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第16课时　二次函数的综合应用
考点　二次函数的综合应用
与其他函数结合
(1)与一次函数结合:一次函数y=kx+n(k≠0)的图象l与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象G的交点个数,由方程组的解的数目确定,方程组有两组不同的解,l与G有两个交点;方程组只有一组解,l与G只有一个交点;方程组无解,l与G没有交点.
(2)与反比例函数结合:主要涉及二次函数与反比例函数的交点问题.
与几何图形结合
(1)从题干出发,寻找抛物线上的特殊点,如与x轴、y轴、几何图形各边的交点及抛物线的对称轴方程和顶点坐标,二次函数中有几个待定系数,则至少找几个点.
(2)根据二次函数与方程(不等式)的关系、几何图形的性质,求出上述的特殊点,利用待定系数法即可求得抛物线的解析式.
(3)根据抛物线的解析式与相关几何图形的性质,如三角形面积、三角形全等、三角形相似、四边形判定等知识,有针对性地求解具体问题.
如图,二次函数y=-x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数图象交于点B(1,3),与y轴交于点C.
(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标.
(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.
①当PD=OC时,求m的值;
②当点P在直线AB上方时,连接OP,过点B作BQ⊥x轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接DF.设四边形FQED的面积为S,求S关于m的函数解析式,并求出S的最大值.
如图1,抛物线L1:y=-x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0),直线l的解析式为y=kx-5.
(1)求抛物线L1的解析式,并直接写出抛物线L1的对称轴及顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1∶3两部分,求k的值.
图1
(3)如图2,当k=2时,直线l与抛物线交于M,N两点,P是抛物线位于直线l上方的一点,当△PMN的面积最大时,求点P的坐标,并求面积的最大值.
图2
(4)如图3,将抛物线L1在x轴上方的部分沿 x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2.
图3
①当y随x的增大而增大时,x的取值范围为　　　　;
②当直线y=t与图象L2有4个交点时,t的取值范围为　　　　;
③当直线l与图象L2有3个交点时,k的值为　　　　;
④当直线l与图象L2有4个交点时,k的取值范围为　　　　.
(1)解:∵抛物线L1:y=-x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0),∴y=-(x-1)(x-5)=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,
∴抛物线L1的解析式为y=-x2+6x-5.
对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,4).
(2)解:∵直线l将线段AB分成1∶3两部分,则l经过点(2,0)或(4,0),∴0=2k-5或0=4k-5,
∴k=或k=.
(3)解:如图1,
图1
设点P的坐标为(x,-x2+6x-5),
解方程组
解得或
∴M(0,-5),N(4,3),
∴0过点P作PH⊥x轴交直线l于点H,
则H(x,2x-5),
PH=-x2+6x-5-(2x-5)=-x2+4x,
S△PMN=PH·xN
=(-x2+4x)×4
=-2(x-2)2+8.
∵0(4)①x≤1或3≤x≤5　②-4解析:如图2,
图2
A(1,0),B(5,0).
由翻折,得D(3,-4).
①当x≤1或3≤x≤5时,y随x的增大而增大.
②当直线y=t与图象L2有4个交点时,t的取值范围为-4③当y=kx-5与抛物线相切时,由消去y,得x2-(6+k)x+10=0,根据Δ=[-(6+k)]2-40=0,解得k=2-6(负值舍去),
当直线y=kx-5过点B时,5k-5=0,解得k=1,
∴当直线l与图象L2有3个交点时,k的值为1或-6+2.
④由图象可知,当2-6命题点　二次函数的综合应用
(2024·河北)如图,若b是正数,直线l:y=b与y轴交于点A;直线a:y=x-b与y轴交于点B;抛物线L:y=-x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D.
(1)若AB=8,求b的值,并求此时L的对称轴与a的交点坐标.
(2)当点C在l下方时,求点C与l距离的最大值.
(3)设x0≠0,点(x0,y1),(x0,y2),(x0,y3)分别在l,a和L上,且y3是y1,y2的平均数,求点(x0,0)与点D间的距离.
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上,把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”,分别直接写出b=2 019和2 019.5 时“美点”的个数.
(2023·河北)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P.
(1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴,并直接指出点P会落在哪个台阶上;
(2)当点P落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的解析式,并说明其对称轴是否与台阶T5有交点;
(3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴,且BE=2.在△BDE沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少
【注:(2)中不必写x的取值范围】
【详解答案】
教材考点·深度梳理
对应练习
解:(1)由 y=-x2+4x,得当 y=0 时,-x2+4x=0,
解得 x1=0,x2=4.
∵点A在x轴正半轴上,
∴点A的坐标为(4,0).
设直线AB的函数解析式为 y=kx+b(k≠0).
将A(4,0),B(1,3)分别代入 y=kx+b,
得
解得
∴直线AB的函数解析式为 y=-x+4.
将x=0代入 y=-x+4,得 y=4.
∴点C的坐标为(0,4).
(2)①∵点P在第一象限内二次函数 y=-x2+4x的图象上,且PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,其横坐标为m.
∴点P,D的坐标分别为 P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),
∴PE=-m2+4m,DE=-m+4,OE=m.
∵点C的坐标为(0,4),
∴OC=4.
∵PD=OC,∴PD=2.
图1
如图1,当点P在直线AB上方时,PD=PE-DE=-m2+4m-(-m+4)=-m2+5m-4.
∵PD=2,
∴-m2+5m-4=2,
解得m1=2,m2=3.
如图2,当点P在直线AB下方时,PD=DE-PE=-m+4-(-m2+4m)=m2-5m+4.
图2
∵PD=2,
∴m2-5m+4=2,
解得m=,
∵0综上所述,m的值为2或3或.
②如图3,
图3
由(2)①得,OE=m,PE=-m2+4m,DE=-m+4.
∵BQ⊥x轴于点Q,交OP于点F,点B的坐标为(1,3),
∴OQ=1,∠OQF=90°.
∵点P在直线AB上方,
∴EQ=m-1.
∵PE⊥x轴于点E,
∴∠OQF=∠OEP=90°,
∴FQ∥DE.
∵∠FOQ=∠POE,
∴△FOQ∽△POE,
∴,即,
∴FQ==-m+4,
∴FQ=DE,
∴四边形FQED为平行四边形.
∵PE⊥x轴,
∴四边形FQED为矩形.
∴S=EQ·FQ=(m-1)(-m+4),即S=-m2+5m-4=-m-2+,
∵-1<0,1∴当m=时,S的最大值为.
河北中考·真题体验
1.解:(1)当x=0时,y=x-b=-b,
∴点B(0,-b),A(0,b).∵AB=8,
∴b-(-b)=8.∴b=4.
∴L:y=-x2+4x.
∴L的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=x-4=-2,
∴L的对称轴与a的交点坐标为(2,-2).
(2)∵y=-x-2+,
∴L的顶点C,,
∵点C在l下方,
∴C与l的距离b-=-(b-2)2+1≤1.
∴点C与l距离的最大值为1.
(3)由题意得y3=,即y1+y2=2y3,得b+x0-b=2(-+bx0).解得x0=0或x0=b-.
∵x0≠0,∴x0=b-.
对于L,当y=0时,0=-x2+bx,即0=-x(x-b),解得x1=0,x2=b,∵b>0,∴右交点D(b,0).∴点(x0,0)与点D间的距离为b-b-=.
(4)b=2 019时“美点”的个数为4 040;b=2 019.5时“美点”的个数为1 010.
解析:①当b=2 019时,抛物线解析式L:y=-x2+2 019x,直线解析式a:y=x-2 019,联立上述两个解析式可得x1=-1,x2=2 019,
∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值,且-1和2 019之间(包括-1和2 019)共有2 021个整数.
∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线,∴线段和抛物线上各有2 021个整数点.∴总计4 042个整数点.
∵这两段图象交点有2个点重复,
∴“美点”的个数为4 042-2=4 040.
②当b=2 019.5时,抛物线解析式L:y=-x2+2 019.5x,直线解析式a:y=x-2 019.5,
联立上述两个解析式可得x1=-1,x2=2 019.5,
∴当x取整数时,在一次函数y=x-2 019.5上,y取不到整数值,因此在该图象上“美点”为0,在二次函数y=-x2+2 019.5x图象上,
当x为偶数时,函数值y可取整数,可知-1到2 019.5之间有1 010个偶数,即“美点”共有1 010个.
故b=2 019时“美点”的个数为4 040,b=2 019.5时“美点”的个数为1 010.
2.解:(1)当y=0时,-x2+4x+12=0,
解得x1=-2,x2=6.
∵A在左侧,∴A(-2,0).
∵抛物线y=-x2+4x+12关于直线x=-=2对称,
∴y轴与OK重合,如下图:
点P会落在台阶T4上.
(2)由题意,设抛物线C的解析式为y=-(x-h)2+11,
计算易得点P落在T4上的点(5,7)处,把x=5,y=7代入y=-(x-h)2+11,得7=-(5-h)2+11,
解得h1=7,h2=3,由题意可知h>5,∴h=7,
∴抛物线C:y=-(x-7)2+11.
∴抛物线y=-(x-7)2+11的对称轴为直线x=7,∵台阶T5的左端点为(6,6),右端点为(7.5,6),
∴其对称轴与台阶T5有交点.
(3)由题意知,当△BDE沿x轴左右平移,恰使抛物线C下落的点P过点D时,此时点B的横坐标值最大.
当y=0时,-(x-7)2+11=0,
解得x1=7+,x2=7-(舍去),
故点B的横坐标最大值为8+,
当△BDE沿x轴左右平移,恰使抛物线C下落的点P过点B时,此时点B的横坐标值最小.
当y=2时,-(x-7)2+11=2,
解得x1=10,x2=4(舍去),
故点B的横坐标最小值为10,
则点B横坐标的最大值比最小值大8+-10=-2.

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