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第15课时　二次函数的实际应用
考点　二次函数的实际应用
二次函数与实际问题的基本类型
(1)抛物线型问题.
(2)销售问题.
(3)几何图形面积问题.
注意:实际问题中的函数,往往自变量的取值范围受到限制,这时对应的函数图象应是原函数图象的一部分.
二次函数实际问题求最值
(1)先根据题意列出二次函数解析式.
(2)再用配方法把得到的解析式化为顶点式.
(3)若二次项系数大于0,则抛物线开口向上,自变量的值离对称轴越近,函数的值越小,在对称轴处,函数取得最小值;若二次项系数小于0,则抛物线开口向下,自变量的值离对称轴越近,函数的值越大,在对称轴处,函数取得最大值.
(4)在实际问题中要根据具体情况来确定自变量的取值范围从而确定最值.
① (人教九上P52T3变式)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t-1.5t2.在飞机着陆滑行中,前一半的时间滑行的距离是　　　　m.
② (人教九上P52T8变式)某公司经销某种品牌的普洱茶,每千克成本50元,经市场调查发现:每周的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系,部分数据如下表所示.
销售单价x/(元/千克) 56 65 75
销售量y/千克 128 110 90
解答下列问题:
(1)y与x的关系式为　　　　　　　　.
(2)当x=　　　　时,利润W的值最大为　　　　　元.
(3)物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克时,公司想获得不低于2 000元周利润,销售单价范围为　　　　　.
类型一　最值问题
建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经市场调查发现:搭建一个面积为x(x为整数)公顷的大棚,前期准备所需总费用由建设费用和内部设备费用两部分组成,其中建设费用与x2成正比例,内部设备费用与x+2成正比例,部分数据如下:
大棚面积x/公顷 3 8
前期准备所需总费用w/万元 21 134
(1)求前期准备所需总费用w与x之间的函数关系式.
(2)若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支0.4万元,收获1公顷的蔬菜年均可卖9.4万元.设当年收获蔬菜的总收益(扣除修建和种植成本)为y万元,写出y与x之间的函数关系式.
(3)求种植的面积为多少公顷时,当年收获蔬菜的总收益最大,最大值为多少
(1)根据题意可设w=k1x2+k2(x+2),
∵x=3,w=21;x=8,w=134,
∴
解得
∴w=2x2+(x+2)=2x2+x+.
(2)由(1)得w=2x2+x+,
∴y与x之间的函数关系式为y=9.4x-0.4x-2x2+x+=-2x2+x-.
(3)y=-2x2+x-
=-2x-2+,
∵x为整数,∴当x=2时,y最大值=7.6,
∴种植的面积为2公顷时,当年收获蔬菜的总收益最大,最大值为7.6万元.
类型二　抛物线型实际问题
(2024·衡水模拟)如图是某同学正在设计的一动画示意图,在平面直角坐标系xOy中,点K为斜坡上(图中虚线部分所示)设计的参照点,在函数y=ax2+bx+66(a≠0,x≥0)中,分别输入a和b的值,便得到抛物线L,从y轴上的点A沿L发出一个带光的点P,使得光点P击中斜坡BC,若K(75,h)在斜坡BC上,其中h为定值.
(1)①若输入a=-,b=,光点P恰好能击中基准点K,求h的值;
②若输入a=-,光点P落在斜坡上点K的右侧,则b的取值范围为　　　　.
(2)若抛物线L在距y轴水平距离为25时,恰好达到最大高度76,求抛物线L的解析式,并说明点P能否越过点K.
(1)①解:∵a=-,b=,
∴y=-x2+x+66.
∵基准点K的横坐标为75,
∴y=-×752+×75+66=21,
∴基准点K的纵坐标h为21.
②b>
解析:∵a=-,∴y=-x2+bx+66.∵光点P落在斜坡上点K的右侧,∴当x=75时,y>21,即-×752+75b+66>21,解得b>.
(2)解:∵抛物线L在距y轴水平距离为25时,恰好达到最大高度76,即抛物线的顶点为(25,76),
∴设抛物线L的解析式为y=a(x-25)2+76,把(0,66)代入,得66=a×(0-25)2+76,
解得a=-,∴抛物线L的解析式为y=-(x-25)2+76.
点P能越过点K.理由如下:当x=75时,y=-×(75-25)2+76=36,∵36>21,∴点P能越过K点.
命题点　二次函数的实际应用
一、几何图形问题
(2022·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为 (　　)
A.6厘米 B.12厘米
C.24厘米 D.36厘米
(2023·河北)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量,实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3.
(1)求W与x的函数关系式.
(2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄.
①求Q与x的函数关系式;
②x为何值时,Q是W薄的3倍
[注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
二、抛物线型问题
(2023·河北)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏,某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题.
如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长,嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,
其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点 B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值.
(2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
三、利润问题
(2023·河北)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0,每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.
月份n/月 1 2
成本y/(万元/件) 11 12
需求量x/(件/月) 120 100
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元.
(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损.
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
对应练习
1.450　解析:∵y=60t-1.5t2=-1.5(t-20)2+600,
∴当t=20时,飞机着陆后滑行600 m才能停下来,
∴当t=10时,y=-1.5×(10-20)2+600=600-150=450,
∴前一半的时间滑行的距离是450 m.
2.(1) y=-2x+240　(2)85　2 450　(3)70≤x≤90　解析:(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把(56,128)和(65,110)分别代入,得
解得
∴y与x的关系式为y=-2x+240.
(2)由题意知,W=(x-50)·y
=(x-50)(-2x+240)
=-2x2+340x-12 000,
∴W与x的关系式为W=-2x2+340x-12 000,
∴W=-2x2+340x-12 000=-2(x-85)2+2 450,
当x=85时,W的值最大为2 450元.
(3)若获得2 000元周利润,则-2(x-85)2+2 450=2 000,
解得x1=70,x2=100,
∵W=-2x2+340x-12 000为开口向下的抛物线,
∴当70≤x≤100时,W≥2 000.
又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克,
∴销售单价范围为70≤x≤90.
河北中考·真题体验
1.A　解析:根据题意,设y=kx2(k≠0).把x=3,y=18代入,得18=9k.解得k=2.故函数解析式为y=2x2.当y=72时,72=2x2.解得x1=6,x2=-6(舍去).故选A.
2.解:(1)设W=kx2(k≠0).∵当x=3时,W=3,∴3=9k.解得k=.∴W与x的函数关系式为W=x2.
(2)①设薄板的厚度为x厘米,则厚板的厚度为(6-x)厘米.∴Q=W厚-W薄=(6-x)2-x2=-4x+12,即Q与x的函数关系式为Q=-4x+12.
②∵Q是W薄的3倍,∴-4x+12=3×x2.整理,得x2+4x-12=0.解得x1=2,x2=-6(不合题意,舍去).故x为2时,Q是W薄的3倍.
3.解:(1)∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2,
∴C1的最高点坐标为(3,2).
∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,
∴1=a×(6-3)2+2.解得a=-.
∴抛物线C1的解析式为y=-(x-3)2+2.
令x=0,则c=-×(0-3)2+2=1.
(2)∵c=1,∴抛物线C2的解析式为y=-x2+x+2.
依题意,当x=5时,y=-++2≥1,解得n≥.
当x=7时,y=-++2≤1,
解得n≤.∴≤n≤.
∴n的整数值为4,5.
4.解:(1)由题意,设基础价为a万元,浮动价为b万元,则y=a+.
由题表中数据可得
解得∴y=6+.
由题意,若12=18-6+,
则=0,∵x>0,∴>0.
∴一件产品的利润不可能是12万元.
(2)将n=1,x=120代入x=2n2-2kn+9(k+3),得120=2-2k+9k+27,解得k=13.∴x=2n2-26n+144.将n=2,x=100代入x=2n2-26n+144也符合,∴k=13.
由18=6+,解得x=50.经检验,x=50是分式方程的解且符合题意.∴50=2n2-26n+144,即n2-13n+47=0.
∵Δ=(-13)2-4×1×47<0,∴方程无实数根.∴不存在某个月既无盈利也不亏损.
(3)设第m个月的利润为W万元,则W=x(18-y)=18x-x6+=12(x-50)=24(m2-13m+47).∴第(m+1)个月的利润为W'=24×[(m+1)2-13(m+1)+47]=24(m2-11m+35).若W≥W',则W-W'=48(6-m),m取最小值1,W-W'取得最大值240;
若W∴m=1或11.

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