资源简介

第20课时　等腰三角形与直角三角形
考点一　等腰三角形和等边三角形
项目 等腰三角形 等边三角形
概 念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形
性 质 (1)两腰相等,两底角①　　　　(简称“等边对等角”). (2)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(简称“三线合一”). (3)是轴对称图形,有一条对称轴 (1)三边相等. (2)三个内角相等,都等于②　　　　. (3)是轴对称图形,有三条对称轴
判 定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形. (2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(依据“等角对等边”) (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角等于③　　　　的等腰三角形是等边三角形
面 积 S=ah(a为等腰三角形的底边长,h为底边上的高) S=a2(a为等边三角形的边长)
等腰三角形中的分类讨论
在解决与等腰三角形的边、角有关的问题时,如果不知道已知的边是腰还是底边或不知道已知的角是顶角还是底角,就需要分类讨论.
1.已知等腰三角形的两边长分别为a,b(a≠b),求周长C时,分两种情况:
(1)若腰长为a且2a>b,则周长C=2a+b.
(2)若腰长为b且2b>a,则周长C=2b+a.
2.已知等腰三角形的一个角为α,求顶角或底角的度数时,分三种情况:
(1)若α为钝角,则α为顶角,底角的度数为(180°-α).
(2)若α为直角,则α为顶角,且该三角形为等腰直角三角形,底角为45°.
(3)若α为锐角,则应分两种情况讨论:
①当α为顶角时,底角的度数为(180°-α);
②当α为底角时,顶角的度数为180°-2α.
特别注意:无论哪种情况,都要注意三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”,三个角必须满足“三角形的内角和等于180°”.
① (冀教八上P143变式)如图,在△ABC 中,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)若∠B=50°,则∠C =　　　　.
(2)若∠BAD=20°,则∠BAC =　　　　.
(3)若AB=5,BC=6,则AD的长为　　　　.
(4)若△ABC的一个内角为50°,则∠BAC的度数为　　　　.
(5)若△ABC的两边长分别为5,6,则△ABC的周长为　　　　　.
(6)若∠B=60°,AB=4,则△ABC是　　　　三角形,S△ABC=　　　　.
考点二　直角三角形
概念 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形
性质 (1)两锐角之和等于④　　　　. (2)斜边上的中线等于斜边的⑤　　　　. (3)30°角所对的直角边等于斜边的⑥　　　　. (4)勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方,即a2+b2=c2(a,b为直角边,c为斜边)
判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形. (2)勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,则以a,b,c为三边的三角形是直角三角形
面积 S=ch=ab(a,b为直角边,c为斜边,h为斜边上的高)
② 已知在Rt△ABC 中,∠BAC=90°.
(1)如图1,AD⊥BC于点D.
①若∠B=40°,则∠DAC=　　　　;
②若AB=4,AC=3,则AD=　　　　;
③若∠B=30°,AB=6,则BC=　　　　;
④若点E是BC 的中点,AD=DE =2,则BC=　　　　.
图1　 　图2
(2)如图2,点D,E分别在AB,BC边上,且 DE垂直平分BC.若AB=2AC,AD=3,则AC=　　　　.
已知△ABC为等腰三角形,请回答下列问题.
(1)若∠A=40°,则∠B=　　　　.
(2)若△ABC的周长为22,AB=8,则AC=　　　　.
(3)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上.若BD=BC=AD,则∠A=　　　　,图中有　　　　个等腰三角形.
图1　　 图2
(4)如图2,在△ABC中,AB=AC,D,E 是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠BED=60°,且BE=8,BC=10.
①求∠ADE 的度数;
②求DE的长;
③延长BE与AD相交于点M,若∠BAC=30°,EM=2,求 AM的长.
等腰三角形中求边长、周长或角度时,要对三角形的边和角进行分类讨论,并利用三角形的三边关系、内角和等知识进行合理性的分析;等边三角形作为特殊的等腰三角形,包含等腰三角形的所有性质,既可以在等腰三角形的条件下通过添加一个60°角证明等边三角形,也可以在任意三角形的前提下添加两个60°角证明等边三角形.
(1)40°或70°或100°
解析:若∠A是底角,∠B也是底角,则∠B=40°;若∠A是底角,∠B是顶角,则∠B=180°-40°-40°=100°;若∠A是顶角,则∠B是底角,故∠B==70°.故∠B=40°或70°或100°.
(2)6或7或8
解析:若AB是底边,AC是腰,则AC==7,7,7,8能构成三角形;若AB是腰,AC也是腰,则AC=AB=8,则BC=22-8×2=6,8,8,6能构成三角形;若AB是腰,AC是底边,则AC=22-8-8=6,8,8,6能构成三角形.所以AC=6或7或8.
(3)36°　3
解析:设∠A=x,∵BD=AD,∴∠ABD=∠A=x,
∴∠BDC=2x.
∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2x,∴2x+2x+x=180°,解得x=36°.
图中有3个等腰三角形,△ABD,△BDC和△ABC.
(4)解:①如图,延长ED交BC于点F,延长AD交BC于点H.
∵∠EBC=∠BED=60°,
∴△BEF是等边三角形,
∴EF=BF=BE=8,∠EFB=60°.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AH⊥BC.∴∠AHC=90°.
∴∠HDF=30°.∴∠ADE=∠HDF=30°.
②∵BC=10,BE=BF=8,∴FC=BC-BF=2.
∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BH=CH=BC=5.
∴HF=5-2=3.
在Rt△DHF中,∵∠HDF=30°,
∴DF=2HF=6.∴DE=8-6=2.
③∵∠BAC=30°,AD平分∠BAC,∴∠BAD=15°.
∵EM=2,∴EM=DE.
∵∠ADE=30°,∴∠EMD=30°.
∵∠BMD=∠BAD+∠ABM=30°,∴∠ABM=15°,
∴AM=BM.
∵BM=BE+EM=8+2=10,∴AM=10.
已知,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=4,点D为BC上的点.
(1)若AC=2,求AB的长.
(2)如图1,若AD⊥BC,∠B=55°,则∠CAD=　　　　;解决此问用到的依据是　　　　.
图1　 　图2
(3)如图2,若点D为BC的中点,求AD的长;
解决此问用到的依据是　　　　　　　　.
(4)如图3,若点D,E分别为BC,BD的中点,且∠B=60°,求证:△ADE为直角三角形;
解决此问用到的判定依据是　　　　　　.
图3
(1)解:∵∠BAC=90°,BC=4,AC=2,
∴根据勾股定理可得,AB===2.
(2)55°　同角的余角相等
解析:∵AD⊥BC,∠BAC=90°,
∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠B=55°.
(3)解:∵∠BAC=90°,点D为BC的中点,
∴AD=BC=×4=2.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)证明:∵D为BC的中点,∠BAC=90°,
∴AD=BD.
∵∠B=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∵点E为BD的中点,
∴AE 为BD 边上的中线,
∴AE⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴△ADE 为直角三角形.
有一个角等于90°的三角形是直角三角形
命题点一　等腰三角形的性质与判定
(2024·河北)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 (　　)
A.作∠APB的平分线PC,交AB于点C
B.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BC
C.取AB中点C,连接PC
D.过点P作PC⊥AB,垂足为C
(2023·河北)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是 (　　)
A.北偏东55° B.北偏西55° C.北偏东35° D.北偏西35°
命题点二　等边三角形的性质与判定
(2023·河北)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N 分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有 (　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.3 个以上
命题点三　直角三角形的性质与判定
(2023·河北)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是 (　　)
A.1,4,5 B.2,3,5
C.3,4,5 D.2,2,4
(2023·河北)如图,在Rt△ABC中,AB=4,点M是斜边BC的中点,以AM为边作正方形AMEF,若S正方形AMEF=16,则S△ABC= (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
命题点四　等腰直角三角形的性质与判定
(2023·河北)如图,从笔直的公路l旁一点P出发,向西走6 km到达l;从点P出发向北走6 km也到达l.下列说法错误的是 (　　)
A.从点P向北偏西45°走3 km到达l
B.公路l的走向是南偏西45°
C.公路l的走向是北偏东45°
D.从点P向北走3 km后,再向西走3 km到达l
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②60°　③60°　④90°　⑤一半
⑥一半
对应练习
1.(1)50°　(2)40°　(3)4　(4)50°或80°
(5)16或17　(6)等边　4
解析:(2)∵AB=AC,点D为BC的中点,
∴∠BAC=2∠BAD=40°.
(3)∵AB=AC,点D为BC的中点,∴∠ADB=90°.
∵BC=6, ∴BD=BC=×6=3.
在Rt△ABD中,根据勾股定理可得,AD==4.
(4)若底角为50°,则∠BAC=180°-50°-50°=80°;若顶角为50°,则∠BAC=50°.
(5)若5为底边,则三边为5,6,6,周长为17;若5为腰,则三边为5,5,6,周长为16.
(6)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形; S△ABC=×42=4.
2.(1)①40°　②　③4　④4　(2)4
解析:(1)①∵∠BAC=90°,∠B=40°,∴∠C=90°-40°=50°.
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-50°=40°.
②∵AB=4,AC=3,
∴根据勾股定理可得,BC=5, 由AB·AC=BC·AD可得,3×4=5AD,∴AD=.
③在Rt△ABC中,∵∠B=30°,∴BC=2AC,设AC=x,则BC=2x, ∴根据勾股定理可得方程:x2+62=(2x)2,∴x=2(负值舍去),∴BC=4.
④在Rt△ADE中,根据勾股定理可得,AE==2,
根据斜边上的中线等于斜边的一半可得,BC=2AE=4.
(2)如图,连接CD,设AC=x,
∵AB=2AC,
∴AB=2x.
∵AD=3,根据勾股定理,得CD=.
∵DE垂直平分BC,∴CD=BD.
∵AB-AD=BD,
∴2x-3=,解得x=0(舍去)或x=4,故AC=4.
河北中考·真题体验
1.B　解析:过线段外一点作已知线段的垂线,不能保证也平分此条线段,不符合题意.故选B.
2.D　解析:甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,∴乙的航向不能是北偏西35°.故选D.
3.D　解析:如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°.
∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF都是等边三角形.∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM+∠MPO=∠OPN+
∠MPO=60°.∴∠EPM=∠OPN.
在△PEM和△PON中,
∴△PEM≌△PON(ASA).
∴PM=PN.∵∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形.
∴只要∠MPN=60°,则△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个.故选D.
4.B　解析:根据题意,设三个正方形的边长分别为a,b,c.由勾股定理,得a2+b2=c2.A.∵1+4=5,则两直角边分别为1和2,则面积为×1×2=1.B.∵2+3=5,则两直角边分别为和,则面积为.C.∵3+4≠5,则不符合题意.D.∵2+2=4,则两直角边分别为和,则面积为=1,∵>1∴B选项符合题意.故选B.
5.B　解析:∵S正方形AMEF=16,∴AM==4.∵Rt△ABC中,点M是斜边BC的中点,∴BC=2AM=8.∴AC==4.
∴S△ABC=×AB×AC=×4×4=8.故选B.
6.A　解析:如图,根据题意得△PAB是腰长为6 km的等腰直角三角形,由勾股定理,得AB==6(km),∵PC⊥AB,∴PC=3 km,则从点P向北偏西45°走3 km到达l,故选项A错误;公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,故选项B,C正确;取PB的中点D,则PD=PB=3 km,从点P向北走3 km后到达点D,此时CD为△PAB的中位线,则CD=AP=3 km,故再向西走3 km到达l,故选项D正确.故选A.

展开更多......

收起↑