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第2课时　实数的大小比较及运算
考点一　实数的大小比较
数轴比较法 在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数①　　　　左边的点表示的数
性质比较法 正数大于0,负数小于0;两个正数,绝对值大的数较②　　　　;两个负数,绝对值大的数较③　　　　
作差比较法 设a,b是任意的两个实数,若a-b>0,则a④　　　　b;若a-b=0,则a⑤　　　　b;若a-b<0,则a⑥　　　　b
平方比较法 若a> a2>b(b>0)(主要应用于二次根式估值及含有二次根号的数的大小比较)
特殊值法 含有字母时,给字母取特殊值比较大小,更加简便快捷
(1)给出一组数据(正、负数均有)求最大的数值在正数中寻找.(2)进行大小排序时,先排序正数,再排序负数,根据正数>0>负数进行最终排序,也可将数在数轴上表示出来,从左到右,数越来越大.
① (2024·贵州)下列有理数中最小的数是 (　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
② (冀教七上P14变式)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 (　　)
A.a<-2 B.b<2 C.ab
③ 若0”连接)
考点二　实数的运算
运算法则
加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值⑦　　　　;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值⑧　　　　较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得⑨　　　　;一个数同0相加,仍得这个数
减法 减去一个数,等于加上这个数的⑩　　　　,即a-b=a+(-b)
乘法 两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘,仍得0,即
除法 两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个非零的数都得0;一个数除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数,即a÷b=a· 　　　　(b≠0)
乘方 an表示n个相同的因数a相乘,即an=
|a-b|=先判断绝对值符号中运算结果的正负性,再根据绝对值的非负性写出结果
常见运算
运算 法则 举例
零次幂 a0=1(a≠0) (π-2)0=1
-1的奇、偶次幂 偶数次幂为1,奇数次幂为-1 (-1)2 024=1,(-1)2 023=-1
负整数指数幂 a-n=(a≠0,n为正整数) 2-1=,==9
特殊角的锐角三角函数值 sin 30°=,sin 45°=,sin 60°=; cos 30°=,cos 45°=,cos 60°=;tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=
(1)指数的符号与结果正负无关,负指数可按“倒底数,反指数”快速计算.(2)当绝对值符号前是“-”时,去掉绝对值符号后,先加上括号然后再去括号.
实数混合运算的解题步骤
(1)先将每个小项的值计算出来,一般涉及的有乘方、-1的奇偶次幂、零次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方运算等.
(2)再根据实数的运算顺序计算:先乘方,再乘除,后加减;有括号时先计算括号里面的,同级运算按照从左到右的顺序进行运算.
(3)最后计算结果.
简便运算
(1)先“凑十”“凑百”“凑千”,然后利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.
例如:-9×42
=-(10-)×42
=-(10×42-×42)
=-(420-2)
=-418.
9982
=(1 000-2)2
=1 0002-2×1 000×2+22
=996 004.
99×(-100)
=-(100-)×(100+)
=-[1002-()2]
=-(10 000-)
=-9 999.
(2)先将算式中所有的小数或分数凑成整数,再进行计算.
例如:(-5)×8×(-1)×(-1.25)
=[(-5)×(-)]×[8×(-1.25)]
=9×(-10)
=-90.
4.61×-5.39×(-)+3×(-)
=4.61×+5.39×-3×
=×(4.61+5.39-3)
=×7
=3.
(3)直接利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.
例如:(3+2)(3-2)
=(3)2-(2)2
=18-12
=6.
(-48)×(-+)
=(-48)×(-)+(-48)×-(-48)×
=36-40+28
=24.
-101×190+1012+952
=1012-2×101×95+952
=(101-95)2
=62
=36.
(1-)(1-)×(1-)×…×(1-)
=(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×…×(1-)×(1+)
=×…×
=
=.
④ (人教八上P143变式)下列计算正确的是 (　　)
A.(-2)0=-1 B.-23=-8 C.3-1=- D.3-2=-6
⑤ (2024·邯郸丛台区二模)计算+的结果是 (　　)
A.3m+4n B.m3+4n C.3m+4n D.3m+n4
⑥ 下列各式中正确的是 (　　)
A.-7+3=4 B.7-(-7)=0 C.-3.5×(-2)=7 D.(-)÷(-)=-
⑦ 计算:（）-1-2cos 30°+|-|-(4-π)0=　　　　.
⑧ (原创)计算:
(1)(+)×(-)-2. (2)|-3|+2cos 30°+()-1+(π-)0+.
在数学活动课上,李老师设计了一个游戏活动,四名同学分别代表一种运算,四名同学可以任意排列,每次排列代表一种运算顺序,剩余同学中,一名学生负责说一个数,其他同学负责运算,运算结果既对又快者获胜,可以得到一个奖品.
下面我们用四个卡片代表四名同学(如图):
(1)列式,并计算:
①-10只经过B,D的顺序运算后,结果是多少
②-3经过A,B,C,D的顺序运算后,结果是多少
③5经过B,C,A,D的顺序运算后,结果是多少
(2)探究:数a经过D,C,A,B的顺序运算后,结果是45,a是多少
(1)①-10-(-5)+6=1.
②[(-3)×2-(-5)]2+6
=(-6+5)2+6
=(-1)2+6
=1+6
=7.
③[5-(-5)]2×2+6
=(5+5)2×2+6
=102×2+6
=100×2+6
=200+6
=206.
(2)由题意知,(a+6)2×2-(-5)=45,
∴(a+6)2×2=40,
∴(a+6)2=20,
∴a+6=±2,
∴a1=2-6,a2=-2-6.
命题点一　实数的大小比较
(2023·河北)点A,B在数轴上的位置如图所示,其对应的数分别是a和b.对于以下结论:甲:b-a<0;乙:a+b>0;丙:|a|<|b|;丁:>0.其中正确的是 (　　)
A.甲乙 B.丙丁 C.甲丙 D.乙丁
命题点二　实数的运算
一、实数的简单运算
(2024·河北)与-3相等的是 (　　)
A.-3- B.3- C.-3+ D.3+
(2023·河北)计算:3-2×(-1)= (　　)
A.5 B.1 C.-1 D.6
(2023·河北)能与-()相加得0的是 (　　)
A.- B.+ C.-+ D.-+
(2023·河北)若取1.442,计算-3-98的结果是 (　　)
A.-100 B.-144.2
C.144.2 D.-0.014 42
(2022·河北)计算:852-152= (　　)
A.70 B.700 C.4 900 D.7 000
(2023·河北)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话,根据对话内容,下列选项错误的是 (　　)
A.4+4-=6 B.4+40+40=6
C.4+=6 D.4-1÷+4=6
二、实数的复杂运算
(2024·河北)有个填写运算符号的游戏:在“1　2　6　9”中的每个　内,填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.
(1)计算:1+2-6-9.
(2)若1÷2×6　9=-6,请推算　内的符号.
(3)在“1　2　6-9”的　内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数.
(2023·河北)
利用运算律有时能进行简便计算.
例1　98×12=(100-2)×12=1 200-24=1 176.
例2　-16×233+17×233=(-16+17)×233=233.
请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:
(1)999×(-15).
(2)999×118+999×(-)-999×18.
(2023·河北)如图,在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1.设点A,B,C 所对应数的和是p.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p 的值;若以 C 为原点,p又是多少
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.
(2024·河北)如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12.
(1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值.
(2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①大于　②大　③小　④>　⑤=
⑥<　⑦相加　⑧减去　⑨0
⑩相反数　ab　-ab　
对应练习
1.A　解析:∵4>2>0>-2,∴最小的数是-2.故选A.
2.C　解析:由数轴,得-23.>a>-a>-　解析:∵01,-1<-a<0,-<-1,∴>a>-a>-.
4.B　解析:A.(-2)0=1,故此选项不合题意;B.-23=-8,故此选项符合题意;C.3-1=,故此选项不合题意;D.3-2=,故此选项不合题意.故选B.
5.A　解析:+,m个3相加表示为3m,根据乘方的定义:n个4相乘表示为4n,故结果是3m+4n.故选A.
6.C　解析:A.∵-7+3=-4,故选项A错误;B.∵7-(-7)=14,故选项B错误;C.∵-3.5×(-2)=7,故选项C正确;D.∵-÷-=,故选项D错误.故选C.
7.2　解析:原式=3-2×+-1=3-+-1=2.
8.解:(1)原式=+×36
=×36-×36+×36
=28-33+6
=1.
(2)原式=3-+2×+3+1+3
=10.
河北中考·真题体验
1.C　解析:由题图可知b<-3<0,02.A　解析:-3-=-3.故选A.
3.A　解析:3-2×(-1)=3+2=5.故选A.
4.C　解析:能与-相加得0的数是0--=.故选C.
5.B　解析:原式=(1-3-98)×=-100×1.442=-144.2.故选B.
6.D　解析:852-152=(85+15)×(85-15)=100×70=7 000.故选D.
7.D　解析:4-1÷+4=÷2+4=+4=4.故选D.
8.解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12.
(2)∵1÷2×6□9=-6,∴1××6□9=-6.
∴3□9=-6.∴□内的符号是“-”.
(3)这个最小数是-20.
9.解:(1)原式=(1 000-1)×(-15)=1 000×(-15)+15=-15 000+15=-14 985.
(2)原式=999×118+--18=999×100=99 900.
10.解:(1)若以B为原点,则点C表示1,点A表示-2,
∴p=1+0+(-2)=-1.
若以C为原点,则点A表示-3,点B表示-1,∴p=-3+(-1)+0=-4.
(2)若原点O在题图中数轴上点C的右边,且CO=28,则点C表示-28,点B表示-29,点A表示-31,∴p=-31+(-29)+(-28)=-88.
11.解:(1)∵点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,
∴A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30,
∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,
∴.
(2)由数轴,得DE=x-0=x,DF=12-0=12,
由题意,得,∴,
∴x=2.