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第13课时　反比例函数及其应用
考点一　反比例函数的图象与性质
定义:一般地,形如y=(k为常数,k≠0)的函数,叫做反比例函数.
反比例函数图象上点的横、纵坐标之积恒为k,用来判断某个点是否在已知函数图象上或判断两个点是否在同一个函数图象上.
反比例函数的图象与性质
解析式 y=(k为常数,k≠0)
k k①　　　　0 k②　　　　0
图象 (草图)
所在 象限 第③　　　象限(x,y同号) 第④　　　 象限(x,y异号)
增减性 在每一个象限内,y随x的增大而⑤　　　 在每一个象限内,y随x的增大而⑥　　　
对称性 关于直线y=x,y=-x成轴对称;关于原点成中心对称. 注:因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称,故在同一直角坐标系中,正比例函数与反比例函数的图象若有交点,则两个交点关于原点对称
① 反比例函数y=的图象如图所示,给出以下结论:
(1)常数k的取值范围是　　　　.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而　　　　.
(3)若点A(-1,a)和A'(1,b)都在该函数的图象上,则a与b的关系是　　　　.
(4)若点B(-2,h),C(-1,m),D(3,n)在该函数的图象上,则h,m,n的大小关系是　　　　(用“<”号连接).
考点二　反比例函数中比例系数k的几何意义
k的几何意义:如图,过双曲线y=(k为常数,k≠0)上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得矩形PMON的面积S=|xy|=⑦　　　　.
反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象中有关图形面积的常见类型
S△AOP=⑧　　　　　 S△OBP=⑨　　　　
S△ABP=⑩　　　　　 S△APP'=　　　　
S△ABC=　　　　　 S ABCD=　　　　
② 如图,四个都是反比例函数y=的图象.其中阴影部分面积为6的个数是(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
③ 如图,在平面直角坐标系中,直线l∥x轴,且直线l分别与反比例函数y=(x>0)和y=-(x<0)的图象交于点P,Q,连接PO,QO,则△POQ的面积为　　　　.
④ 如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上,有点P1,P2,P3,P4,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,则S1+S2+S3=　　　　.
考点三　反比例函数解析式的确定
待定系数法
(1)设所求反比例函数的解析式为y=(k≠0).
(2)找出图象上的一点P(a,b)代入y=中.
(3)确定反比例函数的解析式y=.
利用k的几何意义:题中已知面积时,考虑用k的几何意义,由面积得|k|,再结合图象所在象限判断k的正负,从而得出k的值,代入解析式即可.
⑤ 若反比例函数y=的图象经过点(2,-4),则该反比例函数的解析式为　　　　;若反比例函数y=的图象上有一点P,过点P作PA⊥x轴于点A,连接OP,且△POA的面积是5,则k=　　　　.
考点四　反比例函数与一次函数、几何图形的综合
　　反比例函数常和一次函数、三角形、四边形等联系起来综合考查,比如用点的坐标表示线段的长度,结合几何图形的特征列方程,求出点的坐标,进而求出函数解析式,或用点的坐标表示线段的长度来探究几何图形的某些特征.
⑥ (冀教九上P144C组T2变式)如图,反比例函数y=-与一次函数y=-x+2的图象相交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)求△AOB的面积.
(3)观察图象,直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围.
(4)在x轴上是否存在一点C,使△AOB的面积等于△AOC的面积 若存在,求出点C坐标;若不存在,请说明理由.
(5)在x轴上是否存在一点E,使△ADE的周长最小 若存在,求出点E坐标;若不存在,请说明理由.
(6)在y轴上是否存在一点P,使△AOP是等腰三角形 若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
(7)在x轴上是否存在一点Q,使△AOQ是直角三角形 若存在,求出Q坐标;若不存在,请说明理由.
考点五　反比例函数的实际应用
常见的反比例函数关系
(1)行程问题:速度=.
(2)工程问题:工作效率=.
(3)压强问题:压强=.
(4)电学问题:电阻=.
步骤
(1)根据实际情况建立反比例函数模型.
(2)确定函数解析式.
(3)根据反比例函数的性质解决实际问题.
注意:在实际问题中,求出解析式后要注意自变量和函数值的取值范围.
⑦ (人教九下P18变式)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,下列说法中不正确的是 (　　)
A.函数解析式为I= B.蓄电池的电压是60 V
C.当R=6 Ω时,I=8 A D.当I≤10 A时,R≥6 Ω
⑧ 某标准游泳池的尺寸为长50 m,宽25 m,深3 m,游泳池蓄水能游泳时,水深不低于1.8 m.
(1)该游泳池能游泳时,最低蓄水量是多少立方米
(2)游泳池的排水管每小时排水x m3,那么将游泳池最低蓄水量排完用了y h.
①写出y与x的函数关系式;
②当x=225时,求y的值;
③如果增加排水管,使每小时排水量达到s m3,则时间y会　　　　(选填“增大”或“减小”);
④在②的情况下,如果最低蓄水量排完不超过5 h,每小时排水量最少增加多少立方米
(多维设问)已知反比例函数y=(k为常数,k≠1).
(1)若在其图象的每一支上,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
(2)若其图象的一支位于第二象限,在这一支上任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),当y1>y2时,试比较x1与x2的大小.
(3)若在其图象上任取一点,向x轴和y轴作垂线,若所得矩形面积为6,求k的值.
(4)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P,若点P的纵坐标是2,求k的值.
(5)其中k> -1,且k≠0,1≤x≤2,若该函数的最大值与最小值的差是1,求k的值.
(1)∵在反比例函数y=图象的每一支上,y随x的增大而减小,∴k-1>0,解得k>1.
(2)∵反比例函数y=图象的一支位于第二象限,
∴在该函数图象的每一支上,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在该函数的第二象限的图象上,且y1>y2,∴x1>x2.
(3)∵在其图象上任取一点,向两坐标轴作垂线,得到的矩形面积为6,∴|k-1|=6,解得k=7或k=-5.
(4)由题意,设点P的坐标为(m,2).
∵点P在正比例函数y=x的图象上,∴2=m,∴点P的坐标为(2,2).∵点P在反比例函数y=的图象上,∴2=,解得k=5.
(5)当-1解得k=-1,不合题意,舍去;
当k>1时,在1≤x≤2范围内,y随x的增大而减小,
∴k-1-=1,解得k=3.∴k的值为3.
命题点一　反比例函数的图象与性质
(2024·河北模拟)已知(m+3)>1,则函数y=-的图象大致是 (　　)
A B C D
(2022·河北)定义新运算:a b=例如:4 5=,4 (-5)=,则函数y=2 x(x≠0)的图象大致是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值:　　　　.
(2023·河北)如图是8个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m为1~8的整数),函数y=(x<0)的图象为曲线L.
(1)若L过点 T1,则k=　　　　.
(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m=　　　　.
(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有　　　　个.
(2023·河北)用绘图软件绘制双曲线m:y=与动直线l:y=a,且交于一点,图1为a=8时的视窗情形.
图1 图2
(1)当a=15时,l与m的交点坐标为　　　　.
(2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心.
例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图1
中坐标系的单位长度变为原来的,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如图2).
当a=-1.2和a=-1.5时,l与m的交点分别是点A和B,为能看到m在点A和B之间的一整段图象,需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的,则整数k=　　　　.
命题点二　反比例函数的实际应用
(2023·河北)一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x=2时,y=20,则y与x的函数图象大致是 (　　)
A B C D
(2024·河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是(　　)
A.若x=5,则y=100
B.若y=125,则x=4
C.若x减小,则y也减小
D.若x减小一半,则y增大一倍
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①>　②<　③一、三　④二、四
⑤减小　⑥增大　⑦|k|　⑧　⑨　⑩　2|k|　|k|　|k|
对应练习
1.(1)k>-1　(2)减小　(3)a+b=0　(4)m解析:(1)∵图象位于第一、三象限,
∴k+1>0,解得k>-1.
(2)在每一个象限内,y随x的增大而减小.
(3)若点A(-1,a)和A'(1,b)都在该函数的图象上,则-a=b,即a+b=0.
(4)若点B(-2,h),C(-1,m),D(3,n)在该函数的图象上,则m2.B　解析:第一个阴影部分的面积为6;第二个阴影部分的面积为3;第三个阴影部分的面积为6;第四个阴影部分的面积为12.故选B.
3.7　解析:如图,∵直线l∥x轴,
∴S△OQM=×|-8|=4,S△OPM=×6=3,
∴S△POQ=S△OQM+S△OPM=7.
4.　解析:由题意,可知点P1,P2,P3,P4坐标分别为(1,2),(2,1),3,,4,.
∵题图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的矩形面积减去最下方的矩形的面积,
∴S1+S2+S3=1×2-×1=.
5.y=-　±10　解析:将(2,-4)代入y=,得-4=,解得k=-8,故该反比例函数的解析式为y=-;
根据k的几何意义可知,|k|=5,
∴k=±10.
6.解:(1)联立
解得
∴A(-2,4),B(4,-2).
(2)y=-x+2中,当x=0时,y=-0+2=2,
∴点D的坐标为(0,2),
∴OD=2,
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=×2×2+×2×4=2+4=6.
(3)x<-2或0(4)存在,∵S△AOC=S△AOB=6,
∴×OC×4=6,
∴OC=3,
∴点C的坐标为(3,0)或(-3,0).
(5)存在,如图1,作点D关于x轴对称的点D'(0,-2),连接AD',交x轴于点E,连接DE,
图1
∴DE=D'E.
∵△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+D'E,AD为定值,
∴当AE+D'E有最小值时,△ADE的周长有最小值,
∴当点A,点D',点E共线时,AE+D'E有最小值.
∵点A(-2,4),点D'(0,-2),
∴直线AD'的解析式为y=-3x-2,
当y=0时,x=-,
∴点E的坐标为-,0.
(6)存在,∵点A(-2,4),点O(0,0),
∴AO=2.
当AO=OP=2时,则点P(0,2)或(0,-2);
当AO=AP时,则点A在OP的垂直平分线上,
∴点P(0,8);
当AP=OP时,
如图2,过点A作AH⊥y轴于点H,
图2
∴AH=2,OH=4.
∵AP2=AH2+PH2,
∴OP2=4+(4-OP)2,
∴OP=,
∴点P0,,
综上所述,点P坐标为(0,2)或(0,-2)或(0,8)或0,.
(7)存在,如图3,
图3
当∠AQO=90°时,则AQ⊥x轴,
∴AQ=4,OQ=2,
∴点Q(-2,0);
当∠Q'AO=90°时,
∴∠Q'AO=∠AQO=∠AQQ'=90°,
∴∠AOQ+∠QAO=90°=∠QAO+∠Q'AQ,
∴∠Q'AQ=∠AOQ,
∴△AQQ'∽△OQA,
∴,
∴16=2QQ',
∴QQ'=8,
∴OQ'=10,
∴点Q'(-10,0),
综上所述,点Q的坐标(-2,0)或(-10,0).
7.C　解析:设I=,
∵题图过点(5,12),
∴k=60,
∴I=,
∴蓄电池的电压是60 V,
∴A,B正确,不符合题意;
当R=6 Ω时,I==10(A),
∴C错误,符合题意;
当I=10时,R=6,
结合题图知,当I≤10 A时,R≥6 Ω,
∴D正确,不符合题意.故选C.
8.解:(1)蓄水池的最低蓄水量是50×25×1.8=2 250(m3).
(2)①∵xy=2 250,∴y与x成反比例关系,
∴y与x之间的函数关系式为y=.
②当x=225时,y==10.
③减小
④y=≤5,
解得x≥450,
即每小时的排水量至少为450 m3,
∴450-225=225(m3),
∴每小时排水量最少增加225 m3.
河北中考·真题体验
1.C　解析:(m+3)>1,解得m>0,∴y=-的图象分布于第二、四象限.故选C.
2.D　解析:2 x=故选D.
3.D　解析:抛物线y=-x2+3,当y=0时,x=±;当x=0时,y=3,则抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1),(0,1),(0,2),(1,1),共有4个,∴k=4.∴反比例函数解析式为y=.故只有D符合.故选D.
4.k=4(答案不唯一)　解析:由题图可知k>0,
∵反比例函数y=(k>0)的图象与线段AB有交点,且点A(3,3),B(3,1),
∴把B (3,1)代入y=,得k=3,
把A(3,3)代入y=,得k=3×3=9,
∴满足条件的k值的取值范围是3≤k≤9的整数,
故k=4(答案不唯一).
5.(1)-16　(2)5　(3)7　解析:∵每个台阶的高和宽分别是1和2,∴点T1(-16,1),T2(-14,2),T3(-12,3),T4(-10,4),T5(-8,5),T6(-6,6),T7(-4,7),T8(-2,8).
(1)∵L过点T1,∴k=-16×1=-16.
(2)∵L过点T4,∴k=-10×4=-40.∴反比例函数解析式为y=-.当x=-8时,y=5,∴点T5在反比例函数图象上,∴m=5.
(3)若曲线L过点T1(-16,1),T8(-2,8)时,k=-16,若曲线L过点T2(-14,2),T7(-4,7)时,k=-14×2=-28,若曲线L过点T3(-12,3),T6(-6,6)时,k=-12×3=-36,若曲线L过点T4(-10,4),T5(-8,5)时,k=-40,∵曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,
∴-36-35,-34,-33,-32,-31,-30,-29,共7个.
6.(1)(4,15)　(2)4　解析:(1)a=15时,y=15,由y=,当y=15时,得x=4,即当a=15时,l与m的交点坐标为(4,15).
(2)由y=,当a=-1.2,即y=-1.2时,得x=-50,
∴A点坐标为(-50,-1.2),
由y=,当a=-1.5,即y=-1.5时,得x=-40,∴B点坐标为(-40,-1.5).为能看到m在点A(-50,-1.2)和B(-40,-1.5)之间的一整段图象,需要将题图1中坐标系的单位长度至少变为原来的.∴整数k=4.
7.C　解析:设y=(k≠0).∵当x=2时,y=20,∴k=2×20=40,∴y=.∴y与x的函数图象是双曲线的一支(在第一象限)且过点(1,40).故选C.
8.C　解析:由题意,得y=.
A.若x=5,则y==100,正确,故此选项不符合题意;
B.若y=125,则125=,解得x=4,正确,故此选项不符合题意;
C.若x减小,则y增大,原说法错误,故此选项符合题意;
D.若x减小一半,即y'=,所以y增大一倍,正确,故此选项不符合题意.故选C.

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