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第8课时　一元二次方程及其应用
考点一　一元二次方程及其解法
概念及一般形式
概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是①　　　　的整式方程
一般 形式
解法
适用情况 注意事项/步骤
(1)当方程缺少一次项时,即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0). (2)形如(x+b)2=a(a≥0)的方程 开方后所取值前记得加“±”
适用于所有一元二次方程,求根公式为②　　　　　　　(b2-4ac≥0) (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式,方程的右边一定要化为0. (2)将a,b,c代入公式时应注意其符号. (3)若b2-4ac<0,则原方程无解
适用所有一元二次方程,其中当二次项系数化为1,一次项系数为偶数时,配方法较简单 (1)化二次项系数为1. (2)把常数项移到方程的另一边. (3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. (4)把方程整理成(x+b)2=a(a≥0)的形式. (5)运用直接开平方法解方程
因式 分解 法 将方程右边化为0后,方程的左边可以提出含有x的公因式,形如x·(ax+b)=0或(ax+b)·(cx+d)=0,并令ax+b=0和cx+d=0进行求解 不能在方程两边同除以相同的因式
① (2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.
② 关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是 (　　)
甲:两边同时除以(x-1),得x=3.
乙:整理,得x2-4x=-3,
∵a=1,b=-4,c=-3,
∴b2-4ac=28,
∴x==2±,
∴x1=2+,x2=2-.
丙:整理,得x2-4x=-3,
配方,得x2-4x+2=-1,
∴(x-2)2=-1,
∴x-2=±1,
∴x1=1,x2=3.
丁:移项,得x(x-1)-3(x-1)=0,
∴(x-3)(x-1)=0,
∴x-3=0或x-1=0,
∴x1=1,x2=3.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
③ 按要求解下列一元二次方程:
(1)(2x+3)2=(3x+2)2(直接开平方法).
(2)x2+10x+16=0(配方法).
(3)3x2+10=2x2+8x(公式法).
(4)3x(x-1)=2(x-1)(因式分解法).
考点二　一元二次方程根的判别式
根的判别式:一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式.
根的情况与判别式的关系
(1)b2-4ac>0 方程有两个不相等的实数根.
(2)③　　　　　　 方程有两个相等的实数根.
(3)④　　　　　　 方程无实数根.
④ (冀教九上P42变式)已知一元二次方程x2+3x-2k=0,请回答下列问题:
(1)若k=-2,判断该方程根的情况.
(2)若一元二次方程有两个相等的实数根,求k的值.
(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
考点三　一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别为x1,x2,则x1+x2=⑤　　　　,x1·x2=⑥　　　　.
常见的转化模型
(1)+=.
(2)+==.
(3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1.
⑤ (冀教九上P46变式)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两实数根.
(1)x1+x2=　　　　;x1x2=　　　　.
(2)若(x1+1)(x2+1)=8,求k的值.
考点四　一元二次方程的实际应用
平均增长(下降)率问题
(1)增长率=×100%.
(2)设a是基础量,当m为平均增长率,2为增长次数,b为增长后的量,则⑦　　　　　　,当m为平均下降率,2为下降次数,b为下降后的量,则⑧　　　　　　.
解决增长率问题关键要找到增长的基础量,增长的百分率,增长的次数等.
公式a(1±x)n=b,a表示增长(或下降)前的数据,b表示增长(或下降)后的数据,x表示增长(或下降)率,n表示增长(或下降)的次数.
几何图形面积问题
(1)S阴影=S全-S空白,如图1,设空白部分的宽为x,则S阴影=⑨　　　　　　　　.
图1　 　图2
(2)如图2,栏杆总长为a,BC的长为b,则S阴影=⑩　　　　 .
(3)如图3、图4.设阴影道路的宽为x,则S空白=　　　　　　.
图3　　 　图4
单循环赛(握手)与送礼物问题
单循环赛(握手)总次数=(n为人数),礼物总份数=n(n-1)(n为人数).
利润问题
利润=售价-进价;
利润率=×100%;
售价=进价×(1+利润率);
总利润=每件利润×销售量=总收入-总支出.
⑥ 在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,如果一共碰杯55次,则参加酒会的人数为 (　　)
A.9 B.10 C.11 D.12
⑦ 如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的面积种上草坪,要使草坪的面积为540 m2,求道路的宽.
⑧ 某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车,2024年每辆汽车的日租金为100元,由于物价上涨,到2024年日租金上涨到121元.
(1)求2024年至2024年日租金的平均增长率.
(2)经市场调研发现,从2024年开始,当每辆汽车的日租金定为121元时,汽车可全部租出;日租金每增加1元,就要少租出2辆.已知汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用31元,每辆未租出的汽车支付各类费用10元.
①在每辆汽车日租金121元的基础上,设上涨y元,则每辆汽车的日租金为　　　　元,实际能租出　　　　辆车;
②当每辆汽车的日租金上涨多少元时,该租赁公司的日收益可达28 200元 (日收益=总租金-各类费用)
(原创)已知关于x的一元二次方程x2-2x-m=0.
(1)若m=1,用公式法求方程的解.
(2)若m=-1时,选用最适当的方法解该方程.
(3)若m>0,判断该方程根的情况.
(4)若该方程无实数根,求m的取值范围.
(5)若x1,x2是方程的两根,则x1+x2=　　　　.
(6)若x1,x2是方程的两根,x1x2=-3,则x1=　　　　,x2=　　　　.
(7)若x1,x2是方程的两根,+=4,则该方程配方后为　 .
(1)解:x2-2x-1=0,
∵b2-4ac=(-2)2-4×1×(-1)=8,
∴x===1±,
∴x1=1+,x2=1-.
(2)解:x2-2x+1=0,∴(x-1)2=0,
∴x1=x2=1.
(3)解:b2-4ac=(-2)2-4×1×(-m)=4+4m.
∵m>0,∴4+4m>0,
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根.
(4)解:∵该方程无实数根,
∴Δ<0,即4+4m<0,∴m<-1.
(5)2
(6)-1　3
(7)(x-1)2=1
命题点一　一元二次方程及其解法
(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a= (　　)
A.1 B.-1 C.+1 D.1或+1
(2023·河北)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1.因此,min{-,-}=　　　　;若min{(x-1)2,x2}=1,则x=　　　　.
(2022·河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:
由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为
x2+x=-, 第一步
x2+x+2=-+2,
第二步
x+2= , 第三步
x+=(b2-4ac>0),
第四步
x=. 第五步
(1)嘉淇的解法从第　　　　步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是　　　　　　.
(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.
命题点二　一元二次方程根的判别式
(2023·河北)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.有一根为0
(2023·河北)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是 (　　)
A.a<1 B.a>1 C.a≤1 D.a≥1
(2024·河北)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1,他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是 (　　)
A.不存在实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=-1
D.有两个相等的实数根
命题点三　一元二次方程根与系数的关系
(2004·河北)若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则+的值是 (　　)
A. B. C. D.7
(2024·河北样题)关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 (　　)
A.2 B.0 C.1 D.2或0
命题点四　一元二次方程的实际应用
(2008·河北)某县为发展教育事业,加强了对教育经费的投入,2007年投入3 000万元,预计2009年投入5 000万元.设教育经费的年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是 (　　)
A.3 000(1+x)2=5 000
B.3 000x2=5 000
C.3 000(1+x%)2=5 000
D.3 000(1+x)+3 000(1+x)2=5 000
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①2　②x=　③b2-4ac=0　④b2-4ac<0　⑤-　⑥
⑦a(1+m)2=b　⑧a(1-m)2=b　⑨(a-2x)(b-2x)　⑩·b　(a-x)(b-x)
对应练习
1.A　解析:∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,∴a2-4=0且a+2≠0,解得a=2.故选A.
2.D　解析:甲的解法错误,方程两边不能同时除以(x-1),这样会漏解;
乙的解法错误,没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式,所以c的值错误;
丙的解法错误,配方时,方程两边应同时加上一次项系数一半的平方;
丁利用因式分解法解一元二次方程,计算正确.故选D.
3.解:(1)(2x+3)2=(3x+2)2,
开方,得2x+3=3x+2或2x+3=-3x-2.
解得x1=1,x2=-1.
(2)x2+10x+16=0,
移项,得x2+10x=-16.
配方,得x2+10x+25=-16+25,
即(x+5)2=9.
由此可得x+5=±3.解得x1=-8,x2=-2.
(3)3x2+10=2x2+8x,
整理,得x2-8x+10=0.
∵a=1,b=-8,c=10,
∴Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×10=24>0.
∴方程有两个不相等的实数根,x==4±.
∴x1=4+,x2=4-.
(4)3x(x-1)=2(x-1),
整理,得3x(x-1)-2(x-1)=0.
因式分解,得(x-1)(3x-2)=0.
∴x1=1,x2=.
4.解:(1)当k=-2时,该方程为x2+3x+4=0,
Δ=b2-4ac=9-16=-7<0,故方程没有实数根.
(2)Δ=b2-4ac=9+8k,
∵一元二次方程有两个相等的实数根,
∴9+8k=0,解得k=-.
(3)∵一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,
∴9+8k>0,解得k>-.
5.解:(1)2k+2　k2+2
(2)∵(x1+1)(x2+1)=8,
即x1x2+x1+x2+1=8,
∴k2+2+2k+2+1=8,
整理,得k2+2k-3=0,
解得k1=-3,k2=1.
∵此一元二次方程有两实数根,
∴Δ=[-2(k+1)]2-4×1×(k2+2)≥0,
解得k≥,
∴k的值为1.
6.C　解析:设参加酒会的人数为x.x(x-1)=55,解得x1=11,x2=-10(不合题意,舍去).故选C.
7.解:利用平移,题图可转化为如图1或图2.设道路的宽为x m,则有20×32-20x-32x+x2=540,即x2-52x+100=0.(x-50)(x-2)=0,解得x1=50(不符合题意,舍去),x2=2.
答:道路的宽为2 m.
图1　　图2
8.解:(1)设2024年至2024年日租金的平均增长率为x,
根据题意,得100(1+x)2=121,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不符合题意,舍去).
答:2024年至2024年日租金的平均增长率为10%.
(2)①(121+y)　(300-2y)
②根据题意,得(121+y)(300-2y)-31(300-2y)-10[300-(300-2y)]=28 200,
整理,得y2-50y+600=0,
解得y1=20,y2=30.
答:当每辆汽车的日租金上涨20或30元时,该租赁公司的日收益可达28 200元.
河北中考·真题体验
1.C　解析:根据题意,得a2-2a=1,解得a=1±.
∵a>0,∴a=+1.故选C.
2.-　2或-1　解析:∵-<-,
∴min{-,-}=-.若(x-1)23.解:(1)四　x=
(2)将方程x2-2x-24=0变形为x2-2x=24.
配方,得x2-2x+1=24+1.
整理,得(x-1)2=25.
解得x1=6,x2=-4.
4.B　解析:∵(a-c)2>a2+c2,∴-2ac>0.∴ac<0.∴b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.故选B.
5.B　解析:由题意,得22-4×1×a<0.解得a>1.故选B.
6.A　解析:将x=-1代入x2+4x+c'=0,得c'=3.∵c'比c小2,∴c=5.∴原方程为x2+4x+5=0,b2-4ac=42-4×1×5=-4<0.∴原方程不存在实数根.故选A.
7.A　解析:由题意知,x1x2=,x1+x2=,
∴+=(x1+x2)2-2x1x2=2-2×.故选A.
8.B　解析:设x1,x2为方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两根.由题意,得x1+x2=-(a2-2a).∵x1,x2互为相反数,∴x1+x2=-(a2-2a)=0.∴a=0或a=2.当a=2时,原方程无解,∴ a=0.故选B.
9.A　解析:依题意,得2009年投入为3 000(1+x)2万元,
∴3 000(1+x)2=5 000.故选A.

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