资源简介

第1课时　实数
考点一　实数的分类
按定义分类
实数
常考无理数的四种类型:
(1)π及化简后含π的数,如2π,π+3等.
(2)开方开不尽的数,如,,,等.
(3)虽有规律但是无限不循环小数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)等.
(4)化简后含有根号的三角函数值,如sin 60°,tan 30°等.
按大小分类
(1)实数
(2)正负数的意义:正负数可以用于表示一组具有相反意义的量.如规定“盈利(+)”则“亏损(-)”,“胜(+)”则“负(-)”,“收入(+)”则“支出(-)”,“零上(+)”则“零下(-)”,水位“上升(+)”则“下降(-)”等.
① (2024·唐山三模)下列选项中,可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是 (　　)
A.1和2 B.-1和-2 C.-1和2 D.-1和0
② 如图,若a表示一个无理数,则a可以是 (　　)
A.- B.- C. D.-
考点二　实数的相关概念
相反数
(1)非零实数a的相反数为④　　　　,特别地,0的相反数为0.
(2)a,b互为相反数 a+b=⑤　　　　.
(3)数轴上表示互为相反数(除0外)的两个点分别位于原点两侧,且到原点的距离⑥　　　　.
倒数
(1)非零实数a的倒数为⑦　　　　.特别注意:0没有倒数,倒数是它本身的数是⑧　　　　.
(2)a,b互为倒数 ab=⑨　　　　.
绝对值
(1)性质:|a|=绝对值具有非负性
(2)几何意义:数轴上表示数a的点到原点的距离.
数轴
(1)三要素:
(2)实数与数轴上的点是一一对应的.
③ (冀教七上P14变式)如图,数轴上有A,B,C,D四个点,请回答下列问题:
(1)到原点距离相等的两个点是　　　　和　　　　.
(2)点A位于-5和-4的正中间,则点A表示的数的倒数是　　　　.
(3)点D表示的数的相反数是　　　　.
(4)点B表示的数的绝对值是　　　　.
(5)数轴上存在一点P,使BP=2BD,点P所表示的数是　　　　.
考点三　科学记数法
　　用科学记数法把一个数表示成a×10n的形式时,关键是确定a和n的值:
确定a的值: 　　　　≤|a|< 　　　　.
确定n的值:当原数的绝对值≥10时,n为 　　　　,n的值等于原数的整数位数减1或原数变为a时小数点向左移动的位数;当0<原数的绝对值<1时,n为 　　　　,n的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前零的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a时小数点向右移动的位数.
将用科学记数法表示的数a×10n(n为正整数)还原成原数时,只需将a的小数点向右移动n位;当n为负整数时,只需在a前补n个零,小数点在第一个零后.
对于含计数(量)单位的数用科学记数法表示时,可先把计数(量)单位转换为数字,然后用科学记数法来表示.常考的计数单位有1千=103,1万=104,1亿=108等;常考的计量单位有1 mm= 10-3 m,1 μm=10-6 m,1 nm=10-9 m等.
④ 小明做如图所示教材中的部分练习题,结果如下:
练习:
1.用科学记数法表示数:100 000 000.
2.用科学记数法表示数:-0.000 000 009.
第1题:100 000 000=105.
第2题:-0.000 000 009=-0.9×10-9.
两个数据用科学记数法表示的结果 (　　)
A.都正确 B.都不正确
C.第1题正确,第2题不正确 D.第1题不正确,第2题正确
⑤ 将6.5×107还原成原数为　 ;
6.05×10-7还原成原数为　　　　　　.
考点四　近似数和精确度
近似数:一个数四舍五入以后得到的数.
精确度:近似数与准确数的接近程度.一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位.
⑥ 3.141 59精确到0.1(十分位)为　　　　,精确到0.01(百分位)为　　　　,精确到0.001(千分位)为　　　　.
考点五　平方根、算术平方根、立方根
平方根 实数a(a≥0)的平方根为 　　　　;正数有两个平方根,且互为 　　　　;0的平方根为 　　　　;负数没有平方根
算术平 方根 实数a(a>0)的算术平方根为 　　　　;0的算术平方根为 　　　　;负数没有算术平方根
立方根 实数a(a为任意实数)的立方根为
⑦ (冀教八上P65变式)已知a为一个正数,回答下列问题:
(1)若a=64,则a的平方根是　　　　,立方根是　　　　,的算术平方根是　　　　.
(2)若a的平方根是1+x和5+x,则a=　　　　.
(3)若a-2的算术平方根是1,b+3的立方根是-2,则a+b=　　　　.
考点六　非负数
非负数 在实数范围内,正数和0统称为非负数,常见的非负数: (1)任意实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0. (2)任意实数a的偶次方是非负数,即a2n≥0,n为正整数. (3)任意非负数a的n次算术根是非负数,即≥0(a≥0),常考≥0(a≥0)
非负数 的和 若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0,如: (1)若a2+b2=0,则a=0且b=0. (2)若|a|+|b|=0,则a=0且b=0. (3)若+=0,则a=0且b=0. (4)若a2+|b|+=0,则a= 　　　　,b= 　　　　,c= 　　　　
⑧ 若a,b是实数,
(1)(a-1)2+|b-a+3|=0,则a=　　　　;b=　　　　.
(2)|a|=++4,则a的值为　　　　;a+b=　　　　.
在数轴上a,b,c三个数所对应的点分别为A,B,C.已知b是最小的正整数,且a,c满足|a+2|与(c-7)2互为相反数,请回答问题:
(1)请直接写出a,b,c的值:a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.
(2)A与B两点间的距离为　　　　个单位长度.
(3)若将数轴折叠,使点A与点C重合,则点B与数　　　　对应的点重合.
(4)若将OB分成200等份,离原点最近的点表示的数用科学记数法可表示为　　　.
(5)点P为一动点,其对应的数为x,当点P在A,B之间运动时,请化简式子:|x+2|-|x-1|-|x+5|.(请写出化简过程)
(6)在(1)和(2)的条件下,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点C以每秒1个单位长度的速度向右运动,假设经过t秒,点B与点C之间的距离为BC,点A与点B之间的距离为AB,则BC=　　　　,AB=　　　　,并求出BC-AB的值.
(1)-2　1　7
解析:由题意,得b=1.
∵|a+2|≥0,(c-7)2≥0,
∴当|a+2|+(c-7)2=0时,
则a+2=0,c-7=0.∴a=-2,c=7.
(2)3
(3)4
解析:由(1)知,a=-2,b=1,c=7.
∵将数轴折叠,使点A与点C重合,
∴此时,沿着2.5对应的点折叠.
∴点B与数4对应的点重合.
(4)5×10-3
解析:该点表示的数为=5×10-3.
(5)解:根据图形可得-2∴原式=x+2+x-1-x-5=x-4.
(6)6+t　3+t
解:经过t秒,点A表示的数是-2-t,点C表示的数是7+t,
∴BC=7+t-1=6+t,AB=1-(-2-t)=3+t,则BC-AB=6+t-(3+t)=3.
命题点一　实数的分类
(2024·河北)规定:(→2)表示向右移动2记作+2,则(←3)表示向左移动3记作 (　　)
A.+3 B.-3 C.- D.+
(2023·河北)下列运算结果为正数的是(　　)
A.(-3)2 B.-3÷2 C.0×(-2 017) D.2-3
命题点二　实数的相关概念
一、相反数、倒数、绝对值等基本概念
(2023·河北)计算:-(-1)= (　　)
A.±1 B.-2 C.-1 D.1
(2023·河北)下列说法正确的是 (　　)
A.1的相反数是-1 B.1的倒数是-1
C.1的立方根是±1 D.-1是无理数
(2022·河北)-2是2的 (　　)
A.倒数 B.相反数
C.绝对值 D.平方根
(2023·河北)若|a|=2 0150,则a=　　　　.
二、数轴
(2023·河北)如图,将数轴上-6与6两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则下列正确的是(　　)
A.a3>0 B.|a1|=|a4|
C.a1+a2+a3+a4+a5=0 D.a2+a5<0
命题点三　科学记数法
(2024·河北)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为 (　　)
A.4×104 m2 B.16×104 m2 C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2
(2024·河北)一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为 (　　)
A.5×10-4 B.5×10-5
C.2×10-4 D.2×10-5
(2024·河北)一个整数815550…0 用科学记数法表示为8.155 5×1010,则原数中“0”的个数为 (　　)
A.4 B.6 C.7 D.10
(2023·河北)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46×1012 km.下列正确的是(　　)
A.9.46×1012-10=9.46×1011 B.9.46×1012-0.46=9×1012
C.9.46×1012是一个12位数 D.9.46×1012是一个13位数
(2023·河北)已知光速为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为 (　　)
A.5 B.6
C.5或6 D.5或6或7
命题点四　近似数和精确度
(2024·河北样题)5.0×102精确到 (　　)
A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位
命题点五　平方根、算术平方根、立方根
(2023·河北)与结果相同的是 (　　)
A.3-2+1 B.3+2-1
C.3+2+1 D.3-2-1
(2023·河北)8的立方根为　　　　.
命题点六　非负数的性质
(2022·河北)若实数m,n满足|m-2|+(n-2 014)2 =0,则m-1+n0=　　　　.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①负有理数　②无限不循环　③0　④-a　⑤0　⑥相等　⑦　⑧±1　⑨1　⑩-a　1　10　正整数　负整数　±　相反数　0　　0　0　0　0
对应练习
1.C　解析:∵正数和负数表示一对相反意义的量,∴-1和2表示一对相反意义的量.故选C.
2.D　解析:观察数轴可知-20,故该选项不符合题意;D.-2<-<-1,且-是无理数,故该选项符合题意.故选D.
3.(1)B　D　(2)-　(3)-2　(4)2
(5)6或-10　解析:(5)∵点B表示的数是-2,点D表示的数是2,∴BD=4.∵BP=2BD,∴BP=8,∴点表示的数是6或-10.
4.B
5.65 000 000　0.000 000 605
6.3.1　3.14　3.142
7.(1)±8　4　2　(2)4　(3)-8
解析:(1)a的平方根是±=±8,a的立方根是=4, =8,∴的算术平方根是2.
(2)∵a的平方根是1+x和5+x,
∴1+x+5+x=0,∴x=-3,
∴1+(-3)=-2,5+(-3)=2,
∴a=4.
(3)∵a-2的算术平方根是1,
∴a-2=1,即a=3.
∵b+3的立方根是-2,
∴b+3=-8 ,即b=-11.
∴a+b=3+(-11)=-8.
8.(1)1　-2　(2)±4　5或-3
解析:(1)由题意可得,a-1=0,b-a+3=0,∴a=1,b=-2.
(2)由题意可得,
∴b=1,|a|=4,即b=1,a=±4,
∴a+b=5或-3.
河北中考·真题体验
1.B　解析:由题意,得(←3)表示向左移动3,记作-3.故选B.
2.A　解析:(-3)2=9.故选A.
3.D　解析:-(-1)=1.故选D.
4.A　解析:1的相反数是-1.故选A.
5.B　解析:-2是2的相反数.故选B.
6.±1　解析:∵|a|=2 0150,∴|a|=1.∴a=±1.
7.C　解析:根据题意可以推断a1,a2,a3,a4,a5表示的数依次为-4,-2,0,2,4,∴a1+a2+a3+a4+a5=0.故选C.
8.C　解析:(4×102)×(4×102)=16×104=1.6×105(m2).故选C.
9.D　解析:=0.000 02=2×10-5.故选D.
10.B　解析:该整数可表示为81 555 000 000,原数中0的个数为6.故选B.
11.D　解析:A.9.46×1012÷10=9.46×1011,故该选项错误,不符合题意;B.9.46×1012-0.46≠9×1012,故该选项错误,不符合题意;C.9.46×1012是一个13位数,故该选项错误,不符合题意;D.9.46×1012是一个13位数,正确,符合题意.故选D.
12.C　解析:当t=1时,光的传播距离是1×300 000=3×105(km),则n=5;当t=10时,光的传播距离为10×300 000=3×106(km),则n=6.∵1≤t≤10,∴n可能为5或6.故选C.
13.C　解析:5.0×102=500,精确到十位.故选C.
14.A　解析:=2,3-2+1=2.故选A.
15.2　解析:=2.
16.　解析:由题意,得m-2=0,n-2 014=0.∴m=2,n=2 014.∴m-1+n0=2-1+2 0140=+1=.

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