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第6课时　一次方程(组)及其应用
考点一　等式的性质
若a=b,则a±c=①　　 移项.
若a=b,则②　　　=bc去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数);
若a=b,则③　　　　=(c≠0)系数化为1.
① 下列等式的性质运用错误的是 (　　)
A.若a=b,则a+2 024=b+2 024
B.若a=b,则-3a=-3b
C.若=,则a=b
D.若a=b,则=
② 有两种等式变形:①若ax=b,则x=;②若x=,则ax=b,其中 (　　)
A.只有①对 B.只有②对
C.①②都对 D.①②都错
③ (2024·石家庄裕华区一模)如图,已知相同物体的质量相等,①中天平保持平衡状态,则②中天平 (　　)
①　　②
A.能平衡
B.不能平衡,右边比左边低
C.不能平衡,左边比右边低
D.无法确定
考点二　一元一次方程及其解法
一元一次方程
(1)概念:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是④　　　　　的整式方程.
(2)一般形式:ax+b=0(a,b是常数,且a≠0).
(3)解:x=-(a≠0).
解一元一次方程的一般步骤
④ 下列是解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤:2(x+3)=5x2x+6=5x2x-5x=-6-3x=-6x=2
其中说法错误的是 (　　)
A.①步的依据是乘法分配律
B.②步的依据是等式的性质1
C.③步的依据是加法结合律
D.④步的依据是等式的性质2
⑤ 小红在解方程=+1时,第一步出现了错误:
解:2×7x=(4x-1)+1,
…
(1)请在相应的方框内用横线画出小红的错误处.
(2)写出你的解答过程.
考点三　二元一次方程(组)及其解法
二元一次方程:方程含有⑦　　　　个未知数,并且含有未知数的项的次数都是⑧　　　　的整式方程.例如ax+by=c(a,b,c为常数).
二元一次方程组:一个方程组含有两个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程,像这样的方程组叫做二元一次方程组.
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本思想:消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程.主要有代入消元法和加减消元法.
(1)代入消元法:当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数是1或-1时,选择代入消元法较为简单.
(2)加减消元法:①当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时,采用加减消元法较为简单;②当系数不同也不互为相反数时,可通过找系数的最小公倍数,将系数变相同或互为相反数,再采用加减消元法求解.
⑥ 解方程组①和方程组②比较简便的方法是(　　)
A.均用代入消元法 B.均用加减消元法
C.①用代入消元法,②用加减消元法 D.①用加减消元法,②用代入消元法
⑦ (原创)解方程组
(1)若将①写成含x的代数式表示y,则y= 　　　　.
(2)若将②写成含y的代数式表示x,则x=　　　　.
(3)要消去x,可以将①×5-②×3,得　　　　.
(4)要消去y,可以将①×3+②×2,得　　　　.
考点四　三元一次方程组的解法
三元一次方程组:一个方程组含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.
解三元一次方程组的基本思路
三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程.
⑧ 解方程组时,要使解法较为简便,应 (　　)
A.先消去x
B.先消去y
C.先消去z
D.先消去常数
考点五　一次方程(组)的实际应用
列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意,分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数,一般求什么,就设什么,也可设间接未知数
列 找出适当等量关系,列方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所解答案是否正确且是否符合题意
答 解答题需要作答,注意单位名称
基本等量关系
和差倍 分问题 抓住反映等量关系的关键字:和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等
购买问题 总价=单价×数量
利润 问题 (1)售价=标价×折扣, 销售额=售价×销量. (2)利润=售价-进价, 利润率=×100%
行程 问题 (匀速 运动) 基本关系:s=vt (1)相遇问题(同时出发)s甲+s乙=⑨　　　　,t甲=t乙. (2)追击问题:同时不同地:s甲=s乙+⑩　　　　,t甲=t乙. 同地不同时:甲出发t小时后乙出发,在B处乙追上甲,s甲=s乙,t甲=　　　　. (3)环形跑道问题:关键是抓住各物体的运动时间和路程关系
数字 问题 数字问题常间接设未知数,如十位、个位上的数字分别为a,b的两位数为　　　　;百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c的三位数为　　　　　
比赛积 分问题 (1)总场数=胜场数+负场数+平场数. (2)总积分=胜场积分+负场积分+平场积分
鸡兔同 笼问题 (1)鸡的头数+兔的头数=总头数. (2)鸡脚的总数+兔脚的总数=脚数和
流水问题 v顺=v静+v水,v逆=v静-v水
日历 问题 (1)日历中的数量关系:每一横排相邻两个数之差为1;每一竖排相邻两个数之差为7;左上到右下相邻两个数之差为8;右上到左下相邻两个数字之差为6. (2)日历中矩形框内的数量关系:如图,落在矩形框内的9个数,中间一个数是这9个数的平均值;矩形框内,每一横排、竖排、斜排,中间的数都是它们的平均值
⑨ (一题多设问)如图,A,B两地由公路和铁路相连,在这条路上有一家食品厂,它到B地的距离是到A地距离的2倍,现该食品厂从A地购买原料,全部制成食品(制作过程中有损耗)卖到B地,两次运输(第一次:A地→食品厂,第二次:食品厂→B地)共支出公路运费15 600元,铁路运费20 600元.已知公路运费为1.5元/(km·t),铁路运费为1元/(km·t).
(1)求该食品厂到A地,B地的铁路距离分别是多少千米
(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨
(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5 000元,要想该批食品销售完后工厂共获利863 800元,求卖出的食品每吨售价是多少元 (利润=总售价-总成本-总运费)
李明准备完成题目:解二元一次方程组发现系数“ ”印刷不清楚.
(1)解该方程组最适合的方法是　　　　消元法.
(2)若该方程组用代入消元法来解,应将　　 　 　变形,变形结果为　　 　　,再代入方程 　　　　　　　.
(3)他把 “ ”猜成3,请你用适当的方法解二元一次方程组
(4)张老师说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是x,y互为相反数.”通过计算说明原题中的“ ”是多少
(1)加减
(2)x-y=4　y=x-4　 x+y=-8
(3)解:
①+②,得4x=-4,解得x=-1,
把x=-1代入①,得-1-y=4,
解得y=-5,
∴方程组的解是
(4)解:设“ ”为a,∵x,y互为相反数,
∴把x=-y代入x-y=4,得-y-y=4,
解得y=-2,∴x=-(-2)=2,
∴方程组的解是
代入ax+y=-8,得2a-2=-8,
解得a=-3,即原题中“ ”是-3.
(多维设问)小李妈妈去市里商场买东西.
(1)去的路上有一条长2 110 m的隧道.现小李妈妈开货车从隧道匀速通过,测得货车从开始进入隧道到完全通过隧道共用了106 s(即从车头进入隧道口到车尾离开隧道),整辆车完全在隧道内的时间为105 s.隧道内平均行驶速度不得低于60 km/h,又不得高于80 km/h.
①如果设这辆货车的长度为x m,填写下表(不需要化简):
项目 时间/s 路程/m 平均速度/(m/s)
完全通过隧道 106 　　　 　　　
整辆车在隧道内 105 　　　 　　　
②求这辆货车的长度;
③这辆货车是按规定的速度行驶的吗 请说明理由.
(2)小李妈妈在某商场购买A,B两种商品若干次(每次A,B商品都买),其中前两次按标价购买,第三次购买时,A,B两种商品同时打折,三次购买A,B商品的数量和费用情况如表所示:
项目 购买A商品的数量/件 购买B商品的数量/件 购买总费用/元
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 9 8 912
①求A,B商品的标价;
②若小李妈妈第三次购买时,A,B商品的折扣相同,则商场是打几折出售这两种商品的
③在②的条件下打折,若小李妈妈第四次购买A,B商品共花去960元,则小李妈妈购买方案可能有哪几种
(1)①2 110+x　　2 110-x
②解:根据题意,得=,解得x=10,∴这辆货车的长度为10 m.
③解:这辆货车是按规定的速度行驶的.理由:货车的平均速度为=20(m/s),20 m/s=72 km/h.
∵60<72<80,
∴这辆货车是按规定的速度行驶的.
(2)解:①设A商品的标价为x元/件,B商品的标价为y元/件.
依题意,得
解得
答:A商品的标价为80元/件,B商品的标价为100元/件.
②设商场是打m折出售这两种商品的.
依题意,得(80×9+100×8)×=912,
解得m=6.
答:商场是打6折出售这两种商品的.
③设购买A商品a件,B商品b件.
依题意,得(80a+100b)×0.6=960,
∴a=20-b.
∵a,b均为正整数,
∴或或
∴共有3种购买方案:方案一:购买A商品15件,B商品4件;方案二:购买A商品10件,B商品8件;方案三:购买A商品5件,B商品12件.
命题点一　等式的性质
(2023·河北)有三种不同质量的物体“”“”“”,其中,同一种物体的质量都相等.现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体,只有一组左右质量不相等,则该组是 (　　)
A B C D
(2024·河北样题)等式就像平衡的天平,能运用等式的性质说明如图事实的是 (　　)
A.如果a=b,那么ac=bc(a,b,c均不为0)
B.如果a-c=b-c,那么a=b(a,b,c均不为0)
C.如果a=b,那么a+c=b+c(a,b,c均不为0)
D.如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不为0)
命题点二　一元一次方程及其解法
(2024·河北样题)试卷上有一道解方程的题:+1=x,□处在印刷时被油墨盖住了,查后面的答案知这个方程的解是x=-2,那么□处应该是 (　　)
A.7 B.5 C.2 D.-2
(2024·河北样题)若“△”表示一种新运算,规定a△b=a×b-(a+b).
(1)计算:-3△5.
(2)计算:2△[(-4)△(-5)].
(3)(-2)△(1+x)=-x+6,求x的值.
命题点三　二元一次方程(组)及其解法
(2024·河北)利用加减消元法解方程组下列做法正确的是(　　)
A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)
C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去x,可以将①×(-5)+②×2
命题点四　三元一次方程组的解法
(2024·河北样题)三元一次方程组的解为　　　　.
命题点五　一次方程(组)的实际应用
(2024·河北)“曹冲称象”是流传很广的故事,如图.按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等重的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工的体重均为120斤,设每块条形石的重量是x斤,则正确的是 (　　)
A.依题意3×120=x-120 B.依题意20x+3×120=(20+1)x+120
C.该象的重量是5 040斤 D.每块条形石的重量是260斤
(2023·河北)某磁性飞镖游戏的靶盘如图,珍珍玩了两局,每局投10次飞镖,若投到边界则不计入次数,需重新投,计分规则如下:
投中位置 A区 B区 脱靶
一次计分/分 3 1 -2
在第一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分.
(2)第二局,珍珍投中 A区k次,B区3次,其余全部脱靶,若本局得分比第一局提高了 13 分,求k的值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①b±c　②ac　③　④1　⑤最小公倍数　⑥去括号　⑦两　⑧1　⑨sAB　⑩sAC　t乙+t　10a+b　
100a+10b+c
对应练习
1.D
2.B
3.A
4.C　解析:解一元一次方程2(x+3)=5x的步骤:2(x+3)=5x2x+6=5x2x-5x=-6-3x=-6x=2,
①步的依据是乘法分配律;②步的依据是等式的性质1;③步的依据是合并同类项的法则;④步的依据是等式的性质2.故选C.
5.解:(1)如图:
解:2×7x=(4x-1)+1,
…
(2)去分母,得2×7x=(4x-1)+6,
去括号,得14x=4x-1+6,
移项,得14x-4x=-1+6,
合并同类项,得10x=5,
系数化为1,得x=.
6.C　解析:解方程组①最简便的方法是代入消元法,解方程组
②最简便的方法是加减消元法.故选C.
7.(1)　(2)
(3)38y=-19　(4)19x=114
8.B　解析:第二个、第三个方程消去y,把三元一次方程组转化为二元一次方程组,比较简单.故选B.
9.解:(1)设这家食品厂到A地的距离是x km,到B地的距离是y km,
根据题意,得
解得
∴50-20=30(km),
100-30=70(km),
答:这家食品厂到A地的铁路距离是30 km,到B地的铁路距离是70 km.
(2)设该食品厂买进原料m t,卖出食品n t,
由题意,得
解得
答:该食品厂买进原料220 t,卖出食品200 t.
(3)设卖出的食品每吨售价为a元,
由题意,得200a-5 000×220-15 600-20 600=863 800,
解得a=10 000,
答:卖出的食品每吨售价是10 000元.
河北中考·真题体验
1.A　解析:设“”“”“”的质量分别为x,y,z.由A可得2x=3y;由B可得2z+x=2z+2y,从而有x=2y;由C可得z+x=z+2y,从而有x=2y;由D可得2x=4y,从而有x=2y,综上,只有A与其他三项不同.故选A.
2.D　解析:由题图可得如果a+c=b+c,那么a=b(a,b,c均不为0).故选D.
3.B　解析:将x=-2代入原方程,设□内的数字为y.+1=-2,解得y=5.故选B.
4.解:(1)-3△5=(-3)×5-(-3 +5)=-15-2=-17.
(2)2△[(-4)△(-5)]=2△[(-4)×(-5)-(-4-5)]=2△29=2×29-(2+29)=27.
(3)根据题意可得-2(1+x)-(-2+1+x)=-x+6,
去括号,得-2-2x+2-1-x=-x+6.
移项,得-2x-x+x=6+2-2+1.
合并同类项,得-2x=7.
系数化为1,得x=-.
5.D
6.　解析:③-①,得b=4.将b=4代入②,得a=1.将a=1,b=4代入①,得c=2.∴原方程组的解为
7.B　解析:根据题意,得20x+3×120=(20+1)x+120,故选项B正确,选项A错误,解上述方程,得x=240,即每块条形石的重量是240斤.∴大象的重量为20×240+360=5 160(斤).故C,D错误.故选B.
8.解:(1)由题意,得4×3+2×1+4×(-2)=6(分).
答:珍珍第一局的得分为6分.
(2)由题意,得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13.
解得k=6.

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