资源简介

2025年湖南省中考数学一轮复习
第十九讲　等腰三角形与直角三角形 学生版
知识要点
1.等腰三角形的性质与判定
等腰三角形 性质 等腰三角形的 相等
等边对等角:等腰三角形的两底角
三线合一:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高
等腰三角形是轴对称图形,只有 对称轴
判定 有 边相等的三角形是等腰三角形
等角对等边:有 角相等的三角形是等腰三角形
等边三角形 性质 等边三角形的三边
等边三角形的三个角相等,且都等于
等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,即三边的
判定 边都相等的三角形是等边三角形
角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
对点练习
1.(1)如图,∠B,∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是( )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;
④BD=CE.
A.③④ B.①②
C.①②③ D.②③④
(2)已知在△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为 .
知识要点
2.线段垂直平分线(中垂线)的性质与判定
(1)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段 的距离相等;
(2)判定:到线段 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
对点练习
2.(教材再开发·湘教八上P72习题T1改编)在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为( )
A.31° B.62° C.87° D.93°
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
性质 直角三角形的两个锐角
30°角所对的直角边等于 的一半
直角三角形斜边上的中线等于 的一半
勾股定理:直角三角形中两直角边的 等于斜边的平方
判定 两个锐角 的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理:若三角形三边长a,b,c满足 ,则这个三角形是直角三角形
对点练习
3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=5,CD是AB边上的中线,则CD的长是( )
A.20 B.10 C.5 D.
(2)直角三角形两条直角边的长分别为8和6,则斜边上的高为 .
知识要点
4.命题与定理
(1)真命题:题设成立,结论 的命题;
(2)假命题:题设成立,不能保证结论 的命题;
(3)互逆命题:一个命题的题设和结论分别是另一个命题的 ,这两个命题称为互逆命题;
(4)互逆定理:若一个定理的逆命题是 的,那么它就是这个定理的逆定理,这两个定理为互逆定理.
对点练习
4.(教材再开发·湘教八上P52T3改编)下列命题中,逆命题是真命题的是( )
A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17
B.直角三角形三条边的比是3∶4∶5
C.全等三角形的面积相等
D.若x=1,则x2=1
考点1　等腰三角形的性质与判定
【例1】(2024·长沙模拟)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)证明:BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
【变式训练】
1.(2024·运城一模)木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置(斜边与水平面平行,直角顶点在横梁上),就能检查一根横梁是否水平,能解释这一现象的数学知识是( )
A.垂线段最短
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
C.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
2.(2024·海淀二模)如图,l1∥l2,点A在l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠1=40°,则∠ABC的大小为( )
A.80°　 B.75°　 C.70°　 D.65°
考点2　线段垂直平分线的性质与判定
【例2】(2022·衡阳中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为 .
【方法技巧】
线段垂直平分线的应用技巧
(1)两组相等的线段:
①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
②被垂直平分的线段,被分成两条相等的线段.
(2)一个常用辅助线:证题时,连接垂直平分线上的点和线段的端点,可以得到等腰三角形.
(3)在尺规作图中的应用:利用尺规作出线段的垂直平分线,可以得到一条直线的垂线或一个线段的中点.
【变式训练】
(2023·娄底娄星区一模)在等腰△ABC中,AB=AC=4,按如图所示的痕迹进行尺规作图得到直线DE,交AC于点D,交AB于点E,连接CE,已知CE=BC,取BE的中点F,连接DF,则DF= .
考点3　等边三角形的性质与判定
【例3】(2023·益阳市赫山区模拟)如图,已知P是等边△ABC中BC边上一点.
(1)过点P作PE∥AC,求证:△BPE为等边三角形;
(2)连接AP,以P为顶点作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分线于点Q,连接AQ,那么△APQ是什么三角形 证明你的结论.
【思路点拨】(1)由△ABC是等边三角形得∠B=∠BAC=∠BCA=60°,再由PE∥AC得∠BPE=∠BCA=60°,即可证明结论成立;
(2)证明△AEP≌△PCQ,得AP=PQ,再由∠APQ=60°,即可证明△APQ为等边三角形.
【方法技巧】
等边三角形性质与判定的总结
(1)等边三角形中蕴含的“三”:
三边相等,三角相等,有三条对称轴,三线合一,连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.
(2)判定等边三角形的三种思路:
①证三角形的三条边相等;
②证三角形的三个角相等;
③先证三角形的一个角为60°,再证两条边相等.
【变式训练】
1.(2023·永州道县一模)一个等边三角形,一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置,等腰三角形的底角∠3=80°,则∠1+∠2= .
2.(2024·潍坊中考)如图,在直角坐标系中,等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4),点B,C均在x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C',则点C'的坐标为 ( ) .
考点4　命题与定理
【例4】(2024·无锡中考)命题“若a>b,则a-3【方法技巧】
判断命题真假的方法
对于命题真假(正误)的判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真假.
【变式训练】
下列命题是真命题的是( )
A.相等的两个角是对顶角
B.相等的圆周角所对的弧相等
C.若aD.在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是
考点5　直角三角形的性质与判定(一题多设问)
【例5】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)若∠A=4∠B,则∠A的度数为 .
(2)如图,若∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,求证:BD=2CD.
(3)如图,CD是AB边的中线,CE是BD边的中线,当DE=2时,则CD的长为 .
(4)如图,若CA=BD=CB=2,AD=2.
①求AB的长;
②求△ABD的面积.
【满分技法】
1.直角三角形性质的四个应用:
(1)可利用直角三角形两锐角互余;
(2)在直角三角形中,有30°锐角可考虑其所对直角边等于斜边的一半;
(3)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(4)在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.
1.(2024·湖南中考)下列命题中,正确的是( )
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
2.(2022·永州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,点D为边AC的中点,BD=2,则BC的长为( )
A. B.2 C.2 D.4
3.(2021·益阳中考)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
4.(2022·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE= .
5.(2024·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第十九讲　等腰三角形与直角三角形 教师版
知识要点
1.等腰三角形的性质与判定
等腰三角形 性质 等腰三角形的　两腰　相等
等边对等角:等腰三角形的两底角　相等　
三线合一:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高　相互重合　
等腰三角形是轴对称图形,只有　一条　对称轴
判定 有　两条　边相等的三角形是等腰三角形
等角对等边:有　两个　角相等的三角形是等腰三角形
等边三角形 性质 等边三角形的三边　相等　
等边三角形的三个角相等,且都等于　60°　
等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,即三边的　垂直平分线　
判定 　三条　边都相等的三角形是等边三角形
　三个　角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是　60°　的等腰三角形是等边三角形
对点练习
1.(1)如图,∠B,∠C的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是(C)
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;
②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;
④BD=CE.
A.③④ B.①②
C.①②③ D.②③④
(2)已知在△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为　12　.
知识要点
2.线段垂直平分线(中垂线)的性质与判定
(1)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段　两个端点　的距离相等;
(2)判定:到线段　两个端点　距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
对点练习
2.(教材再开发·湘教八上P72习题T1改编)在△ABC中,∠C=31°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为(C)
A.31° B.62° C.87° D.93°
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
性质 直角三角形的两个锐角　互余　
30°角所对的直角边等于　斜边　的一半
直角三角形斜边上的中线等于　斜边　的一半
勾股定理:直角三角形中两直角边的　平方和　等于斜边的平方
判定 两个锐角　互余　的三角形是直角三角形
勾股定理的逆定理:若三角形三边长a,b,c满足　a2+b2=c2　,则这个三角形是直角三角形
对点练习
3.(1)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=5,CD是AB边上的中线,则CD的长是(C)
A.20 B.10 C.5 D.
(2)直角三角形两条直角边的长分别为8和6,则斜边上的高为　4.8　.
知识要点
4.命题与定理
(1)真命题:题设成立,结论　一定成立　的命题;
(2)假命题:题设成立,不能保证结论　一定成立　的命题;
(3)互逆命题:一个命题的题设和结论分别是另一个命题的　结论和题设　,这两个命题称为互逆命题;
(4)互逆定理:若一个定理的逆命题是　正确　的,那么它就是这个定理的逆定理,这两个定理为互逆定理.
对点练习
4.(教材再开发·湘教八上P52T3改编)下列命题中,逆命题是真命题的是(B)
A.等腰三角形的两边长是3和7,则其周长为17
B.直角三角形三条边的比是3∶4∶5
C.全等三角形的面积相等
D.若x=1,则x2=1
考点1　等腰三角形的性质与判定
【例1】(2024·长沙模拟)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
(1)证明:BA=BC;
(2)求证:△AFC为等腰三角形.
【证明】(1)在△ABD和△CBE中,
,
∴△ABD≌△CBE(AAS),
∴BA=BC;
(2)∵BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵∠BAD=∠BCE,
∴∠FAC=∠FCA,
∴FA=FC,
∴△AFC为等腰三角形.
【变式训练】
1.(2024·运城一模)木工师傅将一个等腰直角三角尺和一个铅锤如图放置(斜边与水平面平行,直角顶点在横梁上),就能检查一根横梁是否水平,能解释这一现象的数学知识是(B)
A.垂线段最短
B.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
C.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
2.(2024·海淀二模)如图,l1∥l2,点A在l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交l1,l2于点B,C,连接AC,BC.若∠1=40°,则∠ABC的大小为(C)
A.80°　 B.75°　 C.70°　 D.65°
考点2　线段垂直平分线的性质与判定
【例2】(2022·衡阳中考)如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N,作直线MN交CB于点D,连接AD.若AC=8,BC=15,则△ACD的周长为　23　.
【方法技巧】
线段垂直平分线的应用技巧
(1)两组相等的线段:
①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
②被垂直平分的线段,被分成两条相等的线段.
(2)一个常用辅助线:证题时,连接垂直平分线上的点和线段的端点,可以得到等腰三角形.
(3)在尺规作图中的应用:利用尺规作出线段的垂直平分线,可以得到一条直线的垂线或一个线段的中点.
【变式训练】
(2023·娄底娄星区一模)在等腰△ABC中,AB=AC=4,按如图所示的痕迹进行尺规作图得到直线DE,交AC于点D,交AB于点E,连接CE,已知CE=BC,取BE的中点F,连接DF,则DF=　2　.
考点3　等边三角形的性质与判定
【例3】(2023·益阳市赫山区模拟)如图,已知P是等边△ABC中BC边上一点.
(1)过点P作PE∥AC,求证:△BPE为等边三角形;
(2)连接AP,以P为顶点作∠APQ=60°,PQ交∠C的外角平分线于点Q,连接AQ,那么△APQ是什么三角形 证明你的结论.
【思路点拨】(1)由△ABC是等边三角形得∠B=∠BAC=∠BCA=60°,再由PE∥AC得∠BPE=∠BCA=60°,即可证明结论成立;
(2)证明△AEP≌△PCQ,得AP=PQ,再由∠APQ=60°,即可证明△APQ为等边三角形.
【自主解答】(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°,
∵PE∥AC,∴∠BPE=∠BCA=60°,
∴∠B=∠BPE=∠BEP=60°,
∴△BPE为等边三角形;
(2)△APQ是等边三角形,证明如下:
∵△ABC是等边三角形,△BPE为等边三角形,∴AB=BC,BP=PE=BE,∠BEP=∠ACB=60°,∴AE=AB-BE,PC=BC-BP,∴AE=PC,∵∠BEP=∠ACB=60°,∠BEP+∠AEP=180°,CQ平分∠ACB的补角,∴∠AEP=120°=60°+60°=60°+=∠PCQ,
∵∠BAP+∠APE=60°,∠CPQ+∠APE=180°-60°-60°=60°,∴∠BAP=∠CPQ,
∴△AEP≌△PCQ(ASA),∴AP=PQ,
∵∠APQ=60°,∴△APQ为等边三角形.
【方法技巧】
等边三角形性质与判定的总结
(1)等边三角形中蕴含的“三”:
三边相等,三角相等,有三条对称轴,三线合一,连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.
(2)判定等边三角形的三种思路:
①证三角形的三条边相等;
②证三角形的三个角相等;
③先证三角形的一个角为60°,再证两条边相等.
【变式训练】
1.(2023·永州道县一模)一个等边三角形,一个直角三角形以及一个等腰三角形如图放置,等腰三角形的底角∠3=80°,则∠1+∠2=　130°　.
2.(2024·潍坊中考)如图,在直角坐标系中,等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4),点B,C均在x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C',则点C'的坐标为 (4,4-)　.
考点4　命题与定理
【例4】(2024·无锡中考)命题“若a>b,则a-3【方法技巧】
判断命题真假的方法
对于命题真假(正误)的判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真假.
【变式训练】
下列命题是真命题的是(D)
A.相等的两个角是对顶角
B.相等的圆周角所对的弧相等
C.若aD.在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球,它们除颜色外其余都相同,从箱子里任意摸出1个球,摸到白球的概率是
考点5　直角三角形的性质与判定(一题多设问)
【例5】已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)若∠A=4∠B,则∠A的度数为　72°　.
(2)如图,若∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,求证:BD=2CD.
【自主解答】△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=90°-30°=60°,
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠CAD=×60°=30°,
∴∠BAD=∠B,∴BD=AD,
在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,
∴AD=2CD,∴BD=2CD.
(3)如图,CD是AB边的中线,CE是BD边的中线,当DE=2时,则CD的长为　4　.
(4)如图,若CA=BD=CB=2,AD=2.
①求AB的长;
②求△ABD的面积.
【自主解答】①∵∠C=90°,AC=BC=2,
∴AB===2,
∴AB的长为2;
②∵AB2+BD2=(2)2+22=12,AD2=(2)2=12,
∴AB2+BD2=AD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ABD=90°,
∴△ABD的面积=AB·BD
=×2×2
=2.
【满分技法】
1.直角三角形性质的四个应用:
(1)可利用直角三角形两锐角互余;
(2)在直角三角形中,有30°锐角可考虑其所对直角边等于斜边的一半;
(3)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(4)在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.
1.(2024·湖南中考)下列命题中,正确的是(A)
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
2.(2022·永州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,点D为边AC的中点,BD=2,则BC的长为(C)
A. B.2 C.2 D.4
3.(2021·益阳中考)如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(C)
A.40° B.30° C.20° D.15°
4.(2022·永州中考)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则AE=　3　.
5.(2024·长沙中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=2,AC=2,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧分别交于点M和N,作直线MN分别交AB,BC于点D,E,连接CD,AE.
(1)求CD的长;
(2)求△ACE的周长.
【解析】(1)由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴点D为AB的中点,
∴CD=AB=.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得,BC===4.
∵直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB.
∴△ACE的周长为AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=2+4=6.
- 9 -

展开更多......

收起↑