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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十一讲　多边形与平行四边形 学生版
知识要点 对点练习
1.多边形 1.(1)过多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )　　 A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(教材再开发·湘教八下P38T1改编)若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是 °.
2.平行四边形 (1)平行四边形性质: 定义两组对边分别 的四边形 平行 四边 形性 质边两组对边分别 ;两组对边分别 角两组 分别相等 对角线对角线 对称性是中心对称图形,对称中心是 ;过 的直线等分平行四边形以及相对应的三角形
(2)平行四边形判定: 平行四边 形判 定两组对边分别 平行四边形(定义) 一组对边 的四边形 平行四边形 两组对边分别 平行四边形 两组对角分别 平行四边形 对角线 平行四边形
2.(1)在 ABCD中,AB=3,AD=5,则 ABCD的周长为( )　 A.8 B.10 C.12 D.16 (2)在 ABCD中,若∠A+∠C=80°,则∠B的度数是( ) A.140° B.120° C.100° D.40° (3)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A.AB∥CD,AD∥BC B.AB∥CD,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB=CD,AD=BC
3.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边 的线段. (2)中位线定理:三角形的中位线 于第三边,并且等于第三边的 . 3.如图,在△ABC中,已知AB=8, ∠C=90°,∠A=30°,DE是中位线,则DE的长为 .
考点1　多边形的内角和与外角和
【例1】(1)(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于( )
A.540°　 B.900°
C.980°　 D.1 080°
(2)(2024·重庆中考)如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为 .
【方法技巧】
与多边形的角有关的解题方法
(1)对于任何多边形,若已知每个内角的度数求边数,则直接利用多边形的内角和公式.
(2)对于正多边形,若已知每个外角的度数求边数,则直接用360°除以外角的度数.
(3)对于正多边形,若已知内角与外角的关系求边数,则可先根据内角与相邻外角互补,求出每个内角或外角的度数,然后利用上述(1)或(2)的方法求解,也可先得出内角和与外角和的关系,然后列方程求解.
提醒:多边形的内角和是180°的整数倍,而外角和为360°.
【变式训练】
1.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为( )
A.36°　 B.40°　 C.45°　 D.60°
2.(2024·山东中考)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为( )
A.12　 B.10　 C.8　 D.6
考点2　三角形的中位线定理
【例2】(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.45°　 B.50°　 C.60°　 D.65°
【方法技巧】
三角形中位线定理的应用技巧
(1)定理为证明平行关系提供了新的工具,为证明线段间的2倍关系提供了一个新的途径.
(2)遇到三角形的中点时,要想到构造中位线,利用三角形的中位线定理解决问题.
【变式训练】
(2024·浙江中考)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为 .
考点3　平行四边形的性质与判定(一题多设问)
【例3】如图,已知四边形ABCD是平行四边形. (1)若∠A-∠B=50°,则∠A的度数是( ) A.130° B.115° C.65° D.50° (2)如图,BF平分∠ABC交AD于点F,CE平分∠BCD交AD于点E,若AB=6,AD=8,则EF的长度为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (3)如图,若对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=26,△OAB的周长是18,则EF= . (4)如图,若点M,N分别是AD,BC上的两点,点E,F在对角线BD上,且DM=BN时,DF=BE,求证:四边形MENF是平行四边形. (5)如图,若对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,连接AE,AF,CE,CF. ①求证:四边形AECF是平行四边形; ②若AB⊥AC,AB=3,BC=5,求BD的长. 【满分技法】 1.平行四边形性质的三种应用: (1)应用平行四边形的性质求角的度数、线段的长度. (2)应用平行四边形的性质再结合三角形全等常用来证明角相等或互补. (3)应用平行四边形的性质常用来证明线段相等或成倍分关系. 2.平行四边形判定的“三种思路” (1)如果已知一组对边平行,常考虑这组对边相等或证另一组对边平行. (2)如果已知一组对边相等,常考虑这组对边平行或证另一组对边相等. (3)如果已知条件与对角线有关,常考虑对角线互相平分. 3.注意判定和性质的互逆关系: 已知平行四边形可推得对边平行或相等,推得对角线互相平分;反之根据对边平行或相等的关系,或者根据对角线互相平分,可以判定得出平行四边形.
1. (2023·永州中考)下列多边形中,内角和等于360°的是( )
2.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是( )
A.AD=BC
B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD
D.∠A=∠C
3.(2024·长沙中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,连接DE.若DE=12,则AB的长为 .
4.(2022·株洲中考)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO= 度.
5.(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,
.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
6.(2023·株洲中考)如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十一讲　多边形与平行四边形 教师版
知识要点 对点练习
1.多边形 1.(1)过多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是(D)　　 A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(教材再开发·湘教八下P38T1改编)若一个多边形的每个外角都为36°,则这个多边形的内角和是　1 440　°.
2.平行四边形 (1)平行四边形性质: 定义两组对边分别　平行　的四边形 平行 四边 形性 质边两组对边分别　平行　;两组对边分别　相等　 角两组　对角　分别相等 对角线对角线　互相平分　 对称性是中心对称图形,对称中心是　对角线的交点　;过　对称中心　的直线等分平行四边形以及相对应的三角形
(2)平行四边形判定: 平行四边 形判 定两组对边分别　平行　 平行四边形(定义) 一组对边　平行且相等　的四边形 平行四边形 两组对边分别　相等　 平行四边形 两组对角分别　相等　 平行四边形 对角线　互相平分　 平行四边形
2.(1)在 ABCD中,AB=3,AD=5,则 ABCD的周长为(D)　 A.8 B.10 C.12 D.16 (2)在 ABCD中,若∠A+∠C=80°,则∠B的度数是(A) A.140° B.120° C.100° D.40° (3)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(B) A.AB∥CD,AD∥BC B.AB∥CD,AD=BC C.AO=CO,BO=DO D.AB=CD,AD=BC
3.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边　中点　的线段. (2)中位线定理:三角形的中位线　平行　于第三边,并且等于第三边的　一半　. 3.如图,在△ABC中,已知AB=8, ∠C=90°,∠A=30°,DE是中位线,则DE的长为　2　.
考点1　多边形的内角和与外角和
【例1】(1)(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于(B)
A.540°　 B.900°
C.980°　 D.1 080°
(2)(2024·重庆中考)如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为　9　.
【方法技巧】
与多边形的角有关的解题方法
(1)对于任何多边形,若已知每个内角的度数求边数,则直接利用多边形的内角和公式.
(2)对于正多边形,若已知每个外角的度数求边数,则直接用360°除以外角的度数.
(3)对于正多边形,若已知内角与外角的关系求边数,则可先根据内角与相邻外角互补,求出每个内角或外角的度数,然后利用上述(1)或(2)的方法求解,也可先得出内角和与外角和的关系,然后列方程求解.
提醒:多边形的内角和是180°的整数倍,而外角和为360°.
【变式训练】
1.(2024·遂宁中考)佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为
1 080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角为(C)
A.36°　 B.40°　 C.45°　 D.60°
2.(2024·山东中考)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为(A)
A.12　 B.10　 C.8　 D.6
考点2　三角形的中位线定理
【例2】(2024·广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.45°　 B.50°　 C.60°　 D.65°
【方法技巧】
三角形中位线定理的应用技巧
(1)定理为证明平行关系提供了新的工具,为证明线段间的2倍关系提供了一个新的途径.
(2)遇到三角形的中点时,要想到构造中位线,利用三角形的中位线定理解决问题.
【变式训练】
(2024·浙江中考)如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,连接BE,DE.若∠AED=∠BEC,DE=2,则BE的长为　4　.
考点3　平行四边形的性质与判定(一题多设问)
【例3】如图,已知四边形ABCD是平行四边形. (1)若∠A-∠B=50°,则∠A的度数是(B) A.130° B.115° C.65° D.50° (2)如图,BF平分∠ABC交AD于点F,CE平分∠BCD交AD于点E,若AB=6,AD=8,则EF的长度为(A) A.4 B.5 C.6 D.7 (3)如图,若对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=26,△OAB的周长是18,则EF= 　. (4)如图,若点M,N分别是AD,BC上的两点,点E,F在对角线BD上,且DM=BN时,DF=BE,求证:四边形MENF是平行四边形. 【解析】∵在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADB= ∠CBD. 在△BNE和△DMF中,, ∴△BNE≌△DMF(SAS).∴MF=NE,∠DFM=∠BEN. ∴EN∥FM,∴四边形MENF是平行四边形. (5)如图,若对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是OB,OD的中点,连接AE,AF,CE,CF. ①求证:四边形AECF是平行四边形; ②若AB⊥AC,AB=3,BC=5,求BD的长. 【解析】①∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵E,F分别是OB,OD的中点,∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形; ②∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°, ∴AC===4, ∴OA=AC=2,在Rt△AOB中,由勾股定理得,OB===,∴BD=2OB=2. 【满分技法】 1.平行四边形性质的三种应用: (1)应用平行四边形的性质求角的度数、线段的长度. (2)应用平行四边形的性质再结合三角形全等常用来证明角相等或互补. (3)应用平行四边形的性质常用来证明线段相等或成倍分关系. 2.平行四边形判定的“三种思路” (1)如果已知一组对边平行,常考虑这组对边相等或证另一组对边平行. (2)如果已知一组对边相等,常考虑这组对边平行或证另一组对边相等. (3)如果已知条件与对角线有关,常考虑对角线互相平分. 3.注意判定和性质的互逆关系: 已知平行四边形可推得对边平行或相等,推得对角线互相平分;反之根据对边平行或相等的关系,或者根据对角线互相平分,可以判定得出平行四边形.
1. (2023·永州中考)下列多边形中,内角和等于360°的是(B)
2.(2023·邵阳中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使四边形ABCD为平行四边形,则下列正确的是(D)
A.AD=BC
B.∠ABD=∠BDC
C.AB=AD
D.∠A=∠C
3.(2024·长沙中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,连接DE.若DE=12,则AB的长为　24　.
4.(2022·株洲中考)如图所示,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO=　48　度.
5.(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,
　　　　　　.
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题:
(1)求证:四边形BCDE为平行四边形;
(2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
【解析】选择①或②.
答案:①或②
(1)选择①,∵∠B=∠AED,∴BC∥DE,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
选择②,∵AE=BE,AE=CD,∴BE=CD,
∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形;
(2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形,∴DE=BC=10,∵AD⊥AB,∴∠A=90°,
∴AE===6,
即线段AE的长为6.
6.(2023·株洲中考)如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,点H在线段CE上,连接BH,点G,F分别为BH,CH的中点.
(1)求证:四边形DEFG为平行四边形;
(2)DG⊥BH,BD=3,EF=2,求线段BG的长度.
【解析】(1)∵点D,E分别为AB,AC的中点,点G,F分别为BH,CH的中点,
∴DE是△ABC的中位线,GF是△HBC的中位线,∴DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,∴DE∥GF,DE=GF,
∴四边形DEFG为平行四边形;
(2)∵四边形DEFG为平行四边形,
∴DG=EF=2,
∵DG⊥BH,∴∠DGB=90°,
∴BG===,
即线段BG的长度为.
跟踪诊断,请使用“高效提分作业”
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