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第17课时　几何初步、相交线与平行线
考点一　直线、射线与线段
直线、射线和线段的区别与联系
项目 端点 属性 表示方法 联系
直线 无 无长度,不可度量 用两个大写字母表示(射线的表示要注意:顶点字母在前、方向字母在后),直线和线段也可以用一个小写字母表示 射线、线段是直线的一部分
射线 1个 无长度,不可度量
线段 2个 有长度,可度量
两个基本事实
(1)经过两点,①　　　　一条直线.
例:如图1,木工师傅画直线.如图2,墙上固定木条.
图1　 　图2
(2)两点之间,②　　　　最短.
例:如图,弯曲河道改直.
两个概念
(1)两点之间的距离:连接两点之间的线段的③　　　　.
(2)线段的中点:如图,线段AB上的点M,把线段AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB,那么点M就叫做线段AB的中点,此时④　　　　=MB=AB,⑤　　　　=2AM=2MB.
线段的和与差
如图1,AC=AB+⑥　　　　;
如图2,AD=⑦　　　　-BD,⑧　　　　=⑨　　　　-　　　　.
图1　 　图2
① (人教七上P128变式)如图,某工厂有三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工15人、20人、45人,且这三个区在一条大道上(A,B,C三点共线),已知AB=1 500 m,BC=1 000 m.
(1)若D为线段BC的中点,则A和D之间的距离是 (　　)
A.3 000 m B.2 500 m C.2 000 m D.1 500 m
(2)若在B住宅区设置一个车站,那么三个住宅区的人步行到停靠点的路程之和是(　　)
A.120 000 m B.67 500 m C.62 500 m D.57 500 m
(3)为了方便职工上下班,该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在 (　　)
A.A住宅区
B.B住宅区
C.C住宅区
D.B、C住宅区中间D处
② 如图,以O为端点,可以画　　　　条射线,若一条射线与直线l相交,则这条射线还可能经过的点是　　　　.
考点二　角及其平分线
角的分类及关系
角的分类 若0°<α<90°,则α为锐角; 若α=　　　　,则α为直角; 若　　　　　　,则α为钝角; 若α=180°,则α为平角; 若α=360°,则α为周角
度、分、 秒的换算 1周角=360°,1平角=180°, 1°=60',1'=60″, 角的度、分、秒是60进制
两角间 的关系 互余 (1)如果α+β=90°,那么α与β互为　　　　. (2)性质:同角(或等角)的余角　　　
互补 (1)如果α+β=180°,那么α与β互为　　　　. (2)性质:同角(或等角)的补角　　　
角平分线的性质及判定
(1)概念:在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成相等的两个角,这条射线叫做这个角的平分线.
(2)定理:角平分线上的点到角两边的距离　　　　.
(3)逆定理:在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上.
③ 如图,O为直线AB上一点,∠DOE=90°.若∠AOC=58°,OD平分∠AOC.
(1)图中小于平角的角的个数是　　　　,其中　　　　　　　　是∠DOC的余角.
(2)求出∠BOD的度数.
(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.
考点三　相交线
三线八角
对顶角 ∠1与∠3,∠2与∠4,∠5与∠7,∠6与　　　　　. 性质:对顶角　　　
邻补角 ∠1和∠3都与∠2,∠4互为邻补角; ∠5和∠7都与∠6,∠8互为邻补角. 性质:互为邻补角的两个角之和等于　　　
同位角 ∠1与　　　　,∠2与∠6,∠4与∠8,∠3与∠7
内错角 ∠2与　　　　,∠3与∠5
同旁 内角 ∠2与∠5,∠3与　　　
垂线及其性质
垂 线 性质1 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,　　　　最短
点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离
垂直平分线
(1)概念:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
(2)定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　　　　.
(3)逆定理:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的　　　　　　　　.
④ (原创)如图,直线AB,CD相交于点O,OM平分∠AOC,ON⊥OM,连接MN交直线CD于点C.
(1)指出直线AB与CD相交形成的对顶角有哪些.
(2)在图中找出∠BON的内错角,并指明是哪两条直线被哪条直线所截而形成的.
(3)指出∠AON的同旁内角.
(4)若∠BON=55°,求∠BOD的度数.
(5)当线段CO为点O到线段MN的最短距离时,直线CD与线段MN的位置关系是　　　　.
考点四　平行线的性质与判定
平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
平行公理 的推论 如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,即如果a∥c,b∥c,那么　　　
平行线的 性质和 判定 两直线平行同位角　　　
两直线平行内错角　　　
两直线平行同旁内角　　　
平行线间 的距离 定义 从一条平行线上任意一点到另一条平行线作垂线,垂线段的长度叫做两条平行线间的距离
性质 两条平行线间的距离处处相等
平行线求角度的辅助线作法
作法1: 作平行线
作法2: 从拐点处 延长相交
角度关系 ∠ABE+∠DCE= ∠BEC ∠ABE+∠DCE+ ∠BEC=360° ∠ABE-∠DCE= ∠BEC ∠ABE-∠DCE= ∠BEC
⑤ (冀教七下P52变式)如图,
(1)若AD∥BC,∠B=30°,则∠BAD=　　　.
(2)若∠CAD=∠C,则AD ∥　　　　.
(3)在(2)的基础上,若AD是∠EAC的平分线,∠C=30°,则∠B=　　　　.
考点五　命题与定理
命题 判断一件事情的语句,叫做命题.命题分为题设和结论两部分
真命题 如果题设成立,那么结论一定成立的命题叫做真命题
假命题 题设成立时,不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.判断一个命题为假命题,只要找出一个符合命题题设,不符合命题结论的例子即可
互逆 命题 如果一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,那么我们把这两个命题称为互逆命题.在两个互逆的命题中,如果我们将其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就是原命题的逆命题
定理 经过证明的真命题称为定理.对于定理,它是经过证明的真命题,但并不是所有的真命题都是定理.定理可以作为判定其他命题真假的依据
互逆 定理 如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题也可以称为原定理的逆定理.一个定理和它的逆定理是互逆定理
反证法 先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发,经过逐步推理论证,最后推出与学过的概念、基本事实、定理、性质或题设条件相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的.这种证明命题的方法叫做反证法
⑥ 已知命题“同位角相等”.
(1)命题改写成“如果……,那么……”的形式:　　　　　　　　　　,题设为　　　　　　,结论为　　　　　　,该命题为　　　　命题.
(2)“同位角相等”的逆命题为　　　　　　　　　　,该命题为　　　　命题.
(1)如图1,线段AB=16 cm,点C为线段AB上的一个动点,点D,E分别是AC,BC的中点.
图1
①若AC=6 cm,则线段DE的长为　　　　 cm.
②设AC=a cm,则线段DE的长为　　　　 cm.
(2)如图2,若∠MON=60°,OC是∠AOB内部的一条射线,射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC,求∠AOB的度数.
图2
(3)已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示,若∠COD=30°,且∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON,求∠MON与∠AOB的数量关系.
图3
(1)①8　②8
解析:①∵AC=6 cm,AB=16 cm,
∴BC=AB-AC=16-6=10(cm).
又∵点D,E分别是AC,BC的中点,
∴CD=3 cm,CE=5 cm,
∴DE=CD+CE=3+5=8(cm).
②∵AC=a cm,AB=16 cm,∴BC=AB-AC=(16-a) cm.
又∵点D,E分别是AC,BC的中点,
∴CD=a cm,CE=(16-a)cm,
∴DE=CD+CE=a+(16-a)=8(cm).
(2)解:∵射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOC,
∴∠MOC=∠AOC,∠CON=∠COB,
∴∠MON=∠MOC+∠CON=(∠AOC+∠COB)=∠AOB,
∵∠MON=60°,∴∠AOB=120°.
(3)解:∵∠DOM=2∠AOM,∠CON=2∠BON,
∴∠MOD=∠AOD,∠CON=∠BOC,
∵∠COD=30°,
∴∠MON=∠MOD+∠CON+∠COD
=∠AOD+∠BOC+∠COD+∠COD
=(∠AOD+∠BOC+∠COD)+∠COD
=∠AOB+∠COD
=∠AOB+10°.
已知:如图1,AB∥CD,CD∥EF.求证:∠B+∠BDF+∠F=360°.
老师要求学生在完成这道题目证明后,尝试对图形进行变式,继续做拓展探究,看看有什么新发现.
图1　 图2 　 图3
图4　 图5
(1)小颖首先完成了对这道题的证明,在证明过程中她用到了平行线的一条性质,小颖用到的平行线性质可能是　　　　　　　　.
(2)接下来,小颖用《几何画板》对图形进行了变式,她先画了两条平行线AB,EF,然后在平行线间画了一点D,连接BD,DF后,用鼠标拖动点D,分别得到了图2,3,4,小颖发现图3正是上面题目的原型,于是她由上题的结论猜想到图2和图4中的∠B,∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系.于是她利用《几何画板》的度量与计算功能,找到了这三个角之间的数量关系.
请你在小颖操作探究的基础上,继续回答下面的问题:
①猜想图2中∠B,∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明;
②利用图4探究,在拖动点D至AB上方或EF的下方时,∠B,∠BDF与∠F之间还存在其他数量关系,请直接写出∠B,∠BDF与∠F之间的数量关系　　　　　　　(写出一种即可).
(3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图5所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,若∠BCD=150°,则∠ABC的度数为　　　　.
(1)两直线平行,同旁内角互补
解析:证明过程如下:∵AB∥CD,
∴∠B+∠CDB=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵CD∥EF,∴∠F+∠CDF=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠BDC+∠CDF=∠BDF,
∴∠B+∠BDF+∠F=360°.
(2)①解:∠BDF=∠B+∠F,
图1
证明:如图1,过点D作DC∥AB,
则∠B=∠BDC.
∵AB∥EF,∴CD∥EF,
∴∠CDF=∠F,
∴∠BDF=∠BDC+∠FDC=∠B+∠F.
图2
②∠F=∠B+∠BDF(或∠F=∠B-∠BDF)
解析:当拖动点D至AB的上方时,如图2,过点D作DM∥AB,
∵DM∥AB,∴∠MDB=∠B,
∵AB∥EF,∴DM∥EF,∴∠MDF=∠F,
∵∠MDF=∠MDB+∠BDF,
图3
∴∠F=∠B+∠BDF;
当拖动点D至EF的下方时,
如图3,过点D作DN∥AB,
∵DN∥AB,∴∠NDB=∠B,
∵AB∥EF,∴DN∥EF,
∴∠NDF=∠F,∵∠NDF=∠NDB-∠BDF,
∴∠F=∠B-∠BDF.
(3)120°
解析:如图4,过点B作BG∥AE,
图4
∵BG∥AE,CD∥AE,∴CD∥BG,
∴∠C+∠CBG=180°.
∵∠BCD=150°,∴∠CBG=30°.
∵BA⊥AE,BG∥AE,∴∠ABG=90°,
∴∠ABC=∠ABG+∠CBG=90°+30°=120°.
命题点一　直线和线段
(2023·河北)如图,已知四条线段a,b,c,d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上,请借助直尺判断该线段是 (　　)
A.a B.b C.c D.d
命题点二　角及其平分线
(2023·河北)用量角器测量∠MON的度数,下列操作正确的是 (　　)
A B C D
命题点三　相交线
(2023·河北)如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有(　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
(2024·河北模拟)如图,点O在直线AB上,∠AOC=53°17'28″,则∠BOC的度数是　　　　.
命题点四　平行线的性质与判定
(2024·河北)下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.
已知:如图,∠BEC=∠B+∠C,求证:AB∥CD.
证明:延长BE交　※　于点F,则∠BEC=　 　+
∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和).
又∵∠BEC=∠B+∠C,得∠B=　▲　.
故AB∥CD(　@　相等,两直线平行).
则回答正确的是 (　　)
A. 代表∠FEC B.@代表同位角 C.▲代表∠EFC D.※代表 AB
(2024·河北)如图,快艇从P处向正北航行到A处时,向左转50°航行到B处,再向右转80°继续航行,此时的航行方向为 (　　)
A.北偏东30° B.北偏东80° C.北偏西30° D.北偏西50°
(2023·河北)如图,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,则∠ACD= (　　)
A.120°　　 B.130°　　 C.140°　　 D.150°
(2024·河北)要得知作业纸上两相交直线AB,CD所夹锐角的大小,发现其交点不在作业纸内,无法直接测量.两同学提供了如下间接测量方案(如图1和图2).
方案Ⅰ
①作一直线GH,交AB,CD于点E,F;
②利用尺规作∠HEN=∠CFG;
③测量∠AEM的大小即可.
图1
方案Ⅱ
①作一直线GH,交AB,CD于点E,F;
②测量∠AEH和
∠CFG的大小;
③计算180°-∠AEH-∠CFG即可.
图2
对于方案Ⅰ、Ⅱ,说法正确的是 (　　)
A.Ⅰ可行、Ⅱ不可行
B.Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C.Ⅰ、Ⅱ都可行
D.Ⅰ、Ⅱ都不可行
命题点五　命题与定理
(2024·河北样题)能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是 (　　)
A B C　 　 D
(2024·河北样题)已知下列命题:①若|a|=|b|,则a2=b2;②若am2>bm2,则a>b;③对顶角相等;④等腰三角形的两底角相等.其中原命题和逆命题均为真命题的个数是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①有且只有　②线段　③长度　④AM
⑤AB　⑥BC　⑦AB　⑧BD　⑨AB　⑩AD　90°　90°<ɑ<180°　余角　相等　补角　相等　相等
∠8　相等　180°　∠5　∠8
∠8　垂线段　相等　垂直平分线上　a∥b　相等　相等
互补
对应练习
1.(1)C　(2)B　(3)C　解析:(1)∵D为线段BC的中点,BC=1 000 m,
∴BD=CD=BC=500 m,
∴AD=AB+BD=2 000 m.故选C.
(2)∵A住宅区有15人,B住宅区有20人,C住宅区有45人,
∴在B住宅区设置一个车站,那么三个住宅区的人步行到停靠点的路程之和为1 500×15+1 000×45=67 500(m).故选B.
(3)在A住宅区设置一个车站,显然不符合题意;
在B住宅区设置一个车站,那么三个住宅区的人步行到停靠点的路程之和为1 500×15+1 000×45=67 500(m),
在C住宅区设置一个车站,那么三个住宅区的人步行到停靠点的路程之和为2 500×15+1 000×20=57 500(m),
在B住宅区与C住宅区中间D处设置一个车站,那么三个住宅区的人步行到停靠点的路程之和为2 000×15+500×20+500×45=62 500(m),
综上所述,在C住宅区设置一个车站,路程之和最小.故选C.
2.4　N
3.解:(1)9　∠COE与∠BOE
解析:根据题中图形可知,图中小于平角的角的个数是9.
∵∠DOE=∠DOC+∠COE=90°,
∴∠DOC和∠COE互余.
又∵∠AOB=180°,
∴∠AOD+∠BOE=90°.
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD,
∴∠COE=∠BOE,
∴∠BOE+∠COD=90°,
∴∠COE与∠BOE 是∠DOC的余角.
(2)∵∠AOC=58°,OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOC=29°,∴∠BOD=180°-29°=151°.
(3)OE平分∠BOC.理由如下:
∵∠DOC+∠COE=90°,∠DOC=29°,
∴∠COE=61°,
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=61°,
∴∠EOC=∠BOE,
∴OE平分∠BOC.
4.解:(1)直线AB与CD形成的对顶角有∠AOC与∠BOD,∠BOC与∠AOD.
(2)∠BON的内错角为∠N,∠BON与∠N是直线MN与AB被直线ON所截而形成的.
(3)∠AON的同旁内角是∠N.
(4)∵ON⊥OM,
∴∠MON=90°.
∵∠BON=55°,
∴∠AOM=180°-90°-55°=35°.
∵射线OM平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOM=70°,
∴∠BOD=∠AOC=70°.
(5)CD⊥MN.
5.(1)150°　(2)BC　(3)30°
解析:(1)∵AD∥BC,∠B=30°,
∴∠BAD=180°-30°=150°.
(2)∵∠CAD=∠C,
∴AD ∥BC.
(3)∵AD ∥BC,∠C=30°,
∴∠DAC=∠C=30°.
∵AD是∠EAC的平分线,
∴∠EAD=∠DAC=30°,
∴∠B=∠EAD=30°.
6.(1)如果两个角是同位角,那么这两个角相等　两个角是同位角　这两个角相等　假
(2)如果两个角相等,那么这两个角是同位角　假
河北中考·真题体验
1.A
2.C
3.D
4.126°42'32″
5.C 　解析:由题图可知∠BEC=∠EFC+∠C,又∵∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC.∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故选C.
6.A　解析:如图,过点B作BC∥AP,∴∠2=∠1=50°.∴∠3=80°-∠2=30°.故此时快艇的航行方向为北偏东30°.故选A.
7.C　解析:如图,延长AC交EF于点M.
∵AB∥EF,∴∠BAC=∠CMD=50°.
又∵CD⊥EF,∴∠CDM=90°.
∴∠ACD=∠CMD+∠CDM=50°+90°=140°.故选C.
8.C　解析:∵∠HEN=∠CFG,∴MN∥CD.∴直线AB,CD所夹锐角与∠AEM相等,故方案Ⅰ可行.根据三角形内角和定理可知,直线AB,CD所夹锐角与180°-∠AEH-∠CFG相等,故方案Ⅱ可行.故选C.
9.A　解析:A.两个角都是30°,这两个角相等,但这两个角不是对顶角,可以说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项符合题意;
B.两个角都是30°,这两个角相等,这两个角是对顶角,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;
C.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意;
D.两个角不相等,不能说明“相等的角是对顶角”是假命题,本选项不符合题意.故选A.
10.B　解析:若|a|=|b|,则a2=b2的逆命题为若a2=b2,则|a|=|b|,原命题和逆命题均为真命题;若am2>bm2,则a>b的逆命题为若a>b,则am2>bm2,原命题为真命题,逆命题为假命题;对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角,原命题为真命题,逆命题为假命题;等腰三角形的两底角相等的逆命题为有两角相等的三角形为等腰三角形,原命题和逆命题均为真命题.故选B.

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