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第11课时　一次函数的图象与性质
考点一　正比例函数的图象与性质
解析式 y=kx(k为常数,且k≠0),图象是经过原点(0,0)的一条直线
增减性 k>0,从左向右呈上升趋势,y随x的增大而①　　 k<0,从左向右呈下降趋势,y随x的增大而②　　
图象(草图)
经过象限 第一、三象限 第二、四象限
① (原创)已知函数y=(m-1)是正比例函数.
(1)求m的值.
(2)若函数关系式中y随x的增大而减小,求m的值.
(3)若函数的图象过第一、三象限,求m的值.
(4)若点P(a,-3)在这个函数的图象上,求a的值.
(5)若函数的图象过第二、四象限且y的取值范围为-1≤y≤1,求x的取值范围.
考点二　一次函数的图象与性质
解析式 y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)
增减性 k>0,从左向右呈上升趋势,y随x的增大而③　　 k④　　　,从左向右呈下降趋势,y随x的增大而⑤　　　
与y轴的交点位置 ⑥　　 图象与y 轴正半轴相交 b<0 图象与y轴负半轴相交 b>0 图象与y轴正半轴相交 b<0 图象与y轴⑦　　　相交
图象 (草图)
经过象限 第一、二、三象限 ⑧　　　　　　　 第一、二、四象限 第二、三、四象限
与坐标轴交点坐标 与x轴交点坐标为⑨　　　(即令y=0),与y轴交点坐标为⑩　　　(即令x=0)
与其他直线的交点 解由两个一次函数解析式组成的二元一次方程组,其解即为交点坐标
对于两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2:
(1)若两个一次函数图象平行,则k1=k2且b1≠b2.
(2)若两个一次函数图象垂直,则k1k2=-1,如图1.
(3)若k1+k2=0,则两条直线和坐标轴围成等腰三角形,如图2.
图1　　 图2
② (冀教八下P112变式)已知函数y=(m+1)x+3m-1,解决下列问题:
(1)若函数值y随x的增大而减小,则m的取值范围是　　　　.
(2)若函数图象与y轴交于正半轴,则m的取值范围是　　　　.
(3)若该函数的图象过第一、三、四象限,则m的取值范围是　　　　.
(4)当m=1时,函数图象与x轴的交点坐标是　　 　　,与y轴的交点坐标是　　　 ;与直线y=-x+1的交点为　　　　.
(5)当m=0时,点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数图象上的两个点,且x1”“<”或“=”).
考点三　直线与坐标轴围成的三角形的面积
项目 图形 面积
一条直线与坐标轴　 S△AOB=AO·BO=|xA|·|yB|
两条直线与x轴　　 S△ABC=BC·AD=|xC-xB|·|yA|
两条直线与y轴　　 S△ABC=BC·AD=|yB-yC|·|xA|
③ 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点D,直线l2:与x轴交于点B(1,0),与l1相交于点C(m,4).
(1)求直线l2的解析式.
(2)求四边形OBCD的面积.
(3)若点M为x轴上一动点,过点M(t,0)作垂直于x轴的直线,与直线l2交于点Q.若S△AQC=2S△ABC,请直接写出所有符合题意的点Q的坐标.
考点四　一次函数解析式的确定
方法 待定系数法
步骤 (1)一设:设一次函数的解析式为y=kx+b. (2)二列:将图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)分别代入y=kx+b中,得到二元一次方程组 (3)三解:解方程组,求出k,b的值. (4)四还原:将k,b代入所设解析式中
(1)若对于一次函数y=kx+b,当b=0时,找出满足y=kx的一点坐标(原点除外),求出k即可确定解析式.
(2)在找点坐标时有4种情况:
①题目中明确已知两个点在一次函数图象上,直接代入解析式即可;
②已知与坐标轴的交点,实质为已知点坐标为(x,0)或(0,y);
③已知一次函数与坐标轴交点到原点的距离为h,实质为已知一次函数图象上点的坐标为(±h,0)或(0,±h);
④已知一次函数图象与其他函数图象的交点坐标,实质为该交点在一次函数图象上,满足一次函数解析式.
④ 已知一次函数的图象经过点A(-2,-1),B(1,5),则该函数的解析式为　 .
⑤ 若函数图象过点(2,-1)且与直线y=2x+1平行,则该函数的解析式为　 .
⑥ 若一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x+1的交点的横坐标为2,与直线y=-x+8的交点的纵坐标为7,则该直线的函数解析式为　　　　　　　　.
⑦ 一次函数y=kx+b的图象经过点,0,且与坐标轴所围成的三角形的面积为,求这个函数的解析式.
考点五　一次函数图象的平移
平移前 平移方向 平移后 规律
y=kx+b 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b x左加右减
向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b
y=kx+b 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 等号右端整体上加下减
向下平移m个单位长度 y=kx+b-m
⑧ 已知一次函数y=2x-5.
(1)将函数的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到的函数图象的解析式为　　　　　　　　.
(2)将该函数的图象向左平移m个单位长度后,经过点(1,2),则m的值为　　　　.
考点六一次函数与一次方程(组) 、一元一次不等式的关系
与一元一次方程的关系 方程kx+b=0的解x=-是一次函数 y=kx+b的图象与x轴的交点A的横坐标,如图
与二元一次方程组的关系 二元一次方程组的解是两个一次函数图象交点的横坐标、纵坐标,如图
与一元一次不等式的关系 (1)从“数”上看:①kx+b>0的解集是在函数y=kx+b中,当y>0时x的取值范围;②kx+b<0的解集是在函数y=kx+b中,当y<0时x的取值范围. (2)如图,从“形”上看:①kx+b>0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴上方部分对应的点的横坐标;②kx+b<0的解集是函数y=kx+b的图象位于x轴下方部分对应的点的横坐标
⑨ (冀教八下P108变式)已知一次函数y1=kx+b 与y2=x+a 的图象如图所示,根据图象填空.
(1)关于x的一元一次方程x+a=0的解为　　　　.
(2)是方程y=x+a的一组解.
(3)当x　　　　时,y2<0.
(4)方程组的解是　　　　.
(5)当x　　　　时,y1(6)不等式kx+b>x+a的解集为　　　　.
如图,已知直线l1:y1=x+3与x轴、y轴交于A,B两点,D为线段AB的中点.直线l2:y2=kx+b经过点O,D, 点C在直线l1上且在点D的右侧.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)当y1<0时,x的取值范围为　　　　.
(3)求直线l2的解析式.
(4)已知点(m1,n1),点(m2,n2)在直线l1上,当n1>n2时,m1　　　　m2.(填“>”“<”或“=”)
(5)连接OC,若S△COD=6 ,点E(1,m).
①求点C的坐标;
②若直线l2与线段CE有交点,求m的取值范围.
(1)解:令y1=0,则x+3=0,∴x=-6,
∴A(-6,0).令x=0,
∴y1=3,∴B(0,3).
(2)x<-6
(3)解:∵D为线段AB的中点,
∴D-3,.
∵直线y2=kx+b经过点O,∴b=0.
将点D的坐标代入,得=-3k,∴k=-,
∴直线l2的解析式为y2=-x.
(4)>
(5)解:①设点C的坐标为x,x+3,
∵S△COD=6,∴×3×|-3|+×3x=6,
解得x=1.
将x=1代入x+3,得×1+3=.
∴C1,.
②将(1,m)代入y2=-x可得,m=-,
∴当m≤-时,直线l2与线段CE有交点.
命题点一　正比例函数的图象与性质
(2024·河北样题)若函数y=(a-1)x+2a+3是正比例函数,则此函数图象分布在第　　　　象限.
命题点二　一次函数的图象与性质
(2023·河北)若k≠0,b<0,则y=kx+b的图象可能是 (　　)
A B C D
(2022·河北)如图,直线l经过第二、三、四象限,l的解析式是y=(m-2)x+n,则m的取值范围在数轴上表示为 (　　)
A. B.
C. D.
(2023·河北)如图,直线l:y=-x-3与直线y=a(a为常数)的交点在第四象限,则a可能在 (　　)
A.1C.-3≤a≤-2 D.-10命题点三　直线与坐标轴围成的三角形的面积
(2024·河北)如图,直角坐标系中,一次函数y=-x+5的图象l1分别与x,y轴交于A,B两点,正比例函数的图象l2与l1交于点C(m,4).
(1)求m的值及l2的解析式.
(2)求S△AOC-S△BOC的值.
(3)一次函数y=kx+1的图象为l3,且l1,l2,l3不能围成三角形,直接写出k的值.
命题点四　一次函数解析式的确定
(2023·河北)表格中的两组对应值满足一次函数y=kx+b,现画出了它的图象为直线l,如图.而某同学为观察k,b对图象的影响,将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数,设其图象为直线l'.
(1)求直线l的解析式.
(2)请在图上画出直线l'(不要求列表计算),并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长.
(3)设直线y=a与直线l,l'及y轴有三个不同的交点,且其中两点关于第三点对称,直接写出a的值.
x -1 0
y -2 1
(2023·河北)在平面直角坐标系中,设计了点的两种移动方式:从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式;从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式.
例:点P从原点O出发连续移动2次:若都按甲方式,最终移动到点M(4,2);若都按乙方式,最终移动到点N(2,4);若按1次甲方式和1次乙方式,最终移动到点E(3,3).
(1)设直线l1经过上例中的点M,N,求l1的解析式;并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式.
(2)点P从原点O出发连续移动10次,每次移动按甲方式或乙方式,最终移动到点Q(x,y).其中,按甲方式移动了m次.
①用含m的式子分别表示x,y;
②请说明:无论m怎样变化,点Q都在一条确定的直线上.设这条直线为l3,在图中直接画出l3的图象.
(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C,横坐标依次为a,b,c,若A,B,C三点始终在一条直线上,直接写出此时a,b,c之间的关系式.
命题点五　一次函数图象的平移
(2024·河北模拟)将直线y=2x+1向上平移2个单位长度,相当于 (　　)
A.向左平移2个单位长度
B.向左平移1个单位长度
C.向右平移2个单位长度
D.向右平移1个单位长度
(2024·河北样题)定义:一次函数y=ax+b的特征数为[a,b].若一次函数y=-2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y=-的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数y=-2x+m的特征数是 (　　)
A.[2,3] B.[2,-3] C.[-2,3] D.[-2,-3]
命题点六　一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系
(2024·河北样题)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3).根据图象可知,关于x的方程2x-1=kx+b的解是 (　　)
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
(2024·河北样题)在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象如图所示,则关于x的不等式kx+b>0的解集是　　　　,kx+b【详解答案】
教材考点·深度梳理
①增大　②减小　③增大　④<0　⑤减小　⑥b>0　⑦负半轴　⑧第一、三、四象限　⑨-,0　⑩(0,b)
对应练习
1.解:∵(1)函数y=(m-1)是正比例函数,
∴
解得m1=-2,m2=2.
(2)∵函数关系式中y随x的增大而减小,
∴m-1<0,
∴m<1,
∴m=-2.
(3)∵函数的图象过第一、三象限,
∴m-1>0,
∴m>1,
∴m=2.
(4)当m=2时,y=x,∴-3=a,即a=-3;
当m=-2时,y=-3x,∴-3=-3a,即a=1.故a的值为-3或1.
(5)∵函数的图象过第二、第四象限,
∴m-1<0,∴m<1,
∴m=-2 ,即y=-3x.
当y=-1时,x=;当y=1时,x=-.
∴当y的取值范围为-1≤y≤1时,x的取值范围为-≤x≤.
2.(1)m<-1　(2)m>　(3)-1(5)<
解析:(1)∵函数值y随x的增大而减小,
∴m+1<0,解得m<-1.
(2)∵函数图象与y轴交于正半轴,
∴3m-1>0,解得m>.
(3)∵该函数的图象过第一、三、四象限,
∴　解得 -1(4)当m=1时,函数解析式为y=2x+2, 令x=0,y=2;令y=0,x=-1.
∴函数图象与x轴的交点坐标是(-1,0),与y轴交点的坐标是(0,2).
联立解得
∴与直线y=-x+1的交点坐标为-,.
(5)当m=0时,函数解析式为y=x-1,
∵k=1>0,∴y随x的增大而增大,
∴当x13.解:(1)∵直线l1:y=x+2与l2相交于点C(m,4),
∴4=m+2,
解得m=2,
∴C(2,4),
设直线l2的解析式为y=kx+b(k≠0),
把点B(1,0),C(2,4)代入得
解得
∴直线l2的解析式为y=4x-4.
(2)当x=0时,y=2,
∴直线l1与y轴的交点D的坐标为(0,2),
∴OD=2,
当y=0时,0=x+2,x=-2,
∴直线l1与x轴的交点A的坐标为(-2,0),
∴OA=2,
∵B(1,0),
∴AB=3,
∴S四边形OBCD=S△ABC-S△AOD=×3×4-×2×2=4.
(3)点Q的坐标为(0,-4)或(4,12).
解析:∵过点M(t,0)作垂直于x轴的直线,与直线l2交于点Q,
∴点Q的坐标为(t,4t-4),
S△ABC=×3×4=6,
∴S△AQC=2S△ABC=12,
当点Q在点C的上方时,如图所示:
S△AQC=S△ABQ-S△ABC=×3×(4t-4)-6=12,
解得t=4,
∴此时点Q的坐标为(4,12).
当点Q在点C的下方时,如图所示:
S△AQC=×3×(4-4t)+6=12,
解得t=0,
∴此时点Q的坐标为(0,-4).
综上分析可知,点Q的坐标为(0,-4)或(4,12).
4.y=2x+3　解析:设一次函数解析式为y=kx+b,
把A(-2,-1),B(1,5)代入,得
解得
∴一次函数解析式为y=2x+3.
5.y=2x-5　解析:由题意可设y=2x+b,
将点(2,-1)代入,得-1=2×2+b,
∴b=-5,
∴一次函数解析式为y=2x-5.
6.y=-2x+9　解析:将x=2代入直线y=2x+1,得y=2×2+1=5 ,
令7=-x+8,∴x=1.
将(2,5),(1,7)代入y=kx+b,
得解得
∴一次函数解析式为y=-2x+9.
7.解:∵一次函数y=kx+b的图象经过点,0,
∴k+b=0①,点到y轴的距离是.
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是(0,b),
∴×|b|=,
解得b=5或-5.
把b=5代入①,得k+5=0,解得k=-2,则函数的解析式是y=-2x+5;
把b=-5代入①,得k-5=0,解得k=2,则函数的解析式是y=2x-5.
故这个函数的解析式为y=-2x+5或y=2x-5.
8.(1)y=2x-12　(2)　解析:(1)根据平移规律可得,y=2(x-2)-5-3=2x-4-8=2x-12.
(2)图象向左平移m个单位长度后,所得函数图象对应的解析式为y=2(x+m)-5,将(1,2)代入,得2=2(1+m)-5,解得m=.
9.(1)x=2　(2)0　(3)<2
(4)　(5)>3　(6)x<3
解析:(1)x+a=0,即直线y2=x+a与x轴的交点的横坐标,即x=2.
(2)∵(2,0)在y2=x+a这条直线上,∴方程y=x+a的一组解为
(3)∵y2<0,∴x<2.
(4)∵方程组的解即为两条直线的交点(3,1),
∴该方程组的解为
(5)由题图可知,直线y1=kx+b 与y2=x+a 的交点为(3,1),∴当x>3时,y1(6)kx+b>x+a,即y1>y2,故kx+b>x+a 的解集为x<3.
河北中考·真题体验
1.二、四　解析:由题意得2a+3=0.解得a=-.当a=-时,a-1=-<0,∴此函数图象分布在第二、四象限.
2.B　解析:∵k≠0,b<0,∴一次函数的图象与y轴负半轴相交.故选B.
3.C　解析:由题图可知m-2<0.解得m<2.故选C.
4.D　解析:联立方程组
解得
∴直线l:y=-x-3与直线y=a的交点为-a,a.
∵直线y=-x-3与直线y=a的交点在第四象限,
∴∴a<-3.故四个选项中,只有-105.解:(1)把点C(m,4)代入一次函数y=-x+5,可得4=-m+5.解得m=2.∴点C(2,4).设l2的解析式为y=ax,则4=2a.解得a=2.
∴l2的解析式为y=2x.
(2)如图,过点C作CD⊥AO于点D,CE⊥BO于点E,则CD=4,CE=2.在y=-x+5中,令x=0,则y=5;令y=0,则x=10,
∴点A(10,0),B(0,5).
∴AO=10,BO=5.
∴S△AOC-S△BOC=AO·CD-BO·CE=×10×4-×5×2=20-5=15.
(3)k的值为或2或-.
6.解:(1)∵在直线l:y=kx+b中,当x=-1时,y=-2;当x=0时,y=1.
∴解得
∴直线l的解析式为y=3x+1.
(2)直线l'如图所示.
由(1)可知直线l'的解析式为y=x+3.联立,得解得
∴两直线的交点为(1,4).当x=0时,y=3,∴直线l'与y轴的交点为(0,3).
∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为.
(3)a的值为或7或.
7.解:(1)设l1的解析式为y=kx+b,把M(4,2),N(2,4)代入,
得解得
∴l1的解析式为y=-x+6.
直线l2的解析式为y=-x+15.
(2)①∵点P按照甲方式移动了m次,点P从原点O出发连续移动10次,
∴点P按照乙方式移动了(10-m)次.
∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为(2m,m).
∴点(2m,m)按照乙方式移动(10-m)次后得到的点的横坐标为2m+10-m=m+10,纵坐标为m+2(10-m)=20-m.
∴x=m+10,y=20-m.
②由于x+y=m+10+20-m=30,
∴直线l3的解析式为y=-x+30.
函数图象如图所示:
(3)a,b,c之间的关系式为5a+3c=8b.
8.B　解析:将直线y=2x+1向上平移2个单位长度后得到的新直线解析式为y=2x+1+2,即y=2x+3.
由于y=2x+3=2(x+1)+1,
∴将直线y=2x+1向左平移1个单位长度即可得到直线y=2x+3.故选B.
9.D　解析:将一次函数y=-2x+m的图象向上平移3个单位长度后得到y=-2x+m+3的图象.设点A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
∴2x2-(m+3)x-3=0.∵x1和x2是方程的两根,∴x1+x2=.又∵A,B两点关于原点对称,∴x1+x2=0,∴=0,∴m=-3.根据定义,一次函数y=-2x+m的特征数是[-2,-3].故选D.
10.B　解析:∵直线y=2x-1与直线y=kx+b(k≠0)相交于点P(2,3),
∴关于x的方程2x-1=kx+b的解是x=2.故选B.
11.x>-1　x<-3　解析:根据题图可知,当x>-1时,y=kx+b>0,当x<-3时,y=kx+b

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