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第4课时　代数式与整式
考点一　列代数式及其求值
定义 用①　　　　　　连接数和字母组成的式子.单独一个数或一个表示数的字母也是代数式
代数式 求值 (1)直接代入法. (2)整体代入法:利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或降次等方法对所求代数式、已知等式进行恒等变形,使所求代数式变形成含有已知整式或部分项的形式,若涉及相反数、倒数需转化为两数和或积的形式,再整体代入求值
① 把下列问题中与数量有关的词语用代数式表示出来:
(1)比a的n倍多m,可表示为　　　　.
(2)原价a的八折,可表示为　　　　;原价a提高x%后再打七五折,可表示为　　　　　.
② 当x=1时,代数式x3+x+m的值是7,则当x=-1时,这个代数式的值是　　　　.
考点二　整式的运算
整式的相关概念
单项式 用数或字母的②　　 　　表示的式子称为单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式. (1)系数:单项式中的③　　　　因数. (2)次数:一个单项式中,所有字母指数的④　　　
多项式 几个单项式的⑤　　　　称为多项式. (1)项:多项式中的每个单项式;不含字母的项叫做常数项. (2)次数:多项式中次数最高项的次数
整式 单项式与多项式统称为整式
整式的加减(实质:合并同类项)
同类项 所含字母相同,并且相同字母的⑥　　　　也相同.如3a与a是同类项
合并同 类项 法则 把同类项的系数相加减,字母和字母的指数不变.如:
去括号 法则 a+(b-c)=a+b-c,即括号前为“+”时,去括号后,括号内各项⑧　　　　;a-(b-c)=a⑨　　b⑩　　c,即括号前是“-”时,去括号后,括号内每一项　　　
幂的运算
同底数 幂的乘法 底数不变,指数　　　　,即am·an=　　　　(m,n是正整数)
同底数 幂的除法 底数不变,指数　　　　,即am÷an=　　　　(a≠0,m,n是正整数)
幂的乘方 底数不变,指数　　　　,即(am)n=　　　　(m,n是正整数)
积的乘方 各因式乘方的积,即(ab)n=　　　　(n是正整数)
遇到积的乘方时,需要注意:
(1)当括号内有“-”号时,(-abm)n=
(2)当含有系数时,一定也要给系数进行乘方运算.
整式的乘除
单项式乘 单项式 把系数、同底数幂分别相乘作为积的一个因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘 多项式 用单项式分别去乘多项式的每一项,再把所得的积相加
多项式乘 多项式 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘,再把所得的积相加
乘法 公式 平方差公式:(a+b)(a-b)=　　　 几何背景:
完全平方公式:(a±b)2=　　　 几何背景:
单项式 除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
多项式 除以单项式 先用多项式的每一项分别除以这个单项式,再把所得的商相加
③ 如图是嘉淇同学完成的作业,则她做错题的题数是 (　　)
判断(正确的画“√”,错误的画“×”):
1.0是单项式.(√)
2.单项式-πab2的系数是-.(√)
3.5mn是一次单项式.(√)
4.x2+x-1的常数项为1.(×)
5.7m2n2+3是四次二项式.(√)
6.23xy是五次单项式.(×)
7.与x2+-1都是整式.(√)
A.0 B.1 C.2 D.3
④ (人教七上P65变式)下列运算正确的是 (　　)
A.3a2-2a=a B.-(a-2)=-a-2
C.3(a-1)=3a-1 D.3a+2a=5a
⑤ (原创)如图是某同学完成的作业,则他做错的题数是 (　　)
填空:
1.a2·a3=　　a6　　. 2.(x5)2=　　x10　　.
3.-xy23=　　-x3y6　　. 4.a8÷a2=　　a4　　.
5.(-3)-2=　 　　. 6.(-4)0=　　1　　.
A.1 B.2
C.3 D.4
⑥ (2024·河北一模)现有如图所示的甲、乙、丙三种矩形或正方形纸片各15张,小明要用这些纸片中的若干张拼接(不重叠、无缝隙)一个长、宽分别为(5x+4y)和(3x+y)的矩形.下列判断正确的是(　　)
A.甲种纸片剩余7张 B.丙种纸片剩余10张
C.乙种纸片缺少2张 D.甲种和乙种纸片都不够用
⑦ (人教八上P110变式)多项式4x2+1加上一个数或单项式后,使它成为一个多项式的完全平方,那么加上的数或单项式可以从①-1,②4x,③-4x,④-4x2,⑤4x4中选取,则选取的是 (　　)
A.① B.③
C.②③⑤ D.①②③④⑤
考点三　因式分解
概念 把一个　　　　分解成几个整式的　　　　的形式,叫做多项式的因式分解
方法 提公 因式法 公式 ma+mb+mc=m(a+b+c)
确定公 因式的 步骤 (1)确定系数:取各项系数的最大公约数. (2)确定字母:取各项相同的字母. (3)确定字母的指数:取各项相同字母的最低次数
公式法 a2-b2=　　　　; a2±2ab+b2=　　　
十字相乘 法(选学) x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)
步骤
要点 因式分解的结果必须是最简因式:(1)每个因式都必须是整式.(2)每个因式中不能再有公因式
因式分解与乘法运算互为逆变形,因式分解时结果为积的形式,乘法运算时结果一般为和差形式(有时为单项式).
⑧ 下列各式中,从左到右的变形正确且是因式分解的是 (　　)
A.(a+2)(a-2)=a2-4
B.ab+ac+d=a(b+c)+d
C.x2-9=(x-3)2
D.a2b-ab2=ab(a-b)
⑨ (2024·邯郸邱县二模)653-65不能被下列数整除的是 (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
⑩ (1)(2024·北京)分解因式:x3-25x=　　　　.
(2)(2024·扬州)分解因式:2x2-4x+2=　　　　.
已知整式A=-6xy+2y2 .
(1)若x,y均为整数,求证:整式A是偶数.
(2)已知整式A+B=y2-8x2.
①求整式B;
②对于问题:已知整式C=(y+2x)(y-2x),当x=-1时,求代数式A+B-C的值.嘉嘉和淇淇提出不同的看法,你认为谁的说法对 为什么
(1)证明:A=-6xy+2y2=2y(y-3x).
∵x,y均为整数,
∴整式A是偶数.
(2)①B=y2-8x2-A=y2-8x2-(-6xy+2y2)=-8x2+6xy-y2.
②淇淇说得对.理由如下:
A+B-C=y2-8x2-(y+2x)(y-2x)=y2-8x2-(y2-4x2)=-4x2,
∴代数式A+B-C的值与y值无关,淇淇说得对.
命题点一　列代数式及其求值
(2023·河北)代数式-7x的意义可以是 (　　)
A.-7与x的和 B.-7与x的差
C.-7与x的积 D.-7与x的商
(2024·河北)若x和y互为倒数,则x+2y-的值是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2024·河北)若a,b互为相反数,则a2-b2=　　　　.
(2023·河北)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=　　　　.
(2024·河北)如图,棋盘旁有甲、乙两个围棋盒.
(1)甲盒中都是黑子,共10个,乙盒中都是白子,共8个.嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍,则a=　　　　.
(2)设甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共2m个.嘉嘉从甲盒拿出a(1 (2023·河北)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元.
(1)用含m,n的代数式表示Q.
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值.
命题点二　整式的运算
(2024 ·河北)计算a3÷a得 a ,则“ ”是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
(2023·河北)不一定相等的一组是 (　　)
A.a+b与b+a B.3a与a+a+a
C.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+b
(2024·河北)下列运算正确的是 (　　)
A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2
C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a
(2023·河北)墨迹覆盖了等式“x3x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是 (　　)
A.+ B.- C.× D.÷
(2024·河北)小明总结了以下结论:
①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)= ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)= a÷b+a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2024·河北)将9.52变形正确的是 (　　)
A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)×(10-0.5)
C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52
(2023·河北)若=8×10×12,则k= (　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
(2023·河北)计算正确的是 (　　)
A.(-5)0=0 B.x2+x3 =x5
C.(ab2)3=a2b5 D.2a2·a-1=2a
(2023·河北)下列计算中,正确的是 (　　)
A.-1=- B.6×107=6 000 000
C.(2a)2=2a2 D.a3·a2=a5
(2023·河北)= (　　)
A. B. C. D.
(2024·河北)若2n+2n+2n+2n=2,则n= (　　)
A.-1 B.-2 C.0 D.
(2023·河北)若k为正整数,则()k= (　　)
A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k
(2024·河北)若a,b是正整数,且满足=,则a与b的关系正确的是 (　　)
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
(2023·河北)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 (　　)
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
21 (2024·河北)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示132×23,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是 (　　)
图1 图2
A.“20”左边的数是16
B.“20”右边的“□”表示5
C.运算结果小于6 000
D.运算结果可以表示为4 100a+1 025
22 (2024·河北)若7-2×7-1×70=7p,则p的值为　　　　.
23 (2023·河北改编)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个二次三项式,形式如图:
-3x=x2-5x+1.
(1)求所捂的二次三项式.
(2)若x=+1,求所捂二次三项式的值.
(3)设所捂的二次三项式为A,已知A-(mx2+nx)的结果为常数,求 m,n 的值.
24 (2023·河北)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图.
如:第一次按键后,A,B两区分别显示:
(1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果.
(2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗 说明理由.
25 (2024·河北)发现　两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.
验证　如(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和.
探究　设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.
26 (2023·河北)发现　任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证　(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍
(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
延伸　任意三个连续整数的平方和被3除的余数是多少呢 请写出理由.
27 (2023·河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1),某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2.
　　
图1　 　图2 图3
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2;当a=2时,求S1+S2的值.
(2)比较S1与S2的大小,并说明理由.
28 (2024·河北)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试　化简整式A.
发现　A=B2.求整式B.
联想　由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:
直角三角形三边 n2-1 2n B
勾股数组Ⅰ 8
勾股数组Ⅱ 35
命题点三　因式分解
29 (2023·河北)对于①x-3xy=x(1-3y);②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是 (　　)
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是因式分解,②是乘法运算
D.①是乘法运算,②是因式分解
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①基本运算符号　②乘积　③数字
④和　⑤和　⑥指数　⑦5　⑧不变号
⑨-　⑩+　均变号　相加
am+n　相减　am-n　相乘
amn　anbn　a2-b2
a2±2ab+b2
多项式　积　(a+b)(a-b)
(a±b)2
对应练习
1.(1)an+m　
(2)80%a　75%a(1+x%)
2.3　解析:当x=1时,x3+x+m=2+m=7,解得m=5.当x=-1时,x3+x+m=-1-1+5=3.
3.D　解析:她做错的题目是第2,3,7题.单项式-πab2的系数是-π,故第2题错误;5mn是二次单项式,故第3题错误;是单项式,故是整式,x2+-1既不是单项式,也不是多项式,故不是整式,故第7题错误.故选D.
4.D　解析:A.3a2-2a=a错误,3a2与-2a不是同类项,不能合并,不符合题意;B.-(a-2)=-a+2,故原计算错误,不符合题意;C.3(a-1)=3a-3,故原计算错误,不符合题意;D.3a+2a=5a,正确,符合题意.故选D.
5.C　解析:他做错的题目是第1,3,4题.a2·a3=a2+3=a5,故第1题错误;-xy23=-x3y6 ,故第3题错误;a8÷a2=a8-2=a6,故第4题错误.故选C.
6.C　解析:∵(5x+4y)(3x+y)=15x2+17xy+4y2,∴要拼接一个长、宽分别为(5x+4y)和(3x+y)的矩形,需要甲种纸片15张,乙种纸片17张,丙种纸片4张,∴乙种纸片缺少2张.故选C.
7.C　解析:①4x2+1-1=(2x)2,故本小题不正确,不是多项式;②4x2+1+4x=(2x+1)2,故本小题正确;③4x2+1-4x=(2x-1)2,故本小题正确;④4x2+1-4x2=1,不是多项式,故④不正确;⑤4x2+1+4x4=(2x2+1)2,故本小题正确;综上所述,②③⑤都可以选取.故选C.
8.D　解析:D项从左到右的变形正确且是因式分解.故选D.
9.C　解析:653-65=65×(652-1)=65×(65+1)×(65-1)=65×66×64.
∵65=5×13,66=2×3×11,64=2×2×2×2×2×2,
∴653-65能被5,6,8整除,不能被7整除.故选C.
10.(1)x(x+5)(x-5)　解析:x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
(2)2(x-1)2　解析:2x2-4x+2=2(x2-2x+1)=2(x-1)2.
河北中考·真题体验
1.C　解析:-7x的意义可以是-7与x的积.故选C.
2.B　解析:x+2y-=+=·.
∵x,y互为倒数,∴xy=1.∴原式==2×1=2.故选B.
3.0　解析:∵a2-b2=(a+b)(a-b),
又∵a,b互为相反数,∴a+b=0.
∴a2-b2=(a+b)(a-b)=0.
4.1　解析:2mn+3m-5nm+10=-3mn+3m+10,当mn=m+3时,原式=-3(m+3)+3m+10=1.
5.(1)4　(2)(2a+m)　1
6.解:(1)由题意可得Q=4m+10n.
(2)将m=5×104,n=3×103代入(1)中所得代数式,得Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105.
7.C
8.D
9.C　解析:A.a7与-a3不属于同类项,不能合并,故A不符合题意;B.3a2·2a2=6a4,故B不符合题意;C.(-2a)3=-8a3,故C符合题意;D.a4÷a4=1,故D不符合题意.故选C.
10.D
11.C
12.C　解析:9.52=(10-0.5)2=102-2×10×0.5+0.52.故选C.
13.B　解析:∵=8×10×12,∴(9-1)×(9+1)×(11-1)×(11+1)=k·8×10×12.解得k=10.故选B.
14.D
15.D　解析:-1=2,6×107=60 000 000,(2a)2=4a2,a3·a2=a5.故选D.
16.B
17.A　解析:由2n+2n+2n+2n=2,得4×2n=2.∴2n=.∴n=-1.故选A.
18.A　解析:()k=(k2)k=k2k.故选A.
19.A　解析:根据已知得,8×2a=28b,即2a+3=28b,∴a+3=8b.故选A.
20.B　解析:(2k+3)2-4k2
=(2k+3+2k)(2k+3-2k)
=3(4k+3),
∵3(4k +3)能被 3 整除,∴(2k+3)2-4k2的值总能被3整除.故选B.
21.D　解析:设一个三位数与一个两位数分别为100x+10y+z和10m+n,如图1:
图1
则由题意,得mz=20,nz=5,ny=2,nx=a,
∴=4,即m=4n,
∴当n=2,y=1 时,z=2.5不是正整数,不符合题意,故舍去;
当n=1,y=2时,则m=4,z=5,x=a,如图2:
图2
∴A.“20”左边的数是2×4=8,故本选项不符合题意;B.“20”右边的“□”表示4,故本选项不符合题意;
∴a上面的数应为4a,如图3:
图3
∴运算结果可以表示为1 000(4a+1)+100a+25=4 100a+1 025,
∴D选项符合题意;
当a=2时,计算的结果大于6 000,故C选项不符合题意.故选D.
22.-3　解析:由7-2×7-1×70=7p,得-2-1+0=p.∴p=-3.
23.解:(1)设所捂的二次三项式为A,则A=x2-5x+1+3x=x2-2x+1.
(2)x2-2x+1=(x-1)2,
∵x=+1,∴x-1=.
∴当x=+1时,原式 =()2=6.
(3)由(1)知A=x2-2x+1,∵A-(mx2+nx)的结果为常数,∴原式=x2-2x+1-mx2-nx=(1-m)·x2+(-2-n)x+1.∴1-m=0,-2-n=0.∴m=1,n=-2.
24.解:(1)依题意,得从初始状态按2次后,A区显示的结果为(25+a2)+a2=25+2a2,B区显示的结果为(-16-3a)-3a=-16-6a.
(2)从初始状态按4次后,A区显示的结果为25+4a2,B区显示的结果为-16-12a,
∴A,B两区代数式的和为25+4a2+(-16-12a)=25+4a2-16-12a=4a2-12a+9.
不能为负数.理由:
∵4a2-12a+9=(2a-3)2≥0,
∴A,B两区代数式的和不能为负数.
25.解:验证　∵10的一半为5,5可以表示为22+12,∴=22+12.
探究　证明:由题可得(m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2mn+n2=2(m2+n2).
∵m,n为正整数,
∴2(m2+n2)为偶数.
∴该偶数的一半为m2+n2,为两个正整数m,n的平方和,即“发现”中的结论正确.
26.解:验证　(1)∵(-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15=5×3,
∴结果是5的3倍.
(2)五个连续整数的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2,化简,得5n2+10=5(n2+2).
∵n为整数,
∴这五个连续整数的平方和是5的倍数.
延伸　余数是2.
理由:设中间的整数为n,则(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2,被3除,余2.
27.解:(1)依题意得,三种矩形卡片的面积分别为S甲=a2,S乙=a,S丙=1,
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2,S2=5S乙+S丙=5a+1.
∴S1+S2=(a2 +3a+2)+(5a+1)=a2+8a+3.
∴当a=2时,S1+S2=22+8×2+3=23.
(2)S1>S2.理由如下:
∵S1=a2 +3a+2,S2=5a+1,
∴S1-S2=(a2 +3a+2)-(5a+1)=a2-2a+1=(a-1)2.
∵a>1,∴S1-S2=(a-1)2>0.
∴S1>S2.
28.解:尝试　A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2.
发现　∵A=B2,B>0.∴B=n2+1.
联想　17　37
29.C

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