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第10课时　平面直角坐标系与函数
考点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
点的坐标特征
各象限内点的坐标的符号特征(如图1) 点P(x,y)在第一象限 x>0,y>0; 点P(x,y)在第二象限 x<0,y>0; 点P(x,y)在第三象限 x<0,y①　　　　0; 点P(x,y)在第四象限 x②　　　　0,y<0 图1
坐标轴上点的坐标特征 x轴上的点的⑤　　　　坐标为0; y轴上的点的⑥　　　　坐标为0; 原点坐标为⑦　　　　. 注:坐标轴上的点不属于任一象限
各象限角平分线上点的坐标特征(如图2) 点A1(x,y)在第一、第三象限角平分线上,则横、纵坐标⑧　　　　; 点A2(x,y)在第二、第四象限角平分线上,则横、纵坐标⑨　　　　　　　 图2
平行于坐标轴的直线上点的坐标特征(如图3) 平行于x轴的直线上点的⑩　　　　坐标相等,y=　　　　; 平行于y轴的直线上点的　　　　坐标相等,x=　　　　 图3
对称点的 坐标特征 P(a,b)P1　　　　; P(a,b)P2　　　　; P(a,b)P3　　　　. 口诀:关于坐标轴对称,关于谁对称,谁不变,另一个变号;关于原点对称都变号
点平移的坐标特征 P(x,y)P'　　　　; P(x,y)P'　　　　; P(x,y)P'　　　　; P(x,y)P'　　　　. 口诀:左减右加,上加下减
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离(如图4)
图4
(1)到x轴的距离是　　　　,到y轴的距离是　　　　.
(2)到原点的距离是　　　　.
P(x,y),Q(x1,y1)为坐标系中任意两点:
(1)中点坐标公式:PQ中点坐标为.
(2)两点间距离:
①若PQ∥x轴 y=y1,PQ=|x-x1|;
②若PQ∥y轴 x=x1,PQ=|y-y1|;
③坐标平面内任意两点间距离公式:PQ=.
① (2023·金华)如图,两个灯笼的位置A,B的坐标分别是(-3,3),(1,2),将点B向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',则关于点A,B'的位置描述正确的是 (　　)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点O对称
D.关于直线y=x对称
② (冀教八下P40变式)已知点A(2a-2,4)在平面直角坐标系中的位置如图所示,点A在第二、四象限的角平分线上.
(1)a=　　　　.
(2)点A关于x轴的对称点的坐标为　　　　.
(3)点A关于原点O的对称点的坐标为　　　　.
(4)若使点A平移后的对应点A'落在x轴上,则平移距离最小为　　　　,此时线段AA'的中点坐标为　　　　.
(5)若线段AB∥x轴,且y轴为线段AB的对称轴,则△AOB的面积为　　　　.
考点二　函数及其自变量的取值范围
函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是　　　　,y是x的函数.
函数值:如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函数的表示方法
解析式法、列表法、　　　　.
函数图象的画法
描点法画函数图象的步骤:①列表;②描点;③连线.
函数自变量的取值范围
函数解析式的形式 自变量的取值范围
含有分式 　
含有二次根式 　
含有分式与二次根式 分母不为0,且被开方数大于或等于0
③ 下列各曲线中表示y是x的函数的是(　　)
A　 B　 C　 D
④ (冀教八下P67变式)已知函数y=,则自变量x的取值范围是　　　　,若x=10,则y的值是　　　　.
考点三　函数图象的分析与判断
　　根据实际问题判断函数图象时,注意以下几点:
(1)找特殊点,即交点或转折点,说明图象在此点处函数值相等或发生了变化.
(2)判断函数图象趋势,若函数图象与x轴平行,说明此时函数y值不变.
(3)看图象与坐标轴是否有交点,若有交点,则此时另外一个量为0.
⑤ (2024·凉山州)匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是 (　　)
A B C D
⑥ 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P沿折线BCD从点 B开始运动到点D.设点P运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x 之间的函数关系的图象大致是 (　　)
A B C D
⑦ (人教八下P76变式)如图1,小亮家、报亭、羽毛球馆在一条直线上.小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家.小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示.下列结论错误的是 (　　)
图1 图2
A.小亮从家到羽毛球馆用了7 min B.小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 m
C.报亭到小亮家的距离是400 m D.小亮打羽毛球的时间是37 min
已知点P(a-2,2a+8).
(1)点P在x轴上时的坐标为　　　　.
(2)点P在y轴上时的坐标为　　　　.
(3)点P到x轴、y轴的距离相等时的坐标为　　　　.
(4)点P在第二象限,则a的取值范围是　　　　.
(5)点P在第二、四象限的角平分线上,则a=　　　　.
(6)当a=1时,
①点P关于x轴的对称点P1的坐标为　　　　;
②点P关于y轴的对称点P2的坐标为　　　　;
③点P关于原点的对称点P3的坐标为　　　　.
(7)若点P的纵坐标比横坐标大3,求点P的坐标.
(8)若点P到x轴的距离为2,且在第三象限,求点P的坐标.
(9)若点P在过点A(-5,1)且与y轴平行的直线上,求点P的坐标.
(10)将点P先向右平移5个单位长度,再向下平移3个单位长度后得到点M,若点M在第三象限,且点M到y轴的距离为4,求点M的坐标.
(1)点P在x轴上 2a+8=0.(2)点P在y轴上 a-2=0.(3)点P到x轴、y轴的距离相等 a-2=2a+8或a-2+2a+8=0.(4)点P在第二象限 a-2<0且2a+8>0.(5)点P在第二、四象限的角平分线上 a-2+2a+8=0.
(1)(-6,0)
(2)(0,12)
(3)(-12,-12)或(-4,4)
(4)-4(5)-2
(6)①(-1,-10)　②(1,10)　③(1,-10)
(7)解:∵点P的纵坐标比横坐标大3,∴2a+8=a-2+3,解得a=-7.
∴a-2=-9,2a+8=-6,
∴点P的坐标为(-9,-6).
(8)解:∵点P到x轴的距离为2,
∴|2a+8|=2,解得a=-3或a=-5.
又∵点P在第三象限,∴2a+8<0,即a<-4,∴a=-5,∴a-2=-7,2a+8=-2.
∴点P的坐标为(-7,-2).
(9)解:∵点P在过点A(-5,1)且与y轴平行的直线上,∴点P的横坐标为-5,∴a-2=-5,解得a=-3,
∴2a+8=2,∴点P的坐标为(-5,2).
(10)解:由题意知点M的坐标为(a-2+5,2a+8-3).
∵点M在第三象限,且点M到y轴的距离为4,
∴点M的横坐标为-4,
∴a-2+5=-4,解得a=-7,
∴2a+8-3=-9.
∴点M的坐标为(-4,-9).
如图1,在半圆M中,AB为其直径,有一动点P从点M出发,沿线段MA→→线段BM运动,设运动时间为x,点P与点M之间的距离为y,y与x之间的函数图象如图2所示,请解决下列问题:
图1　 　图2
(1)当点P在线段MA上运动时,y的变化情况是　　　　,对应图2中的函数图象为　　　.
(2)图2中CD段函数图象对应的点P在　　　　上运动,此时y的变化情况是　　　　.
(3)当点P在线段BM上运动时,y的变化情况是　　　　,对应图2中的函数图象为　　　　.
(1)y随着x的增大而增大　OC
(2)　y不随x的增大而变化
(3)y随着x的增大而减小　DE
命题点一　平面直角坐标系中点的坐标特征
(2024·河北样题)已知点 P(1-a,2a+6)在第四象限,则a的取值范围是 (　　)
A.a<-3 B.-3C.a>-3 D.a>1
(2024·河北预测)中国象棋是中华民族的文化瑰宝,因趣味性强,深受大众喜爱.如图,若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系,使“帅”位于点(0,-2),“马”位于点(4,-2),则“兵”位的坐标是 (　　)
A.(-1,3) B.(1,3)
C.(-1,1) D.(1,-1)
(2024·河北)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图所示(单位:km).笔直铁路经过A,B两地.
(1)点A,B 间的距离为　　　　km.
(2)计划修一条从点C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使点D到点A,C的距离相等,则点C,D间的距离为　　　　km.
命题点二　函数及其自变量的取值范围
(2024·河北样题)函数y=的自变量的取值范围在数轴上可表示为 (　　)
A B C D
(2024·河北预测)下列各式中,自变量x的取值范围是x≥2的是 (　　)
A.y=x-2 B.y= C.y=· D.y=x2-4
(2024·河北样题)若函数y=则当函数值y=8时,自变量x的值为 (　　)
A.± B.4 C.±或 4 D.4或-
命题点三　函数图象的分析与判断
(2024·河北)如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是 (　　)
A.点M B.点N C.点P D.点Q
(2023·河北)如图是一种轨道示意图,其中和均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,且AM=CN.现有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以大小相同的速度匀速移动,其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人之间距离为y,则y与x关系的图象大致是 (　　)
A B C D
(2024·河北)某项工作,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需12天.若m个人共同完成需n天,选取6组数对(m,n),在坐标系中进行描点,则正确的是 (　　)
A B C D
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①<　②>　③(-,-)　④(+,-)　⑤纵　⑥横　⑦(0,0)　⑧相等　⑨互为相反数　⑩纵　y1　横　x2　
(a,-b)　(-a,b)　(-a,-b)
(x-a,y)　(x+a,y)　(x,y+b)
(x,y-b)　|y|　|x|　　自变量　图象法
分母不为0　被开方数大于或等于0
对应练习
1.B　解析:∵将点B(1,2)向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到点B',∴点B'(3,3).∵点A(-3,3),∴点A,B'关于y轴对称.故选B.
2.(1)-1　(2)(-4,-4)　(3)(4,-4)
(4)4　(-4,2)　(5)16
解析:(1)由题意可知,2a-2+4=0,解得a=-1.(2)∵点A(-4,4),∴它关于x轴的对称点的坐标为(-4,-4).(3)点A关于原点对称的点的坐标为(4,-4).(4)向下平移4个单位长度落在x轴上;根据中点坐标公式,得y==2,故AA'的中点坐标为(-4,2).(5)∵线段AB∥x轴,∴A,B两点的纵坐标相同.∵线段AB关于y轴对称,∴A,B两点的横坐标互为相反数,∴B(4,4),∴AB=8,∴S△AOB=×8×4=16.
3.D
4.x≥-2且x≠2　　解析:由已知得∴x≥-2且x≠2;当x=10时,y=.
5.C　解析:根据题图可知,容器的横截面积为首先小然后变大最后又变小,所以注水过程水的高度是先快后慢再快,且第三段的上升速度比第一段慢,故C正确.故选C.
6.D　解析:由题意知AD=BC=4,当0≤x≤4时,y=AD·AB=×4×3=6;当47.D　解析:A.从题图可得出,小亮从家到羽毛球馆用了7 min,故该选项正确,不符合题意;B.=75(m/min),即小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75 m,故该选项正确,不符合题意;C.从题图可得出,报亭到小亮家的距离是400 m,故该选项正确,不符合题意;D.小亮打羽毛球的时间是37-7=30(min),故该选项不正确,符合题意.故选D.
河北中考·真题体验
1.A　解析:∵点P(1-a,2a+6)在第四象限,∴解得
∴不等式组的解集为a<-3.故选A.
2.C　解析:如图,先根据“帅”和“马”的位置确定坐标原点.∴“兵”的位置为(-1,1).故选C.
3.(1)20　(2)13　解析:(1)AB==20(km).
(2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴负半轴上,且OC=17 km.设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km, OE=1 km.∴CE=18 km.设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km.在Rt△ADE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解得x=13.∴点C,D间的距离为13 km.
4.B　解析:根据题意,得x-1>0,解得x>1.故选B.
5.C　解析:A.根据题意,得x可取任何实数,不符合题意;B.根据题意,得x-2>0,解得x>2,不符合题意;C.根据题意,得x+2≥0且x-2≥0,解得x≥2,符合题意;D.根据题意,得x可取任何实数,不符合题意.故选C.
6.D　解析:当x2+2=8时,解得x1=(舍),x2=-.当2x=8时,x=4.故选D.
7.A　解析:由已知可得函数y=的图象关于y轴对称,且位于x轴上方,∴点M是原点.故选A.
8.D　解析:由题意,得机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,设圆的半径为R,∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R.∵两个人机器人速度相同,∴分别同时到达点A,C,∴两个机器人之间的距离y越来越小,故排除A,C.当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时,此时两个机器人之间的距离是直径2R,保持不变,当机器人分别沿C→N和A→M移动时,此时两个机器人之间的距离越来越大,故排除B.故选D.
9.C　解析:设总工作量为1.∵一个人完成需要12天,∴一人一天的工作量为.∵m个人共同完成需n天,∴=1.∴n=.故C符合题意.故选C.

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