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第14课时　二次函数的图象与性质
考点一　二次函数的定义
　　一般地,形如①　　　　　　(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数,其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
考点二　二次函数的图象与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向②　　　 开口向③　　　
对称轴 直线x=④　　　
顶点坐标 ⑤　　　　　　　
最值 抛物线有最低点,当x=-时,y有最小值,最小值为 抛物线有最高点,当x=-时,y有最大值,最大值为
增 减 性 在对称轴左侧 当x<-时,y随x的增大而⑥　　　 当x<-时,y随x的增大而⑦　　　
在对称轴右侧 当x>-时,y随x的增大而⑧　　　 当x>-时,y随x的增大而⑨　　　
① (冀教九下P38A组T2变式)已知二次函数y=x2-2x-3 ,回答下列问题:
(1)该二次函数的图象开口向　　　　,对称轴为　　　　;函数有最　　　　(填“大”或“小”)值,其值为　　　　.
(2)该二次函数图象与x轴的交点坐标为　　　　　,与y轴的交点坐标为　　　　.
(3)当-1≤x≤2 时,y的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
(4)已知点A(m,n)是抛物线上一点.
①若点A关于对称轴对称的点为B,且点B的坐标为(6,21),则点A的坐标为　　　　;
②若点A到对称轴的距离为4,则点A的坐标为　　　　;
③当n=3时,满足条件的点A有　　　　个.
(5)若点(-,y1),(,y2),(2,y3)在该函数图象上,则y1,y2,y3的大小关系为　　　　.
(6)若(4,y1),(m,y2)是抛物线上不同的两点,且y2=y1-8,则m的值为　　　　.
考点三　二次函数的图象与系数a,b,c的关系
a 决定抛物线开口方向及开口大小 a>0,抛物线开口向上; a<0,抛物线开口向下; |a|越大,抛物线开口越小; |a|越小,抛物线开口越大
a,b 决定抛物线对称轴直线x=-的位置 b=0,对称轴为y轴; ->0,对称轴在y轴右侧; -<0,对称轴在y轴左侧
c 决定抛物线与y轴交点的位置 c=0,抛物线过原点; c>0,抛物线与y轴交于正半轴; c<0,抛物线与y轴交于负半轴
b2- 4ac 决定抛物线与 x轴的交点个数 b2-4ac=0,抛物线与x轴有唯一交点; b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个不相同的交点; b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点
特殊 关系 当x=1时,y=a+b+c; 当x=-1时,y=a-b+c
若a+b+c>0,则当x=1时,y>0; 若a-b+c>0,则当x=-1时,y>0
② 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,其对称轴为直线x=1,且与x轴交于点(-1,0).分析判断下列结论,用“>”“<”或“=”填空.
(1)a　　　　0,b　　　　0,c　　　　0,abc　　　　0.
(2)b2-4ac　　　　0.
(3)2a+b　　　　0.
(4)a-b+c　　　　0.
(5)4a+2b+c　　　　0.
(6)9a+3b+c　　　　0.
(7)2c-a　　　　0.
(8)3a+c　　　　0.
(9)8a+c　　　　0.
考点四　二次函数图象的平移
平移的方法步骤
(1)平移二次函数图象前,一般将其解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标.
(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点(h,k).
平移规律
平移前的 解析式 平移方向 平移后的解析式 规律 总结
y=a(x- h)2+k 向左平移m个单位长度(m>0) y=a(x-h+m)2+k 左加 左右平移时,是给平方里面加减;上下平移时,是给k值后面加减　
向右平移m个单位长度(m>0) y=a(x-h-m)2+k 右减
向上平移m个单位长度(m>0) y=a(x-h)2+k+m 上加
向下平移m个单位长度(m>0) y=a(x-h)2+k-m 下减
对称性
对称轴为直线x=.(x1,x2表示抛物线上关于对称轴对称的任意两点的横坐标)
③ 已知抛物线C1:y=2x2.
(1)若将抛物线C1向右平移3个单位长度,得到抛物线C2,请在图中画出抛物线C2.
(2)若将抛物线C1先向上平移2个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到抛物线C3,求抛物线C3的解析式.
(3)若将抛物线C1平移后得到的新抛物线C4的顶点坐标为(-2,-1),则平移方式为　 .
(4)若将抛物线C1先向下平移3个单位长度,再向右平移m(m>0)个单位长度,得到的新抛物线C5经过点(1,5),求m的值.
(5)若将抛物线C1先向上平移1个单位长度,再向右平移n(n>0)个单位长度,得到抛物线C6,且抛物线C6的顶点在抛物线C1上,求n的值.
考点五　二次函数解析式的确定
待定系数法
(1)三种解析式的适用条件
已知条件 选用解析式的形式 形式
已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 y=ax2+bx+c(a≠0)
已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最大(小)值 一般选用顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是抛物线的顶点坐标
已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标 一般选用交点式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标
(2)用待定系数法求二次函数解析式的步骤:
①设出合适的二次函数解析式;
②根据已知条件,得到关于待定系数的方程(组);
③解方程(组),求出待定系数的值,从而写出二次函数解析式.
根据图象变换求函数解析式的方法
(1)将已知解析式化为顶点式.
(2)根据下表求出变化后的a,h,k.
y=a(x-h)2+k a 顶点(h,k)
平移变换 左右或上下平移　 不变 变
轴对称 变化 x轴 相反数 (h,-k)
y轴 不变 (-h,k)
旋转 变换 绕顶点(180°) 相反数 (h,k)
绕原点(180°) 相反数 (-h,-k)
(3)将变化后的a,h,k代入顶点式中即可得到变化后的函数解析式.
④ 求下列二次函数的解析式:
(1)把抛物线y=x2先向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的新抛物线的解析式为　　　　　　　.
(2)已知二次函数的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,-3),则这个二次函数的解析式为　　　　　　　　.
(3)顶点是点M(-2,1),且图象经过原点的二次函数的解析式是　　　　　　　　　.
(4)如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的解析式是　　　　　　　　　　　　　　　　.
(5)将抛物线y=x2-6x+7沿y轴翻折,所得抛物线的解析式是　　　　　　　　.
(6)将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线的解析式为　　　　　　　.
考点六　二次函数与一元二次方程、不等式的关系
二次函数与一元二次方程的关系
(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是　　　　,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根.
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种:
当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有　　　　　　交点;方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根;
当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有　　　　　　交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根;
当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0　　　　实数根.
二次函数与不等式的关系
ax2+bx+c>0的解集:函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围.
ax2+bx+c<0的解集:函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围.
⑤ 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)的顶点坐标为(1,3),与x轴的一个交点在(-2,0)和(-1,0)之间,其部分图象如图所示.
(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是　　　　　　　　　.
(2)若抛物线经过点(-2,t),则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-t=0(a≠0)的两根分别为　　　　　　.
(3)若一元二次方程ax2+bx+c=m没有实数根,则m的取值范围为　　　　.
已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若该抛物线经过点(2,n),(4,n),则其对称轴为直线　　　　.
(2)已知抛物线的解析式为y=-x2-4x+c.
①抛物线的对称轴为直线　　　　;
②当x>-3时,y有最　　　　值;当x<-3时,y随x的增大而　　　　;
③当-1≤x≤2时,函数的最小值为1,则c的值为　　　　;
④若抛物线经过点(-5,2),则当y=2时,x=　　　　;当y>2时,x的取值范围为　　　　;
⑤若(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线上的点,则y1,y2,y3的大小关系为 　 　　　;
⑥若P(-5,y1),Q(m,y2)是抛物线上两点,且y1>y2,则实数m的取值范围是　 .
(3)已知该抛物线是由抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的.
①该抛物线的解析式为　　　　　　　　　　;
②保持该抛物线的位置不动,将坐标轴先向下平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度,则原抛物线的解析式变为　　　　　　　　;
③该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　;
④该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　;
⑤该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为　　　　　　　　;
⑥将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,与原图象在x轴上方的部分组成的图象记为W,则:
a.直线y=0与图象W有　　　　个交点;
b.当直线y=d与图象W有3个交点时,d的值为　　　　;
c.当直线y=d与图象W有4个交点时,d的取值范围为　　　　;
d.当直线y=d与图象W有2个交点时,d的取值范围为　　　　.
(4)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　　　.(填序号)
①　 ②　 ③　 ④
(5)若抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+b交于点(-2,m),(4,n),则:
①m,n的大小关系为　　　　;
②关于x的方程-x2+bx+c=x+b的解为　　　　;
③关于x的不等式x2-bx-c<-x-b的解集为　　　　.
(1)x=3
(2)①x=-2　②大　增大　③13
④1或-5　-5y1>y3
⑥m<-5或m>1
解析:①x=-=-=-2.
③在 -1≤x≤2 范围内,当x=2时函数有最小值,∴-22-4×2+c=1,解得c=13.
④∵抛物线经过点(-5,2),
∴将点(-5,2)代入y=-x2-4x+c,得2=-(-5)2-4×(-5)+c,解得c=7,
∴抛物线的解析式为y=-x2-4x+7,
将y=2代入,得2=-x2-4x+7,
解得x1=1,x2=-5.
当y>2时,x的取值范围为-5⑤由①可知,对称轴为直线x=-2,
∵a<0,离对称轴越远函数值越小,
∴y2>y1>y3.
(3)①y=2(x+1)2-3　②y=2(x+3)2-2
③y=-2(x+1)2+3　④y=2(x-1)2-3
⑤y=-2(x-1)2+3
⑥a.2　b.3　c.03或d=0　
解析:①由平移规律可知,抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移4个单位长度得到的解析式为y=2(x+1)2-3.
②该抛物线的顶点坐标为(-1,-3),若抛物线的坐标轴向下平移1个单位长度,向右平移2个单位长度,平移后抛物线的顶点坐标为(-3,-2),
∴原抛物线的解析式变为y=2(x+3)2-2.
③该抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为-y=2(x+1)2-3,故y=-2(x+1)2+3.
④该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为y=2(-x+1)2-3,即y=2(x-1)2-3.
⑤该抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为-y=2(-x+1)2-3,故y=-2(x-1)2+3.
⑥将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后的图象W如图所示,由图象可知:
a.直线y=0与图象W有2个交点.
b.当y=d的直线与图象W有3个交点时,即过抛物线的顶点,∴d=3.
c.当y=d的直线与图象W有4个交点时,0d.当y=d的直线与图象W有2个交点时,d>3或d=0.
(4)③
(5)①n>m　②x1=-2,x2=4　③-2解析:②方程-x2+bx+c=x+b的解是抛物线y1=-x2+bx+c与直线y2=x+b的交点的横坐标,∴x1=-2,x2=4.
③求不等式x2-bx-c<-x-b的解集即求抛物线y1=-x2+bx+c位于直线y2=x+b上方时x的取值范围,当y1>y2时,x的取值范围为-2求抛物线的对称轴的方法
1.公式法:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-.
2.配方法:将抛物线的解析式配方成顶点式y=a(x-h)2+k,对称轴为直线x=h.
3.根据对称性求解:若抛物线上两点的纵坐标相等,则说明这两点是关于抛物线的对称轴对称的,对称轴是这两点连线的垂直平分线,即若抛物线过点(x1,n),(x2,n),则对称轴为直线x=.
利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
1.代入比较法:若已知二次函数的解析式,可将各点的横坐标代入解析式,求出各点的纵坐标,进而比较大小.
2.增减性比较法:利用二次函数图象的对称性,将已知点转化到对称轴的同侧,再利用二次函数的增减性比较大小.
3.距离比较法:根据点到对称轴的距离比较大小,具体如下,
对于二次函数y=ax2+bx+c:
①当a>0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图1;
②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图2.
d1y2>y3
图1　　　　　 图2
确定平移后抛物线的解析式的方法
1.平移顶点法
(1)将抛物线的解析式化成顶点式y=a(x-h)2+k,得到顶点坐标(h,k).
(2)将点(h,k)平移,得到平移后抛物线的顶点.
(3)利用顶点式的求法确定平移后抛物线的解析式.
2.平移任意两点法
先求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式.
3.直接法
针对一般式,直接进行“左加右减自变量,上加下减常数项”.如将抛物线y=ax2+bx向右平移h(h>0)个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+b(x-h);向下平移k(k >0)个单位长度,得到抛物线y=ax2+bx-k.
命题点一　二次函数的图象与性质
(2023·河北)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下,甲:若b=5,则点 P的个数为0;乙:若b=4,则点 P的个数为1;丙:若 b=3,则点 P的个数为1.下列判断正确的是(　　)
A.乙错,丙对 B.甲和乙都错
C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
(2024·河北)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则 (　　)
A.甲的结果正确
B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确
D.甲、乙的结果合在一起也不正确
(2023·河北)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为 (　　)
A.2 B.m2 C.4 D.2m2
命题点二　二次函数的应用
(2024·河北)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.
(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值.
(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为点P',C'.平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.
(2022·河北)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点,抛物线l的解析式为 y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).
(1)若n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点.
(2)若n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上.
(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.
(2023·河北)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.
(1)若l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标.
(2)设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值,此时l上有(x1,y1),(x2,y2)两点,其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小.
(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.
命题点三　二次函数与其他函数结合
(2023·河北)如图,抛物线L:y=-(x-t)(x-t+4)(常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴交双曲线y=(k>0,x>0)于点P,且OA·MP=12.
(1)求k的值.
(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L的对称轴之间的距离.
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标.
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.
(2024·河北)如图,抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q.抛物线C2:y=-(x-t)2+t2-2(其中t为常数,且t>2),顶点为P.
(1)直接写出a的值和点Q的坐标.
(2)嘉嘉说:无论t为何值,将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上.
淇淇说:无论t为何值,C2总经过一个定点.
请选择其中一人的说法进行说理.
(3)当t=4时,
①求直线PQ的解析式;
②作直线l∥PQ,当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时,求l与x轴交点的横坐标.
(4)设C1与C2的交点A,B的横坐标分别为xA,xB,且xA【详解答案】
教材考点·深度梳理
①y=ax2+bx+c　②上　③下　④-　⑤　⑥减小
⑦增大　⑧增大　⑨减小　⑩0　两个不同的　且只有一个　无
对应练习
1.(1)上　直线x=1　小　-4
(2)(-1,0),(3,0)　(0,-3)
(3)0　-4
(4)①(-4,21)　②(-3,12)或(5,12)
③2
(5)y1>y3>y2
(6)0或2
2.(1)<　>　>　<　(2)>　(3)=
(4)=　(5)>　(6)=　(7)>
(8)=　(9)<
解析:(1)由题图可知,抛物线开口向下,a<0,与y轴交于正半轴,c>0,
∵-=1>0,∴b>0,∴abc<0.
(2)∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0.
(3)∵-=1,∴2a+b=0.
(4)当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0.
(5)x=2时,y>0,∴4a+2b+c>0.
(6)x=3时,y=0,
∴9a+3b+c=0.
(7)∵a+b+c>0, b=-2a,
∴a-2a+c>0,即c-a>0,
∵c>0,∴2c-a>0.
(8)∵a-b+c=0,b=-2a,
∴3a+c=0.
(9)x=-2时,4a-2b+c<0,
∵b=-2a,
∴4a+4a+c<0,即8a+c< 0.
3.解:(1)画出抛物线C2如图所示.
(2)抛物线C3的解析式为y=2(x+1)2+2.
(3)抛物线C1先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度
(4)∵抛物线C1 的解析式为y=2x2,
∴抛物线C1先向下平移3个单位长度,再向右平移m(m>0)个单位长度,得到的新抛物线C5为y=2(x-m)2-3.
将(1,5)代入,得5=2(1-m)2-3,解得m=3或m=-1(不合题意,舍去),
故m=3.
(5)∵抛物线C1的解析式为y=2x2,
∴抛物线C1先向上平移1个单位长度,再向右平移n(n>0)个单位长度,得到的新抛物线C6为y=2(x-n)2+1,
∴其顶点坐标为(n,1).
∵抛物线C6的顶点在抛物线C1上,
∴1=2n2,解得n=或n=-(不合题意,舍去),
故n的值为.
4.(1)y=(x+2)2-3
(2)y=x2-2x-3
(3)y=-(x+2)2+1
(4)y=-x2+x+2或y=x2-x-2
(5)y=x2+6x+7
(6)y=-x2-1
5.(1)有两个不相等的实数根
(2)x1=-2,x2=4　(3)m>3
解析:(1)由题图可知,y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
(2)由题意可设y=a(x-1)2+3.
将(-2,t)代入y=a(x-1)2+3,得9a+3=t,∴a=.
∵ax2+bx+c-t=0,
∴方程为(x-1)2+3-t=0,
解得x1=-2,x2=4.
(3)∵抛物线的顶点坐标为(1,3),
要使ax2+bx+c=m没有实数根,即抛物线y=ax2+bx+c向下平移m个单位长度与x轴没交点,
∴m>3.
河北中考·真题体验
1.C　解析:y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴抛物线的顶点坐标为(2,4),∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4,∴甲、乙的说法正确.若b=3,则抛物线上纵坐标为3的点有2个,∴丙的说法不正确.故选C.
2.D　解析:∵抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点,
∴①抛物线与直线相切,联立解析式
得x2-2x+2-c=0,
Δ=(-2)2-4(2-c)=0,解得c=1;
②抛物线与直线不相切,但在0≤x≤3上只有一个交点,此时两个临界值分别为(0,2)和(3,5),易得23.A　解析:令-x2+m2x=0,解得x=0或x=m2,
令x2-m2=0,解得x=-m或x=m.
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,
∴m=-2或m=2.
∵抛物线y=x2-m2的对称轴为直线x=0,抛物线y=-x2+m2x的对称轴为直线x=,
∴这两个函数图象对称轴之间的距离为2.故选A.
4.解:(1)∵抛物线C:y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴抛物线的顶点为Q(6,4),抛物线的对称轴为直线x=6,y的最大值为4.将点P(a,3)代入抛物线C,得3=-(a-6)2+4.
∴a=5或7.∵点P在对称轴的右侧,∴a>6.∴a=7.
(2)∵平移后得到的抛物线的解析式为y=-x2+6x-9=-(x-3)2,
∴平移后抛物线的顶点坐标为Q'(3,0).∵平移前抛物线的顶点坐标为Q(6,4),∴点P'移动的最短路程为QQ'==5.
5.解:(1)∵n为奇数,∴y=-x2+bx+c.
∵点H(0,1)和C(2,1)在抛物线上,
∴解得
格点E是该抛物线的顶点.
(2)∵n为偶数,
∴y=x2+bx+c.
∵点A(1,0)和B(2,0)在抛物线上,
∴解得
∴y=x2-3x+2.
当x=0时,y=2≠1,∴点F(0,2)在该抛物线上,而点H(0,1)不在这条抛物线上.
(3)所有满足条件的抛物线共有8条.
6.解:(1)把点B的坐标(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1.解得h=2.
∴该抛物线的解析式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3),故抛物线l的对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).
(2)∵点C的横坐标为0,∴yc=-h2+1.∴当h=0时,yc有最大值1.此时,抛物线l为y=-x2+1,对称轴为y轴,开口方向向下,当x≥0时,y随x的增大而减小.当x1>x2≥0时,y1(3)∵线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4,点O(0,0),A(-5,0),
∴把线段OA分为两部分的点的坐标是(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0 代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-1-h)2+1,解得h1=0,h2=-2.但是当h=-2时,抛物线为y=-(x+2)2+1,线段OA被抛物线l分为三部分,不合题意,舍去.同理,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-4-h)2+1,解得h=-5或h=-3(不合题意,舍去).综上所述,h的值是0或-5.
7.解:(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M可知OA=2x,代入OA·MP=12,
得2x·y=12,即xy=6,
∴k=xy=6.
(2)当t=1时,令y=0,0=-(x-1)(x+3),
解得x=1或x=-3.
∵点B在点A左边,
∴B(-3,0),A(1,0),
∴AB=4,L的对称轴是直线x=-1,且M为,0,
∴直线MP与L的对称轴之间的距离为.
(3)∵A(t,0),B(t-4,0),
∴L的对称轴为直线x=t-2,OM的长为.
当t-2≤,即t≤4时,顶点(t-2,2)就是图象G的最高点坐标;
当t>4时,L与MP的交点,-t2+t就是图象G的最高点坐标.
(4)5≤t≤8-或7≤t≤8+.
解析:设L与双曲线的交点的纵坐标为y0,对于双曲线,当4≤x0≤6时,1≤y0≤,即L与双曲线在C4,,D(6,1)之间的一段有个交点.
①由=-(4-t)(4-t+4),得t=5或7.
②由1=-(6-t)(6-t+4),得t=8+或8-.
随t的逐渐增加,L的位置随着A(t,0)向右平移,如图所示,
当t=5时,L右侧过点C.
当t=8-<7时,L右侧过点D,即当5≤t≤8-时,L与CD段有个交点.
当8-当t=7时,L左侧过点C.
当t=8+时,L左侧过点D,即当7≤t≤8+时,L与CD段有个交点.
综上所述,满足条件的t的取值范围为5≤t≤8-或7≤t≤8+.
8.解:(1)a=,Q(2,-2).
解析:∵抛物线C1:y=ax2-2x过点(4,0),顶点为Q,
∴16a-8=0,
解得a=,
∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x=(x-2)2-2,
∴Q(2,-2).
(2)选择嘉嘉的说法说理如下:
把Q(2,-2)向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为(0,-2),
当x=0时,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-t2+t2-2=-2,
∴(0,-2)在C2上,
∴嘉嘉的说法正确.
选择淇淇的说法说理如下:
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-x2+tx-2,
当x=0时,y=-2,
∴C2:y=-(x-t)2+t2-2
过定点(0,-2),
∴淇淇的说法正确.
(3)①当t=4时,
C2:y=-(x-t)2+t2-2=-(x-4)2+6,
∴顶点P(4,6).
而Q(2,-2),
设直线PQ的解析式为y=ex+f,
∴解得
∴直线PQ的解析式为y=4x-10.
②如图1,当C2:y=-(x-4)2+6=-6时(等于6两直线重合,不符合题意),x=4±2,
图1
∴交点J(4-2,-6),交点K(4+2,-6),
由直线l∥PQ,
设直线l的解析式为y=4x+b,
当直线l过点J(4-2,-6)时,4(4-2)+b=-6,
解得b=8-22,
∴直线l的解析式为y=4x+8-22.
当y=4x+8-22=0时,x=-2,
此时直线l与x轴交点的横坐标为-2.
同理当直线l过点K(4+2,-6)时,
直线l的解析式为y=4x-8-22,
当y=4x-8-22=0时,x=+2,
此时直线l与x轴交点的横坐标为+2.
综上所述,l与x轴交点的横坐标为-2或+2.
(4)n=2+t-m.
解析:∵C1:y=(x-2)2-2,
C2:y=-(x-t)2+t2-2,
∴C2是由C1通过旋转180°,再平移得到的,两个函数图象的形状相同,
如图2,连接AB交PQ于点L,连接AQ,BQ,AP,BP,
图2
易知四边形APBQ是平行四边形.
若点M是到直线PQ的距离最大的点,最大距离为d,点N到直线PQ的距离恰好也为d,则M与B重合,N与A重合,
∵Q(2,-2),Pt,t2-2,
∴L的横坐标为,Mm,m2-2m,Nn,-(n-t)2+t2-2,
∴L的横坐标为,
∴,
解得n=2+t-m.

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