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第3课时　二次根式
考点一　二次根式的相关概念及性质
相 关 概 念 (1)二次根式:形如(a≥0)的式子. (2)有意义的条件:被开方数①　　　　　. (3)最简二次根式满足的两个条件: a.被开方数不含分母(即分母中不含根号); b.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
性 质 (1)双重非负性:≥0且a≥0. (2)()2=a(a②　　　　). (3)=|a|= (4)=·(a≥0,b≥0). (5)=(a≥0,b>0)
① (人教八下P2变式)代数式在实数范围内有意义.
(1)实数x的取值范围在数轴上表示为 (　　)
A.　　 B. C.　　 D.
(2)实数x的值可能是 (　　)
A. B.1 C.0 D.
② (冀教八上P91变式)下列选项中,化简结果为-5的是 (　　)
A. B.(-)2 C.- D.
③ (2024·乐山)已知1A.-1 B.1 C.2x-3 D.3-2x
④ 计算下列式子:
(1)=　　　　.
(2)()2=　　　　.
(3)=　　　　.
(4)=　　　　.
考点二　二次根式的运算
加减法 先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并
乘法 ·=⑤　　　　(a≥0,b≥0)
除法 =⑥　　　　(或=)(a≥0,b>0)
混合运算 与实数的运算顺序相同且运算结果必须为最简二次根式
⑤ 下列二次根式中,能与进行合并的是 (　　)
A. B. C. D.
⑥ 下列计算不正确的是 (　　)
A.=2 B.=1 C.= D.+=3
⑦ 计算的结果是　　　　;(2+)(2-)=　　　　;(2-)2=　　　　.
考点三　二次根式的估值
估计二 次根式 的值在 哪两个 整数之间 (1)先对根式平方. (2)找出与平方后所得数相邻的两个开得尽方的整数. (3)对以上两个整数开方. (4)确定这个根式的值在开方后的这两个整数之间. (5)较小的整数即为根式的整数部分,小数部分为根式与其整数部分的差,如的整数部分为2,小数部分为-2. (6)确定±a(b≥0)的值在哪两个整数之间,只需在(4)的结果上根据不等式的性质,给不等号两边分别加减a
确定二次根式 的值离哪个整 数较近 (1)先确定二次根式在哪两个整数之间. (2)求这两个整数的平均数 (3)将二次根式和平均数进行平方:若二次根式的平方大于平均数的平方,则离较大的整数近,反之离较小的整数近
⑧ (人教七下P47变式)如图,在数轴上表示实数-2的点落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
⑨ 已知a,b为两个连续整数,a<(1)的值为 (　　)
A.2 B.±2 C.6 D.±6
(2)已知-2的整数部分是m,小数部分是n,则m-n 的值是 (　　)
A.-3 B.-1 C.3 D.1
⑩ (2023·自贡)请写出一个比小的整数　　　　.
有个填写数字的游戏:在“”中的每个内,填入数字(可重复使用),然后计算结果.
(1)若三个内从左到右依次填入,2,,请计算所得的结果.
(2)若“”中的数相同,且“”表示的数是,求“”结果的整数部分和小数部分.
(3)若=,请推算内的数字.
(4)若-的结果是的相反数,请推算内的数字.
(1)×2-=-2=-.
(2)由题意可知,=5-.
∵2<<3,∴-3<-<-2,
∴5-3<5-<5-2,
∴2<5-<3.∵5--2=3-,
∴“”的整数部分为2,小数部分为3-.
(3)设内的数字为x,可得x-=,
移项,得x=+,
合并同类项,得x=3,
系数化为1,得x=,
所以内的数字为.
(4)设内的数字为x,可得--x=-,
移项,得-x=-+,
合并同类项,得-x=2,
系数化为1,得x=-2,
所以内的数字为-2.
命题点一　二次根式的相关概念及性质
(2024·河北样题)代数式+中x的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A. B.
C. D.
命题点二　二次根式的运算
(2024·河北)下列正确的是 (　　)
A.=2+3 B.=2×3
C.=32 D.=0.7
(2023·河北)关于的叙述,错误的是 (　　)
A.是有理数
B.面积为12的正方形的边长是
C.=2
D.在数轴上可以找到表示的点
(2023·河北)若a=,b=,则等于 (　　)
A.2 B.4 C. D.
(2022·河北)计算:=　　　　.
(2023·河北)已知=a=b,则ab=　　　　.
命题点三　二次根式的估值
(2022·河北)a,b是两个连续整数,若a<A.2,3 B.3,2 C.3,4 D.6,8
(2023·河北)如图,在数轴上标注了四段范围,则表示的点落在 (　　)
A.段① B.段② C.段③ D.段④
(2024·河北)已知a,b,n均为正整数.
(1)若n<(2)若n-1<【详解答案】
教材考点·深度梳理
①大于或等于0　②≥0　③a　④-a　⑤　⑥
对应练习
1.(1)A　(2)D　解析:(1)由题意可知,x-1>0,解得x>1.
在数轴上表示为
.故选A.
(2)由题意可知,x-1>0,解得x>1,>1.故选D.
2.C　解析:A的结果是5,B的结果是5,C的结果是-5,D的结果是5.故选C.
3.B　解析:∵1∴+|x-2|=x-1+2-x=1.故选B.
4.(1)4　(2)7　(3)　(4)2
5.B　解析:是最简二次根式.=2,=5,=2,∴能与进行合并.故选B.
6.B　解析:A.÷=2,故该选项是正确的,但不符合题意;B.÷≠1,故该选项是错误的,符合题意;C.,故该选项是正确的,但不符合题意;D.+=2+=3,故该选项是正确的,但不符合题意.故选B.
7.-2　1　7-4
8.B　解析:∵2<<3,∴ 2-2<-2<3-2,即0<-2<1 ,故落在段②.故选B.
9.(1)A　(2)C　解析:(1)∵3<<4,∴a=3,b=4,∴=2.故选A.
(2)∵3<<4,∴ 3-2<-2<4-2,即1<-2<2,
∴m=1,n=-3,∴m-n=-(-3)=3.故选C.
10.4(答案不唯一)　解析:由16<23可得,<,即4<.答案不唯一.
河北中考·真题体验
1.A　解析:由题意,得3-x≥0且x-1≠0,解得x≤3且x≠1.故选A.
2.B　解析:A.,故A错误;C.=92=81,故C错误;D.,故D错误,故选B.
3.A　解析:是无理数,故A错误,故选A.
4.A　解析:∵a=,b=,∴==2.故选A.
5.2　解析: ==2.
6.6　解析:=3=2,∴a=3,b=2,∴ab=6.
7.A　解析:2<<3.故选A.
8.C　解析:2.82=7.84,2.92=8.41.∴2.8<<2.9.故选C.
9.(1)3　(2)2　解析:(1)∵<<,
∴3<<4.∵n<∴n=3.
(2)∵n-1<∴a的个数为n2-(n-1)2-1=n2-n2+2n-1-1=2n-2.
∵n<∴b的个数为(n+1)2-n2-1=n2+2n+1-n2-1=2n.
∵2n-(2n-2)=2,
∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

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