化情况如下表所示，
高三年级数学科试卷第 11页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
∞,
1
1 1
,2
2 2, + ∞

'( ) 0 + 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
1 1
此时 的单调递减区间为 ∞, 和 2, + ∞ ，单调递增区间为 ,2 ，

当 = 0 2 时， ' = ，易知 ∈ ( ∞,2)时， ' > 0， ∈ (2, + ∞)， ' < 0，e
此时 的单调递减区间为 2, + ∞ ，单调递增区间为 ∞,2 ，
当 < 0 时，令 ' = 0，即 + 1 2 = 0，
1
解得 1 = ， 2 = 2，
若 0 < 1 < 2 1，即 < 时，当 x 变化时， '( )， 的变化情况如下表所示， 2
∞, 1 1
x 1 ,2 2 2, + ∞

'( ) + 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
1 1
此时 的单调递增区间为 ∞, 和 2, + ∞ ，单调递减区间为 ,2 ，

1若 = 2，即 = 1时， '( ) ≥ 0恒成立，当且仅当 = 2 时取等号， 2
此时 在 R上单调递增，
1 1
若 > 2，即 < < 0时，当 x 变化时， ' ， 的变化情况如下表所示，
2 ( )
1 1 1
∞,2 2 2, , + ∞
'( ) + 0 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时 的单调递增区间为 ∞,2 1和 , + ∞ 1，单调递减区间为 2, .

…………………(10分)
高三年级数学科试卷第 12页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
（3）当 > 0，且 ∈ 1,3 时，由（2）知，
所以 在区间 1,2 上单调递增，在区间 2,3 上单调递减，
1 1
因为对于任意 ∈ 1,3 ，不等式 ≤ ≤ 1 + 2成立，2 e
1
所以 1 ≥ ， 3 ≥ 1， (2) ≤ 1 + 1．
2 2 e2
1 e
所以 1 = ≥ ，得 ≥ ，
e 2 2
9 +2 1 e3 3 = ≥ 43 ，得e 2 ≥ ；18
2 = 4 +1
2
2 ≤ 1 +
1 e
，得 ． …………………(13分)
e e2 ≤ 4
e 3 e 4 = 9e e
3+4 > 9e e
3
> 0 e > e
3 4
因为 ，所以 ，
2 18 18 18 2 18
a e , e
2
所以 的取值范围是 ． …………………(15分)
2 4
18. （本题满分 17分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥面 , = = 4, 为棱
上的动点．
(1)若 为棱 中点，证明： ∥面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得二面角 2 的余弦值为 若存在，求出 的值；
3
若不存在，请说明理由；
(3) , , 分别在棱 , , 上， = = 1，求三棱锥 的体积的最大值．
【详解】（1）连接 交 于 ，则 为三角形中位线，易知 // ，
又因为 平面 上， 面 ，所以 //面 ；…………………(4分)
高三年级数学科试卷第 13页，共 16 页
{#{QQABACYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
（2）以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，可得 0,0,0 , 4,0,0 , 4,4,0 , 0,0,4 , = 4,0, 4 ，
由 为棱 上一点，设 = = 4 , 0, 4 , 0 ≤ ≤ 1，
= + = 4 , 0,4 4 , = 4,4,0 ．
设平面 的法向量为 = , , ，
= 0, 4 + 4 4 = 0,
由 可得
= 0 4 + 4 = 0,
令 = ，则 = 1，则 = 1,1 , ．
取平面 的法向量为 = 0,1,0 ，
则二面角 的平面角 满足：
|cosα| = = 1 = 2
2 2 ，( 1) +(1 ) + 2 3
化简得：3 2 + 2 1 = 0，
解得： = 1或 = 1（舍去），故存在满足条件的点 ，
3
1
此时 = ． …………………(10分)
3
（3）因为 = ，
可知三棱锥 体积最大时，即 △ 最大，在△ 中，由余弦定理有：
2 = 2 + 2 2 cos∠ ,
可得 2 2 + 2 1 = 0，
设 = ，则 2 2 + 2 1 = 0，
由题可知：该方程有实根，则Δ = 2 2 4 2 1 ≥ 0，解得 ≤ 2，
同理可得 ≤ 2．
设点 到平面 的距离为 ，则由等体积法得到： = ，
1 × 1 × 4 2 × 4 2 × 3 × = 1 × 1 × 4 × 4 × 4 4 3，解得： = ．
3 2 2 3 2 3
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{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
当 △ 最大时三棱锥 体积最大，即三棱锥 体积最大，
最大体积为： = 1 1 2 2 3 4 3 = 2． …………………(17分)
3 2 2 3 3
19．（本题满分 17分）
已知定义在 上的函数 = e + （e是自然对数的底数）满足 = ' ，且 1 = 1，
删除无穷数列 1 、 2 、 3 、 、 、 中的第3项、第6项、 、第3 项、 、 ∈ N, ≥
1 ，余下的项按原来顺序组成一个新数列 ，记数列 前 项和为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)已知数列 的通项公式是 = ， ∈ N， ≥ 1，求函数 的解析式；
(3)设集合 是实数集 的非空子集，如果正实数 满足：对任意 1、 2 ∈ ，都有 1 2 ≤
，设称 为集合 的一个“阈度”；记集合 = = 3 1+3 1 , ∈ N, ≥ 1 ，试问 2 4
集合 存在“阈度”吗？若存在，求出集合 “阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；
【详解】（1）解：因为 = e + ，则 ' = e + ，
若 = ' ，即e + = e + ，解得 = 1，则 = e + ，
因为 1 = e 1 = 1，可得 = 1，因此， = e +1. …………………(2分)
+1
（2）解：当 为奇数时，设 = 2 1 ∈ N ，则 = ，
2
3 +3 3 1
此时 = 2 1 = 3 2 = e3 1 = e 2
1 = e 2 +1，
3 1
此时 = ； …………………(5分)
2
当 为偶数时，设 = 2 ∈ N ，则 = ，
2
3 2
此时， = 3
+1
2 = 3 1 = e = e 2 ，
= 3 2此时 .
2
3 3+ 1
综上所述， = . …………………(8分)
2 4
（3）解： =
3 3+ 1
，
2 4
3 +1 1 3 +1
因为 2 +1 = e
e
3 1 = e3

， 2 +2 = 3 = e3，其中 ∈ N ， 2 1 e 2 e
所以，数列 的奇数项构成以e2为首项，公比为e3的等比数列，
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{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAQa4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}
数列 中的偶数项构成以e3为首项，公比为e3的等比数列，…………………(10分)
3
e2+e3 e 2 1
①当 为偶数时， = 3 ，e 1
3
e2+e3 e 2 1
=
2
= = e +e
3 3 则 3 1 e 2 ， …………………(12分)
3 1+3 1 3e3 e 12 4 1 e 2
1+e e2+e3
此时， 随着 的增大而增大，则 ≤ < 3 ； …………………(13分)e e 1
2 3 3 +1 3 +1
②当 e +e为奇数时， = +1 +1 = 3 e 2 1 e 2 ，e 1
e2+e3 3 +1 3 +1
3 e 2 1 e 2 e 1 e2+e3 =
3 +1
3 1+3 1
= 3 +1 = 3 1 e 2 1………………(15分)
e 2 e 12 4
1 e2
此时， 随着 +1的增大而增大，则 ≤ < 3 .e e 1
1 e2+e3 e2+e3 4
因此，当 ≥ 1且 ∈ N ， 的值在区间 , 1 e +13 内，则 ≥ = ，e e 1 e3 1 e e4 e
4
故集合 “阈度” e +1的取值范围是 4 , + ∞ . ………………(17分)e e
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{#{QQABCAYyoA5ogqgQAkABYJACAaQ4gqCEEwwGXUwCCggoEQQkkpgACTCLCYgYOgOAUhFAAEAKMAAwAqiAJCFABFIAAB=A}#A}=}#}

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