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第12课时　一次函数的实际应用
考点　一次函数的实际应用
用一次函数解决实际问题的一般步骤
(1)设定实际问题中的变量.
(2)建立一次函数关系式.
(3)确定自变量的取值范围.
(4)利用函数的性质解决问题.
(5)作答.
一次函数实际应用的常见类型
(1)根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题.
(2)利用一次函数对实际问题中的方案进行比较.
(3)结合实际问题的函数图象解决实际问题.
(4)两个以上的一次函数拼接成一个分段函数,分段求函数解析式,标清自变量的取值范围,找准所求的问题在哪段.
求最值问题,即求最佳方案问题
(1)将所有求得的方案的值计算出来,再进行比较.
(2)直接利用求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解,求一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值;若是分段函数,则需要分类讨论,先计算出每个分段函数的最值,再进行比较.
解决图象型分段函数问题的一般思路
(1)找特殊点,即图象的起点、中点或转折点.
(2)根据函数图象的特征判断函数的类型,利用待定系数法求相应的函数解析式.
(3)根据题目要求解决实际问题.
① (2024·邯郸三模)珍珍的爸爸是某单位的一名销售员,他的月工资(基本工资+计件提成)总额随月销售量x(件)的变化而变化,下表是他应得工资w(元)与x之间的关系:
销售量x/件 100 110 120 130 …
月工资总额w/元 2 800+1 000 2 800+1 100 2 800+1 200 2 800+1 300 …
求珍珍爸爸的月收入不低于5 000元时应销售件数的取值范围,有如下解题方法:
方法一:
建立w与x的函数关系式:w=100x+2 800.
由w≥5 000,求得x的取值范围
方法二:
月工资因计件提成不同而不同,
5 000-2 800=2 200.
由10x≥2 200,求得x的取值范围
下列判断正确的是 (　　)
A.方法一的思路正确,函数解析式也正确
B.方法一的思路和函数解析式都不正确
C.方法二的思路正确,所列不等式也正确
D.方法二的思路和所列不等式都不正确
② (2024·龙东地区)甲、乙两货车分别从相距225 km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　km/h,乙货车的速度是　　　km/h.
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式.
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
一次函数的实际应用一般涉及:①求一次函数解析式;②选择最佳方案或方案选取;③利润最大或费用最少
求一次函 数解析式 ①文字型及表格型的应用题,一般都是根据题干中给出的数据及关系式来求一次函数解析式;②图象型的应用题,一般都是找图象上的两个点的坐标,根据待定系数法求一次函数的解析式.
选择最优 方案或方 案选取 当给定x值选取方案时,将x值代入解析式,判断y值大小;给定y值选取方案时,将y值代入解析式,判断x值大小.当x,y值均未给定时,若为两种方案的选取,则两种方案的函数关系式组成不等式,求解对应的x的取值范围;若为三种方案的选取,可画出函数图象,求出交点坐标,利用函数图象性质解答
利润最大或 费用最少 常利用一次函数的增减性,即先确定k的正负,再确定x的范围,取x的两端点的值比较大小即可
类型一　一次函数图象型实际应用
已知A,B两地相距120 km,甲车从A地驶往B地,乙车从B地以80 km/h的速度匀速驶往A地,乙车比甲车晚出发m h.设甲车行驶的时间为x(h),甲、乙两车离A地的距离分别为y1(km)、y2(km),图中线段OP表示y1与x的函数关系.
(1)甲车的速度为　　　　 km/h.
(2)若两车同时到达目的地,在图中画出y2与x的函数图象,并求甲车行驶几小时后与乙车相遇.
(3)若甲、乙两车在距A地60 km至72 km之间的某处相遇,直接写出m的取值范围.
(1)60
(2)解:∵乙车从B地以80 km/h的速度匀速驶往A地,两车同时到达目的地,
∴乙车行驶时间为120÷80=1.5(h).
∵2-1.5=0.5(h),∴乙车比甲车晚出发0.5 h.
图象CD即为y2与x的函数图象,如图所示.
由题意,得y1=60x,
设CD的函数解析式为y2=-80x+b,
将(2,0)代入y2=-80x+b,得b=160,
∴y2=-80x+160,由-80x+160=60x,得x=,
∴甲车出发后 h与乙车相遇.
(3)解:m的取值范围是解析:根据题意,得y1=60x,y2=120-80(x-m)=-80x+120+80m,由60x=-80x+120+80m,得x=+m,
当x=+m时,y1=y2=60+m.
∵甲、乙两车在距A地60 km至72 km之间的某处相遇,
∴60<60+m<72,解得∴m的取值范围是类型二　一次函数文字型实际应用
如图,小强组装了一款遥控车,并在长度为160 m的跑道AB上试验它在不同速度下的运行情况.从点A出发,先以2 m/s的速度行进了20 s,接着以3 m/s的速度行进到终点B.为记录全程,安装了拍摄设备,拍摄设备在与起点A距离40 m处的P点.设遥控车的运动时间为x(s),遥控车与拍摄点的距离为y(m).
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)求遥控车距离拍摄点10 m时的运动时间.
(3)当遥控车从点A出发时,一个机器人从拍摄点出发以a m/s的速度向点B行进,并在与点B相距15 m内(不与点B重合)被遥控车追上,直接写出a的取值范围.
(1)由题意知,当0≤x≤20时,遥控车在点A和拍摄点之间,则y=2×20-2x=-2x+40.过了拍摄点后,到达B点还需行驶时间为(160-40)÷3=40(s).
∴当20则y=3(x-20)=3x-60.
综上所述,y=
(2)将y=10代入y=-2x+40,得10=-2x+40,
解得x=15,
将y=10代入y=3x-60,得10=3x-60,
解得x=,
所以遥控车离拍摄点10 m时的运动时间为15 s或 s.
(3)解析:遥控车走到距离B点15 m处所用时间为
20+(160-40-15)÷3=20+35=55(s),
遥控车走到B点所用时间为
20+(160-40)÷3=20+40=60(s),
遥控车在距离B点15 m内追上机器人,则55a>105,且60a<120,解得∴a的取值范围为类型三　一次函数表格型实际应用
某企业接到一批订单,在160天内(含160天)生产甲、乙两种型号家具共100套,经过测试与统计,得到如下数据:
型号 制造每套家具平均用时/天 每套家具的利润/万元
甲 0.5
乙 0.8
受条件限制,两种型号的家具不能同时生产,已知该企业能如期完成生产任务,设生产甲型号家具x套,生产这100套家具的总利润为y万元.
(1)求y与x之间的函数关系式.
(2)求x为何值时,y最大,最大值是多少
(3)由于客户需要,生产乙型号家具需添加一道工序,此道工序平均每套家具所需费用为3m(m>0)万元,若y随x的增大而减小,求m的取值范围.
(1)依题意,得y=0.5x+0.8(100-x),
整理,得y=-0.3x+80,
∴y与x之间的函数关系式为y=-0.3x+80.
(2)依题意,得x+(100-x)≤160,
解得x≥16.
对于y=-0.3x+80,y随x的增大而减小,
∴当x取最小值时,y最大,
∴当x=16时,y最大,
此时y=-0.3×16+80=75.2,
∴当x=16时,y最大,最大值为75.2万元.
(3)依题意,得y=-0.3x+80-(100-x)×3m,
整理,得y=3(m-0.1)x-300m+80,
∵y随x的增大而减小,
∴3(m-0.1)<0,
解得m<0.1.
又m>0,∴m的取值范围是0命题点　一次函数的实际应用
(2023·河北)水平放置的容器内原有210 mm高的水,如图,将若干个球逐一放入该容器中,每放入一个大球水面就上升4 mm,每放入一个小球水面就上升3 mm,假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出.设水面高为y mm.
(1)只放入大球,且个数为x大,求y与x大的函数关系式(不必写出x大的范围).
(2)仅放入6个大球后,开始放入小球,且小球个数为x小.
①求y与x小的函数关系式(不必写出x小的范围);
②限定水面高不超过260 mm,最多能放入几个小球
(2023·河北)如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象,1号指挥机(看成点P)始终以 3 km/min的速度在离地面5 km高的上空匀速向右飞行,2号试飞机(看成点Q)一直保持在1号机P的正下方,2号机从原点O处沿45°仰角爬升,到4 km高的A处便立刻转为水平飞行,再过1 min到达 B 处开始沿直线 BC 降落,要求1 min后到达点C(10,3)处.
(1)求OA的h关于s的函数解析式,并直接写出2号机的爬升速度.
(2)求BC的h关于s的函数解析式,并预计2号机着陆点的坐标.
(3)通过计算说明两机距离PQ不超过3 km的时长是多少.
[注:(1)及(2)中不必写s的取值范围]
(2024·河北)长为300 m的春游队伍,以v(m/s)的速度向东行进.如图1和图2,当队伍排尾行进到位置O时,在排尾处的甲有一物品要送到排头,送到后立即返回排尾,甲的往返速度均为2v(m/s),当甲返回排尾后,他及队伍均停止行进.设排尾从位置O开始行进的时间为t(s),排头与位置O的距离为s头(m).
(1)当v=2时,解答:
①求s头与t的函数关系式(不写t的取值范围);
②当甲赶到排头位置时,求s头的值;在甲从排头返回到排尾过程中,设甲与位置O的距离为s甲(m),求s甲与t的函数关系式(不写t的取值范围).
(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围),并写出队伍在此过程中行进的路程.
图1　 图2
(2023·河北)某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如下表:
项目 第1个 第2个 第3个 第4个 … 第n个
调整前的单价x/元 x1 x2=6 x3=72 x4 … xn
调整后的单价y/元 y1 y2=4 y3=59 y4 … yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围.
(2)某个玩具调整前的单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为,,猜想与的关系式,并写出推导过程.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
对应练习
1.C　解析:观察表格可知w=10x+2 800,∵珍珍爸爸的月收入不低于5 000元,∴w≥5 000,则10x+2 800≥5 000,即10x≥2 200,∴方法一的思路正确,函数解析式错误,方法二的思路正确,所列不等式也正确.故选C.
2.解:(1)30　40
解析:由题图可知甲货车到达配货站路程为105 km,所用时间为3.5 h,∴甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30(km/h).
∵乙货车到达配货站的路程为225-105=120(km),到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,总路程为240 km,总时间是6 h,
∴乙货车速度为240÷6=40(km/h).
(2)由题意,得E(4,105),F(5.5,225).
设yEF=kx+b(4≤x≤5.5),
∴
解得
∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解析式为y=80x-215(4≤x≤5.5).
(3)经过 h或 h或5 h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.
解析:设甲货车出发x h,甲、乙两货车与配货站的距离相等,
①当两车到达配货站之前时,105-30x=120-40x,
解得x=.
②当乙货车到达配货站时开始返回,甲货车未到达配货站时,105-30x=40x-120,
解得x=.
③当甲货车在配货站卸货后驶往B地时,80x-215-105=40x-120,
解得x=5.
故经过 h或 h或5 h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.
河北中考·真题体验
1.解:(1)根据题意,得y=4x大+210.
(2)①当x大=6时,y=4×6+210=234,∴y=3x小+234.
②依题意,得3x小+234≤260,
解得x小≤8,∵x小为自然数,∴x小最大为8,即最多能放入8个小球.
2.解:(1)∵2号机爬升角度为45°,
∴OA上的点的横、纵坐标相同,∴点A(4,4).设OA的解析式为h=ks,
∴4k=4,∴k=1.
∴OA的解析式为h=s.
2号机的爬升速度为3 km/min.
(2)设BC的解析式为h=ms+n.
由题意,得点B(7,4),C(10,3).
∴解得
∴BC的解析式为h=-s+.
令h=0,则s=19.
∴预计2号机着陆点的坐标为(19,0).
(3)∵PQ不超过3 km,∴5-h≤3.∴PQ=
解得2≤s≤13.
∴两机距离PQ不超过3 km的时长为(13-2)÷3=(min).
3.解:(1)①排尾从位置O开始行进的时间为t(s),则排头也离开原排头t(s),∴s头=2t+300.
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷(2v-v)=300÷v=300÷2=150(s),此时s头=2t+300=600 m,甲返回时间为(t-150)s,∴s甲=s头-s甲回=600-4(t-150)=-4t+1 200.∴在甲从排头返回到排尾过程中,s甲与t的函数关系式为s甲=-4t+1 200.
(2)T=t追及+t返回=+,在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为·v=400(m).
4.解:(1)设y=kx+b.由题意得x=6时,y=4;x=72时,y=59.
∴解得
∴y与x的函数关系式为y=x-1.
∵这n个玩具调整后的单价都大于2元,
∴x-1>2,解得x>.
∴x的取值范围是x>.
(2)将x=108代入y=x-1,
得y=×108-1=89,∴108-89=19(元).
∴顾客购买这个玩具省了19元.
(3)-1.推导过程:由(1)得
y1=x1-1,y2=x2-1,…,yn=xn-1,
∴(y1+y2+…+yn)=x1-1+x2-1+…+xn-1=(x1+x2+…+xn)-n=-1=-1.

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