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第19课时　全等三角形
考点一　全等三角形及其性质
概念 能够完全重合的三角形叫做全等三角形
性质1 全等三角形的对应边①　　　　,对应角②　　　　
性质2 全等三角形的周长③　　　　,面积④　　　　
性质3 全等三角形的对应中线、高、角平分线、中位线都⑤　　　
考点二　全等三角形的判定
一般三角形全等的判定
图形 定理 判定条件
三边对应相等的两个三角形全等(SSS) A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,⑥　　　　
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) A1B1=A2B2,∠B1=∠B2,⑦　　　　
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ∠A1=∠A2,⑧　　　　　, ∠B1=∠B2
两角和其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ∠A1=∠A2,∠B1=∠B2, ⑨　　　 　或 ⑩　　　　
直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,即如图.
Rt△A1B1C1≌Rt△A2B2C2(HL).
三角形全等的证明思路
① (人教八上P31变式)如图,已知AB∥ DE,AB=DE,请你按下列要求添加一个条件,使△ABC≌△DEF.
(1)若利用“SAS”判定,则添加的条件可以是　　　　.
(2)若利用“AAS”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.
(3)若利用“ASA”判定,则添加的条件可以是　　　　　　.
② (冀教八上P56变式)如图,两车从路段AB的两端同时出发,沿平行路线以相同的速度行驶,相同时间后分别到达C,D两地,CE⊥AB,DF⊥AB,C,D两地到路段AB的距离相等吗 为什么
③ (冀教八上P43变式)如图,已知点B,F,C,E在直线l上,点A,D在l异侧,且AC∥DF,AC=DF.
(1)请你添加一个适当的条件:　　　　,使得△ABC≌△DEF.结合所添加的条件证明:△ABC≌△DEF.
(2)若BE=20,BF=6,求FC的长度.
如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD与BE交于点O,且OB=OC,连接AO.
(1)下面是黑板上给出的问题及不完整的证明过程,请填写横线上的内容.
求证:△OBD≌△OCE.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ODB=∠OEC=90°.
在△OBD和△OCE中,
∴△OBD≌△OCE(　　　　).
(2)求证:△AOD≌△AOE.
(3)求证:△ABE≌△ACD.
(4)求证:△ABO≌△ACO.
(5)求证:△BCD≌△CBE.
(1)∠DOB=∠EOC　AAS
(2)证明:由(1)知△OBD≌△OCE,∴OD=OE.
又∵∠ODB=∠OEC=90°,∴∠ODA=∠OEA=90°.
在Rt△AOD和Rt△AOE中,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL).
(3)证明:由(2)知Rt△AOD≌Rt△AOE,∴AD=AE.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
(4)证明:由(2)知△AOE≌△AOD,
∴∠EAO= ∠DAO.
由(3)知△ABE≌△ACD,∴AB=AC.
在△ABO和△ACO 中,
∴△ABO≌△ACO(SAS).
(5)证明:由(1)知△OBD≌△OCE,∴BD=CE.
由(3)知△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
在△BCD和△CBE中,
∴△BCD≌△CBE(SSS).
命题点一　全等三角形及其性质
(2024·河北样题)如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是 (　　)
A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE D.∠ABC=∠AED
命题点二　全等三角形的判定
(2023·河北)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB= A'B'=6,AC=A'C'=4.已知∠C=n°,则∠C'= (　　)
A.30° B.n°
C.n°或180°-n° D.30°或150°
(2024·河北)如图,∠A=∠B=50°,P为AB的中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.
(1)求证:△APM≌△BPN.
(2)当MN=2BN时,求α的度数.
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
(2023·河北)如图,点B,F,C,E在直线l上(点F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②相等　③相等　④相等
⑤相等　⑥B1C1=B2C2　⑦B1C1=B2C2　⑧A1B1=A2B2　⑨B1C1=B2C2　⑩A1C1=A2C2
对应练习
1.(1)BC=EF(答案不唯一)
(2)∠ACB=∠F
(3)∠A=∠D
2.解:C,D两地到路段AB的距离相等,
理由:∵CE⊥AB,DF⊥AB,
∴∠AEC=∠BFD=90°.
∵AC∥BD,
∴∠A=∠B.
在△AEC和△BFD中,
∴△AEC≌△BFD(AAS),
∴CE=DF,
∴C,D两地到路段AB的距离相等.
3.解:(1)(答案不唯一)∠A=∠D
证明如下:
∵AC∥DF,
∴∠ACB=∠DFE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,
∴BC-CF=EF-CF,
即BF=CE,
∵BE=20,BF=6,
∴CE=BF=6,
∴FC=BE-BF-CE=20-6-6=8.
河北中考·真题体验
1.B　解析:∵△ABC≌△ADE,
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.故选B.
2.C　解析:过点A作AD⊥BC于点D,过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'.∵∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,∴AD=A'D'=3.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的两侧时,如图,
∵AD=A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠C'=∠C=n°.当B,C在点D的两侧,B',C'在点D'的同侧时,如图,
∵AD= A'D'=3,AC=A'C'=4,
∴Rt△ACD≌Rt△A'C'D'(HL).
∴∠A'C'D'=∠C=n°,即∠A'C'B'=180°-∠A'C'D'=180°-n°.综上,∠C'为n°或180°-n°.故选C.
3.解:(1)证明:∵P是AB的中点,
∴PA=PB.
在△APM和△BPN中,
∴△APM≌△BPN(ASA).
(2)由(1)得△APM≌△BPN,
∴PM=PN.
∴MN=2PN.∵MN=2BN,
∴BN=PN.∴α=∠B=50°.
(3)40°<α<90°.
4.解:(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+FC,即BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)AB∥DE,AC∥DF.
理由:∵△ABC≌△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.
∴AB∥DE,AC∥DF.

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