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2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十二讲　矩形、菱形、正方形 学生版
知识要点 对点练习
1.矩形的性质与判定 性质除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是 . (2)矩形的对角线 . (3)既是 图形,又是轴对称图形. 判定(1)有一个角是 的平行四边形. (2)对角线 的平行四边形. (3)有三个角是 的四边形.
1.(1)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,∠AOB=40°,则∠ACD的度数为( ) A.50° B.55° C.65° D.70° (2)下列条件能使平行四边形ABCD是矩形的为 . ①AC⊥BD;②∠BAD=90°; ③AB=BC;④AC=BD.
2.菱形的性质与判定 性 质除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都 . (2)菱形的两条对角线互相 ,并且每一条对角线平分 . (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的 . (4)既是 图形,又是轴对称图形. 判 定(1)有一组邻边 的平行四边形. (2)对角线互相 的平行四边形. (3)四条边 的四边形.
2.(1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( ) A.AB∥DC B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC (2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是( ) A.对角线相等的平行四边形 B.对角线互相垂直且相等的四边形 C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
3.正方形的性质与判定 性 质(1)正方形的四条边都 . (2)正方形的四个角都是 . (3)正方形的两条对角线 且互相 ,每一条对角线平分一组对角. (4)既是 图形,又是轴对称图形. 判 定(1)有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形. (2)有一组邻边 的矩形. (3)有一个角是 的菱形. (4)对角线相等且垂直的平行四边形.
3.(1)如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,CE, ∠BCE=70°,则∠EAD为( ) A.10° B.15° C.20° D.30° (2)(教材再开发·湘教八下P74练习T2改编)已知四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是 .
考点1　矩形的性质与判定
【例1】(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为( )
A.6　 B.5　 C.4　 D.3
【变式训练】
1.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AD　 B.AC⊥BD
C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD
2.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
考点2　菱形的性质与判定
【例2】(2024·呼伦贝尔中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
【方法技巧】
解决菱形有关问题的技巧
1.根据菱形性质转化为三角形:菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形,两条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形;
2.菱形判定方法的选择:若易得四边形为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;若相等的边较多,则可证四条边相等.
提醒:菱形的面积有两种求法,可以底乘高,也可以对角线相乘再除以2.
【变式训练】
1.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=( )
A.40°　 B.50°　 C.60°　 D.140°
2.(2024·广安中考)如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
考点3　正方形的性质与判定
【例3】(教材原题·湘教版八年级下册·P73例2)
如图,已知点A',B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
【思路点拨】根据正方形的性质及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',从而得出四边形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一个角为90°,再根据有一个角是90°的菱形是正方形,判定四边形A'B'C'D'是正方形.
【变式训练】
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件: ,使得矩形ABCD为正方形.
1.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2022·株洲中考)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是( )
A.OB=CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=AE
D.BE=CE
3.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为( )
A.80° B.90° C.105° D.115°
4.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为 .
5.(2024·长沙中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABC=90°.
(1)求证:AC=BD;
(2)点E在BC边上,满足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tan∠CEO的值.
2025年湖南省中考数学一轮复习
第二十二讲　矩形、菱形、正方形 教师版
知识要点 对点练习
1.矩形的性质与判定 性质除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是　直角　. (2)矩形的对角线　相等　. (3)既是　中心对称　图形,又是轴对称图形. 判定(1)有一个角是　直角　的平行四边形. (2)对角线　相等　的平行四边形. (3)有三个角是　直角　的四边形.
1.(1)如图,AC,BD是矩形ABCD的对角线,∠AOB=40°,则∠ACD的度数为(D) A.50° B.55° C.65° D.70° (2)下列条件能使平行四边形ABCD是矩形的为　②④　. ①AC⊥BD;②∠BAD=90°; ③AB=BC;④AC=BD.
2.菱形的性质与判定 性 质除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都　相等　. (2)菱形的两条对角线互相　垂直　,并且每一条对角线平分　一组对角　. (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的　一半　. (4)既是　中心对称　图形,又是轴对称图形. 判 定(1)有一组邻边　相等　的平行四边形. (2)对角线互相　垂直　的平行四边形. (3)四条边　相等　的四边形.
2.(1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是(B) A.AB∥DC B.AB=BD C.AC⊥BD D.OA=OC (2)下列条件中,能判定四边形是菱形的是(C) A.对角线相等的平行四边形 B.对角线互相垂直且相等的四边形 C.对角线互相平分且垂直的四边形 D.对角线互相垂直的四边形
3.正方形的性质与判定 性 质(1)正方形的四条边都　相等　. (2)正方形的四个角都是　直角　. (3)正方形的两条对角线　相等　且互相　垂直平分　,每一条对角线平分一组对角. (4)既是　中心对称　图形,又是轴对称图形. 判 定(1)有一组邻边　相等　并且有一个角是　直角　的平行四边形. (2)有一组邻边　相等　的矩形. (3)有一个角是　直角　的菱形. (4)对角线相等且垂直的平行四边形.
3.(1)如图,在正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,连接AE,CE, ∠BCE=70°,则∠EAD为(C) A.10° B.15° C.20° D.30° (2)(教材再开发·湘教八下P74练习T2改编)已知四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以是　AB=AD或AC⊥BD等　.
考点1　矩形的性质与判定
【例1】(2024·甘肃中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABD=60°,AB=2,则AC的长为(C)
A.6　 B.5　 C.4　 D.3
【变式训练】
1.(2024·成都中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C)
A.AB=AD　 B.AC⊥BD
C.AC=BD　 D.∠ACB=∠ACD
2.(2024·贵州中考)如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:
①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩形;
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)选择①,∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
选择②,∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形;
(2)∵AB=3,AC=5,∠ABC=90°,
∴BC==4,
∴四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.
考点2　菱形的性质与判定
【例2】(2024·呼伦贝尔中考)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若平行四边形ABCD的周长为22,CE=1,∠BAD=120°,求AE的长.
【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA,
∵O为BF的中点,∴BO=FO,
∴△AOF≌△EOB(AAS),∴BE=FA,
∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,
又AB=AF,∴四边形ABEF是菱形;
(2)∵AD=BC,AF=BE,∴DF=CE=1,
∵平行四边形ABCD的周长为22,
∴菱形ABEF的周长为22-2=20,
∴AB=20÷4=5,∵四边形ABEF是菱形,
∴∠BAE=∠BAD=×120°=60°,
又AB=AE,∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=5.
【方法技巧】
解决菱形有关问题的技巧
1.根据菱形性质转化为三角形:菱形的一条对角线将菱形分为两个全等的等腰三角形,两条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形;
2.菱形判定方法的选择:若易得四边形为平行四边形,则再证一组邻边相等或对角线互相垂直;若相等的边较多,则可证四条边相等.
提醒:菱形的面积有两种求法,可以底乘高,也可以对角线相乘再除以2.
【变式训练】
1.(2024·自贡中考)如图,以点A为圆心,适当的长为半径画弧,交∠A两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=40°,则∠MBN=(A)
A.40°　 B.50°　 C.60°　 D.140°
2.(2024·广安中考)如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE.
【证明】∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,∴AE=CF,
在△DAE和△DCF中,
,∴△DAE≌△DCF(SAS),
∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.
考点3　正方形的性质与判定
【例3】(教材原题·湘教版八年级下册·P73例2)
如图,已知点A',B',C',D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
【思路点拨】根据正方形的性质及全等三角形的判定SAS判定△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C',从而得出四边形A'B'C'D'是菱形,利用互余得出一个角为90°,再根据有一个角是90°的菱形是正方形,判定四边形A'B'C'D'是正方形.
【证明】∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=DA.
又∵AA'=BB'=CC'=DD',
∴D'A=A'B=B'C=C'D.
又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'(SAS).
∴A'D'=B'A'=C'B'=D'C',
∴四边形A'B'C'D'是菱形.
又∵∠1=∠3,∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°,∴∠D'A'B'=90°,
∴四边形A'B'C'D'是正方形.
【变式训练】
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:　答案不唯一,AC⊥BD或者AB=AD　,使得矩形ABCD为正方形.
1.(2023·湘潭中考)如图,菱形ABCD中,连接AC,BD,若∠1=20°,则∠2的度数为(C)
A.20° B.60° C.70° D.80°
2.(2022·株洲中考)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是(D)
A.OB=CE
B.△ACE是直角三角形
C.BC=AE
D.BE=CE
3.(2023·常德中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO,DO上的一点,且EF∥AD,连接AF,DE.若∠FAC=15°,则∠AED的度数为(C)
A.80° B.90° C.105° D.115°
4.(2023·怀化中考)如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3.则点P到直线AB的距离为　3　.
5.(2024·长沙中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∠ABC=90°.
(1)求证:AC=BD;
(2)点E在BC边上,满足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tan∠CEO的值.
【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,且∠ABC=90°,所以四边形ABCD是矩形,所以AC=BD;
(2)在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
所以AC===10,
因为四边形ABCD是矩形,
所以CO=AC=5,OB=OC.
因为∠CEO=∠COE,
所以CE=CO=5.过点O作OF⊥BC于点F,则CF=BC=4,
所以EF=CE-CF=5-4=1,
在Rt△COF中,OF===3,
所以tan∠CEO==3.
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