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第7课时　分式方程及其应用
考点一　分式方程及解法
概念:分母中含有①　　　　的方程叫做分式方程.
分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②　　　　.
(2)解分式方程的一般步骤:
a.去分母:方程两边同乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;
b.解整式方程;
c.验根:代入最简公分母,若结果不为0,则是原方程的解,或直接代入原方程,若方程的左右两边相等,则是原方程的解.
解分式方程必须验根.
分式方程的增根
(1)增根是去分母后所得整式方程的根.
(2)增根是使原方程中各分式的最简公分母为0的未知数的值.
(1)若要判断分式方程解的情况,化为整式方程求解后需验根,判断是否为无解或有增根.(2)分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程分母为0的根.
① 已知关于x的分式方程-2=(m为常数),回答下列问题:
(1)以下是嘉淇同学解该分式方程的部分过程,请认真阅读,并回答下列问题.
解:去分母,得x-2=m, 第一步
移项,得x=m+2, 第二步
……
从第　　　　步开始出错,错误的原因是　　　　,则正确的结果为x=　　　　(用含m的代数式表示).
(2)若分式方程的解为x=4,则m的值为　　　　.
(3)若分式方程有增根,则m的值为　　　　.
(4)若分式方程无解,则m的值为　　　　.
(5)若分式方程的解为非负数,则m的取值范围为　　　　.
考点二　分式方程的实际应用
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,关键要分清题目中的等量关系,不同的是要注意验根:
(1)检验所求的解是否是③　　　　方程的解.
(2)检验所求的解是否符合实际问题.
常见的分式方程解题模型及数量关系
常见模型 数量关系
行程 问题 基本数量关系:=时间
常见应用题中的相等关系: =时间差
一段路程原计划按甲速度行驶完,但行驶途中速度变为乙速度,则:=原计划时间, 甲速度行驶路程+乙速度行驶路程=全部路程, -=时间差
工程 问题 基本数量关系:=工作时间
常见应用题中的相等关系: 甲、乙单独完成时: =时间差, =时间差, 甲、乙合作完成时: -=时间差. 特别地,有时工作总量可以看作整体“1”,这时,=工作效率
销售 问题 基本数量关系:=数量,利润=售价-进价,利润率=×100%
常见应用题中的相等关系: =数量差
② 解答下列问题:
(1)某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座高480 m的山,乙组的攀登速度是甲组的1.2倍,乙组达到顶峰所用的时间比甲组少5 min.设甲组的攀登速度为x m/min,则可列方程是　 　　　　.
(2)甲做320个零件与乙做400个零件所用的时间相同,已知两人每天共做90个零件,若设甲每天做x个零件,则可列方程是　　　　　　　　.
(3)甲同学2 h清点完一批图书的一半,乙同学加入清点另一半图书的工作,两人合作1.5 h清点完另一半图书,如果乙同学单独清点这批图书需要x h,根据题意列方程是　　　　　　　.
(4)某校社团进行爱心义卖活动,先用800元购进第一批康乃馨,包装后售完,接着又用400元购进第二批康乃馨;已知第二批所购数量是第一批所购数量的,且第二批康乃馨的单价比第一批的单价多1元,设第一批康乃馨的单价是x元,则可列方程是　　　　　　　　.
(多维设问)嘉淇准备完成题目:解分式方程:=2-,发现数字◆印刷不清楚.
(1)他把“◆”猜成5,请你解方程:=2-.
(2)若方程的解为x=0,则“◆”是几
(3)她妈妈说:“你猜错了,我看到该题目的正确答案是此分式方程无解”.通过计算说明原题中“◆”是几
(4)若这个方程=2-的解为正数,求m的取值范围.
(5)延伸:关于x的方程+=2有整数解,直接写出整数m的值.
(1)方程整理,得=2+,去分母,得x=2(x-3)+5,解得x=1.检验:当x=1时,x-3≠0.
∴分式方程的解为x=1.
(2)设原题中“◆”是a.方程整理,得0=2+,去分母,得0=-6+a,解得a=6,∴“◆”是6.
(3)设原题中“◆”是b.方程整理,得=2+,
去分母,得x=2(x-3)+b,由分式方程无解,得x=3.
把x=3代入整式方程,得b=3,∴原题中“◆”是3.
(4)方程两边同乘(x-3),得x=2(x-3)+m,解得x=6-m.
∵这个方程=2-的解为正数,
∴6-m>0且6-m≠3,解得m<6且m≠3.
(5)整数m的值为3,4,0.
解析:原分式方程去分母,得mx-1-1=2(x-2),
整理,得(m-2)x=-2.
当m≠2时,x=.
∵方程有整数解,∴m-2=±1或m-2=±2,
解得m=3,1,4,0.
∵x-2≠0,∴x≠2,∴≠2,∴m≠1,∴m=3,4,0.
甲、乙两名同学分别从各自家出发,均到距离家4 km的同一个文具城购买相同价格的同一种商品,已知甲每小时走x km,乙的速度是甲的1.5倍,最终乙比甲早20 min到达.甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量少10件.
(1)求乙每小时走多少千米.
(2)求这种商品的单价.
(3)甲、乙两人第二次又同时去购买该商品,发现该商品的单价有所变化,如果甲购买该商品的总价与上次相同,乙购买该商品的数量与上次相同,结果甲两次购买的总件数与乙两次购买的总件数相同,那么该商品的单价是如何变化的 请说明理由.
(1)设甲的速度为x km/h,根据题意,得=,
解得x=4,
经检验,x=4是所列分式方程的解,且符合题意,
则1.5x=1.5×4=6,∴乙每小时走6 km.
(2)设这种商品的单价为a元,
根据题意,得+10=,
解得a=60,
经检验可知a=60是所列分式方程的解,且满足题意,
答:这种商品的单价为60元.
(3)该商品的单价为40元,比第一次购买的单价少了20元.
理由如下:设第二次购买时,该商品的单价为(60+m)元,
∵乙两次购买该商品的总件数为×2=100(件),
而甲第一次购买该商品的件数为=40(件),
∴甲第二次购买该商品的件数为60件,
∴=60,解得m=-20,
经检验,m=-20是所列方程的解,且符合题意,
则60+m=40,
故第二次购买时,该商品的单价为40元,比第一次购买的单价少了20元.
命题点一　分式方程及解法
(2023·河北)根据下表中的数据,写出a的值为　　　　,b的值为　　　　.
代数式 x
2 n
3x+1 7 b
a 1
命题点二　分式方程的实际应用
(2023·河北)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系成立的是 (　　)
A.=-5 B.=+5 C.=8x-5 D.=8x+5
(2024·河北样题)某工厂计划生产1 500个零件,但是在实际生产时……求实际每天生产零件的个数.在这个题目中,若设实际每天生产零件x个,可得方程=10,则题目中用“……”表示的条件应是 (　　)
A.每天比原计划多生产5个,结果延期10天完成
B.每天比原计划多生产5个,结果提前10天完成
C.每天比原计划少生产5个,结果延期10天完成
D.每天比原计划少生产5个,结果提前10天完成
(2024·河北样题)为有效解决交通拥堵问题,营造路网微循环,某市决定对一条长860 m的道路进行拓宽改造.为了减轻施工对城市交通造成的影响,实际施工时,每天改造道路的长度比原计划增加10%,结果提前6天完成任务.求实际每天改造道路的长度与实际施工天数.珍珍同学根据题意列出方程=6;文文同学根据题意列出方程=×(1+10%).已知两人的答案均正确,则下列说法正确的是 (　　)
A.x,y代表相同的含义
B.x表示实际每天改造道路的长度
C.y表示实际施工天数
D.表示实际每天改造道路的长度
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①未知数　②整式方程　③原分式
对应练习
1.(1)一　去分母时常数项未乘最简公分母　6-m
(2)2　(3)3　(4)3
(5)m≤6且m≠3
2.(1)-5=　(2)
(3)+×1.5=
(4)
河北中考·真题体验
1.　-2　解析:当x=n时,3x+1=b,即3n+1=b,当x=2时,=a,即a=.当x=n时,=1,即=1.解得n=-1.经检验,n=-1是分式方程的解.∴b=3×(-1)+1=-2.
2.B
3.B
4.C　解析:依题意,得x表示原计划每天改造道路的长度,y表示实际施工天数.故选C.

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