资源简介 第2课时 实数的大小比较及运算考点一 实数的大小比较数轴比较法 在数轴上表示两个数的点,右边的点表示的数① 左边的点表示的数 性质比较法 正数大于0,负数小于0;两个正数,绝对值大的数较② ;两个负数,绝对值大的数较③ 作差比较法 设a,b是任意的两个实数,若a-b>0,则a④ b;若a-b=0,则a⑤ b;若a-b<0,则a⑥ b 平方比较法 若a> a2>b(b>0)(主要应用于二次根式估值及含有二次根号的数的大小比较)特殊值法 含有字母时,给字母取特殊值比较大小,更加简便快捷(1)给出一组数据(正、负数均有)求最大的数值在正数中寻找.(2)进行大小排序时,先排序正数,再排序负数,根据正数>0>负数进行最终排序,也可将数在数轴上表示出来,从左到右,数越来越大.① (2024·贵州)下列有理数中最小的数是 ( )A.-2 B.0 C.2 D.4② (冀教七上P14变式)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是 ( )A.a<-2 B.b<2 C.ab③ 若0”连接) 考点二 实数的运算 运算法则加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值⑦ ;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值⑧ 较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得⑨ ;一个数同0相加,仍得这个数 减法 减去一个数,等于加上这个数的⑩ ,即a-b=a+(-b) 乘法 两个数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘,仍得0,即除法 两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个非零的数都得0;一个数除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数,即a÷b=a· (b≠0) 乘方 an表示n个相同的因数a相乘,即an=|a-b|=先判断绝对值符号中运算结果的正负性,再根据绝对值的非负性写出结果 常见运算运算 法则 举例零次幂 a0=1(a≠0) (π-2)0=1-1的奇、偶次幂 偶数次幂为1,奇数次幂为-1 (-1)2 024=1,(-1)2 023=-1负整数指数幂 a-n=(a≠0,n为正整数) 2-1=,==9特殊角的锐角三角函数值 sin 30°=,sin 45°=,sin 60°=; cos 30°=,cos 45°=,cos 60°=;tan 30°=,tan 45°=1,tan 60°=(1)指数的符号与结果正负无关,负指数可按“倒底数,反指数”快速计算.(2)当绝对值符号前是“-”时,去掉绝对值符号后,先加上括号然后再去括号. 实数混合运算的解题步骤(1)先将每个小项的值计算出来,一般涉及的有乘方、-1的奇偶次幂、零次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方运算等.(2)再根据实数的运算顺序计算:先乘方,再乘除,后加减;有括号时先计算括号里面的,同级运算按照从左到右的顺序进行运算.(3)最后计算结果. 简便运算(1)先“凑十”“凑百”“凑千”,然后利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.例如:-9×42=-(10-)×42=-(10×42-×42)=-(420-2)=-418.9982=(1 000-2)2=1 0002-2×1 000×2+22=996 004.99×(-100)=-(100-)×(100+)=-[1002-()2]=-(10 000-)=-9 999.(2)先将算式中所有的小数或分数凑成整数,再进行计算.例如:(-5)×8×(-1)×(-1.25)=[(-5)×(-)]×[8×(-1.25)]=9×(-10)=-90.4.61×-5.39×(-)+3×(-)=4.61×+5.39×-3×=×(4.61+5.39-3)=×7=3.(3)直接利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算.例如:(3+2)(3-2)=(3)2-(2)2=18-12=6.(-48)×(-+)=(-48)×(-)+(-48)×-(-48)×=36-40+28=24.-101×190+1012+952=1012-2×101×95+952=(101-95)2=62=36.(1-)(1-)×(1-)×…×(1-)=(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×…×(1-)×(1+)=×…×==.④ (人教八上P143变式)下列计算正确的是 ( )A.(-2)0=-1 B.-23=-8 C.3-1=- D.3-2=-6⑤ (2024·邯郸丛台区二模)计算+的结果是 ( )A.3m+4n B.m3+4n C.3m+4n D.3m+n4⑥ 下列各式中正确的是 ( )A.-7+3=4 B.7-(-7)=0 C.-3.5×(-2)=7 D.(-)÷(-)=-⑦ 计算:()-1-2cos 30°+|-|-(4-π)0= . ⑧ (原创)计算:(1)(+)×(-)-2. (2)|-3|+2cos 30°+()-1+(π-)0+.在数学活动课上,李老师设计了一个游戏活动,四名同学分别代表一种运算,四名同学可以任意排列,每次排列代表一种运算顺序,剩余同学中,一名学生负责说一个数,其他同学负责运算,运算结果既对又快者获胜,可以得到一个奖品.下面我们用四个卡片代表四名同学(如图):(1)列式,并计算:①-10只经过B,D的顺序运算后,结果是多少 ②-3经过A,B,C,D的顺序运算后,结果是多少 ③5经过B,C,A,D的顺序运算后,结果是多少 (2)探究:数a经过D,C,A,B的顺序运算后,结果是45,a是多少 (1)①-10-(-5)+6=1.②[(-3)×2-(-5)]2+6=(-6+5)2+6=(-1)2+6=1+6=7.③[5-(-5)]2×2+6=(5+5)2×2+6=102×2+6=100×2+6=200+6=206.(2)由题意知,(a+6)2×2-(-5)=45,∴(a+6)2×2=40,∴(a+6)2=20,∴a+6=±2,∴a1=2-6,a2=-2-6.命题点一 实数的大小比较 (2023·河北)点A,B在数轴上的位置如图所示,其对应的数分别是a和b.对于以下结论:甲:b-a<0;乙:a+b>0;丙:|a|<|b|;丁:>0.其中正确的是 ( )A.甲乙 B.丙丁 C.甲丙 D.乙丁命题点二 实数的运算一、实数的简单运算 (2024·河北)与-3相等的是 ( )A.-3- B.3- C.-3+ D.3+ (2023·河北)计算:3-2×(-1)= ( )A.5 B.1 C.-1 D.6 (2023·河北)能与-()相加得0的是 ( )A.- B.+ C.-+ D.-+ (2023·河北)若取1.442,计算-3-98的结果是 ( )A.-100 B.-144.2C.144.2 D.-0.014 42 (2022·河北)计算:852-152= ( )A.70 B.700 C.4 900 D.7 000 (2023·河北)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话,根据对话内容,下列选项错误的是 ( )A.4+4-=6 B.4+40+40=6C.4+=6 D.4-1÷+4=6二、实数的复杂运算 (2024·河北)有个填写运算符号的游戏:在“1 2 6 9”中的每个 内,填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果.(1)计算:1+2-6-9.(2)若1÷2×6 9=-6,请推算 内的符号.(3)在“1 2 6-9”的 内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数. (2023·河北)利用运算律有时能进行简便计算.例1 98×12=(100-2)×12=1 200-24=1 176.例2 -16×233+17×233=(-16+17)×233=233.请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:(1)999×(-15).(2)999×118+999×(-)-999×18. (2023·河北)如图,在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1.设点A,B,C 所对应数的和是p.(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p 的值;若以 C 为原点,p又是多少 (2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p. (2024·河北)如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12.(1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值.(2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值.【详解答案】教材考点·深度梳理①大于 ②大 ③小 ④> ⑤=⑥< ⑦相加 ⑧减去 ⑨0⑩相反数 ab -ab 对应练习1.A 解析:∵4>2>0>-2,∴最小的数是-2.故选A.2.C 解析:由数轴,得-23.>a>-a>- 解析:∵01,-1<-a<0,-<-1,∴>a>-a>-.4.B 解析:A.(-2)0=1,故此选项不合题意;B.-23=-8,故此选项符合题意;C.3-1=,故此选项不合题意;D.3-2=,故此选项不合题意.故选B.5.A 解析:+,m个3相加表示为3m,根据乘方的定义:n个4相乘表示为4n,故结果是3m+4n.故选A.6.C 解析:A.∵-7+3=-4,故选项A错误;B.∵7-(-7)=14,故选项B错误;C.∵-3.5×(-2)=7,故选项C正确;D.∵-÷-=,故选项D错误.故选C.7.2 解析:原式=3-2×+-1=3-+-1=2.8.解:(1)原式=+×36=×36-×36+×36=28-33+6=1.(2)原式=3-+2×+3+1+3=10.河北中考·真题体验1.C 解析:由题图可知b<-3<0,02.A 解析:-3-=-3.故选A.3.A 解析:3-2×(-1)=3+2=5.故选A.4.C 解析:能与-相加得0的数是0--=.故选C.5.B 解析:原式=(1-3-98)×=-100×1.442=-144.2.故选B.6.D 解析:852-152=(85+15)×(85-15)=100×70=7 000.故选D.7.D 解析:4-1÷+4=÷2+4=+4=4.故选D.8.解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12.(2)∵1÷2×6□9=-6,∴1××6□9=-6.∴3□9=-6.∴□内的符号是“-”.(3)这个最小数是-20.9.解:(1)原式=(1 000-1)×(-15)=1 000×(-15)+15=-15 000+15=-14 985.(2)原式=999×118+--18=999×100=99 900.10.解:(1)若以B为原点,则点C表示1,点A表示-2,∴p=1+0+(-2)=-1.若以C为原点,则点A表示-3,点B表示-1,∴p=-3+(-1)+0=-4.(2)若原点O在题图中数轴上点C的右边,且CO=28,则点C表示-28,点B表示-29,点A表示-31,∴p=-31+(-29)+(-28)=-88.11.解:(1)∵点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,∴A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30,∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36,∴.(2)由数轴,得DE=x-0=x,DF=12-0=12,由题意,得,∴,∴x=2. 展开更多...... 收起↑ 资源预览