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第18课时　三角形的基本性质
考点一　三角形的分类及性质
三角形的分类
(1)按边分
(2)按角分
三边关系
③　　　　　　　　　　　,④　　　　　　　　　　　.
内角和定理
⑤　　　　　　　　　　　　.
内外角关系
(1)三角形的一个外角⑥　　　　与它不相邻的两个内角的和.
(2)三角形的一个外角⑦　　　　与它不相邻的任意一个内角.
边角关系
在同一个三角形中,等边对等角,大边对⑧　　　　,小边对小角.
三角形具有稳定性.
① 如图给出的三角形有一部分被遮挡,则这个三角形可能是 (　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
② (2023·衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 (　　)
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cm D.4 cm,5 cm,6 cm
③ 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD∥AB,∠ACD=40°,则∠B的度数为 (　　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
④ (冀教七下P113变式)如图,在△ABC中,CE是外角∠ACD的平分线.
(1)若AB=2,AC=3,则BC边长度的取值范围是　　　　.
(2)若∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,则∠B=　　　　,∠ACD=　　　　.
(3)若∠A=60°,∠B=80°,则∠ECD=　　　　.
考点二　三角形中的重要线段
四线 图形 性质 备注
中线 D是BC的中点 BD=⑨　　　= ⑩　　　　BC, S△ABD=S△ACD 重心:三角形三条中线的交点
高 线段AD 是△ABC的高 AD⊥　　　, 即∠ADB= ∠ADC=90° 垂心:三角形三条高线的交点
角平 分线 AD平分∠BAC ∠1=　　　= ∠BAC 　　 内心:三角形的三条角平分线的交点,到三角形三边的距离相等,内心即三角形内接圆的圆心(尺规作图可用)
四线 图形 性质 备注
DE是△ABC的 中位线 　　　∥BC 且DE=　　BC 当在三角形中遇到中点时,常构造三角形的中位线,进一步利用线段平行或倍分关系解决问题,可简单概括为“已知中点找中位线”,在平行四边形或菱形中,边上有中点时,常连接边的中点与对角线的交点构造中位线
⑤ (冀教七下P111变式)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是BC的中点,连接 DE,BD.
(1)若S△ABC=10,则S△BDE=　　　　.
(2)若∠ABC=58°,∠C=30°,则∠CDE=　　　　°.
(3)若AB=6,BC=8,则DE=　　　　.△BCD与△ABD的周长之差为　　　　.
⑥ (一题多设问)如图,在△ABC 中,CD,CF分别是AB 边上的高线、中线,CE是∠ACB的平分线.
(1)若∠B=36°,则∠BCD的度数为　　　　°.
(2)若∠A=70°,∠B=30°,则∠BCE=　　　　,∠DCE=　　　　.
(3)若AC=9,△BCF的周长比△ACF的周长多4,则BC的长为　　　　.
(4)若AB=6,CD=4,①S△ABC=　　　　,S△BCF=　　　　 ;②BF=6EF,则S△CEF=　　　　.
已知△ABC.
(1)AB=5,AC=3.
①如图1,若△ABC的周长为奇数,则BC的最大值是　　　　.
②如图2,若 AD 是△ABC的中线,则AD的取值范围是　　　　.
图1　 图2 　图3
(2)如图3,若AD,AF分别是△ABC的角平分线和高,∠C=60°,∠B=40°,则∠DAF的度数为　　　　.
(3)AD,AF分别是△ABC的中线和高.
①如图4,若△ABC的面积为80,BD=10,则AF的长为　　　　;
图4　 图5
②如图5,BE是△ABD的角平分线,∠BED=40°,∠BAD=25°,取AC的中点G,连接DG,DG与AF有怎样的数量关系
(4)已知AD为△ABC的角平分线,且DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.
图6　 　图7
①如图6,若AB+AC=10,DE=3,则S△ABC=　　　　;
②如图7,连接EF,与AD相交于点O.求证:AD垂直平分EF.
(1)①7　②1(3)①8
②解:∵∠BED=∠ABE+∠BAE,
∠BED=40°,∠BAD=25°,
∴∠ABE=15°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABF=30°.
又∵AF是△ABC的高,
∴AB=2AF.
∵D是BC的中点,G是AC的中点,
∴DG是△ABC的中位线,
∴AB=2DG.
∴DG=AF.
(4)①15
②证明:∵AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,即DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).
∴AE=AF.
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∵DE=DF,
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∴AD垂直平分EF.
已知,直线CD∥AB,AB=5,点P是直线 CD上的一动点,连接 PA,PB,点E,F分别为 PA,PB的中点,连接EF.
(1)EF的长为　　　　,解决此问的依据是　 　 　　　.
(2)如图1,若∠PAB =90°,AF 为∠PAB的平分线,直接写出∠FAB 的度数及点F到AB的距离.
图1
(3)如图2,若 PA 平分∠CPB,连接 AF,求 PF 的长度.
图2
(4)嘉琪说,无论点P在何处,△PEF 的面积不变.她的说法是否正确 若正确,请说明理由.
(5)如图3,若点 P在线段 AB的垂直平分线上,FG垂直平分 PB,交 PA 于点 G,连接 BG,△PAB的周长为17,求△ABG的周长.
图3
(1)　三角形的中位线定理
(2)解:∠FAB=45°,点F到AB的距离为.
(3)解:∵PA平分∠CPB,
∴∠CPA=∠APB.
∵CD∥AB,∴∠CPA=∠PAB,
∴∠APB=∠PAB,
∴BP=AB=5.
∵F为PB的中点,
∴PF=BP=.
(4)解:正确.理由如下:
如图,过点P作PM⊥AB于点M,交EF于点N,
∵点E,F分别为PA,PB的中点,
∴EF∥AB且EF=AB.
∴PM⊥EF,△PEF∽△PAB,
∴==.
∵CD∥AB,∴PM为定值,
∴PN为定值.
∵EF=AB,
S△PEF=EF·PN=PN,
∴无论点P在何处,△PEF的面积不变.
(5)解:∵点P在AB的垂直平分线上,∴PA=PB.
∵FG垂直平分PB,∴PG=BG.
∵△PAB的周长为17,
∴AP+AB+BP=17.
∵AB=5,∴AP=6.
∴△ABG的周长=AB+BG+AG=AP+AB=6+5=11.
命题点一　三角形的分类及性质
一、三角形的稳定性
(2024·河北)下列图形具有稳定性的是 (　　)
A　 B　 C　 D
二、三角形的内外角关系
(2022·河北)如图,平面上直线a,b分别过线段OK的两端点(数据如图),则a,b 相交所成的锐角是 (　　)
A.20° B.30° C.70° D.80°
(2023·河北)如图,直线l1∥l2,菱形ABCD和等边三角形EFG在l1,l2之间,点A,F分别在l1,l2上,点 B,D,E,G 在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β等于 (　　)
A.42° B.43° C.44° D.45°
(2023·河北)如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠A,∠B,∠E保持不变.为了舒适,需调整∠D的大小,使∠EFD=110°,则图中∠D应　　　(填“增加”或“减少”)　　　　°.
(2023·河北)如图,已知∠AOB=7°,一条光线从点A发出后射向OB边.若光线与OB边垂直,则光线沿原路返回到点A,此时∠A=90°-7°=83°.当∠A<83°时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO,光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A,此时∠A=　　　　°.
……
若光线从点A 发出后,经若干次反射能沿原路返回到点A,则锐角∠A的最小值=　 °.
三、三角形的三边关系
(2023·河北)如图,直线l,m相交于点O,P为这两直线外一点,且OP=2.8.若点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,则P1,P2之间的距离可能是 (　　)
A.0 B.5 C.6 D.7
(2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线 AC 的长为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2013·河北)如图1,M是铁丝AD的中点,将该铁丝首尾相接折成△ABC,且∠B = 30°,∠C = 100°,如图2.则下列说法正确的是 (　　)
图1 图2
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上,且距点B较近,距点C较远
D.点M在BC上,且距点C较近,距点B较远
命题点二　三角形中的重要线段
(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的 (　　)
A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线
(2023·河北)如图,点A,B为定点,定直线l∥AB,P是l上一动点,M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:
①线段MN的长;②△PAB的周长;③△PMN的面积;④直线MN,AB之间的距离;⑤∠APB 的大小.
其中会随点P的移动而变化的是 (　　)
A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤
(2023·河北)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,并分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得 MN=200 m,则 A,B 间的距离为　　　　m.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①等边三角形　②直角三角形　③任意两边之和大于第三边　④任意两边之差小于第三边　⑤三角形三个内角的和等于180°　⑥等于　⑦大于　⑧大角　⑨CD
⑩　BC　∠2　DE　
对应练习
1.B
2.D　解析:A.1 cm+2 cm=3 cm,不符合题意;B.3 cm+5 cm=8 cm,不符合题意;C.4 cm+5 cm=9 cm<10 cm,不符合题意;D.4 cm+5 cm=9 cm>6 cm,符合题意.故选D.
3.B
4.(1)1解析:(1)3-2(2)∵∠ACB=50°,∠A=∠B+10°,∠A+∠B+∠ACB=180°,
∴∠B+10°+∠B+50°=180°,解得∠B=60°,
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ACD=180°-50°=130°.
(3)∵∠A=60°,∠B=80°,
∴∠ACD=∠A+∠B=60°+80°=140°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠ECD=∠ACD=×140°=70°.
5.(1)　(2)92°　(3)3　2
解析:(1)∵D是AC的中点,E是BC的中点,
∴S△BDC=S△ABC=×10=5,
S△BDE=S△BDC=×5=.
(2)∵∠ABC=58°,∠C=30°,
∴∠A=180°-58°-30°=92°.
∵D是AC的中点,E是BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∴∠EDC=∠A=92°.
(3)∵D是AC的中点,E是BC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE=AB=×6=3;
∵AB=6,BC=8,
∴C△BCD-C△ABD=BC-AB=8-6=2.
6.(1)54　(2)40°　20°　(3)13
(4)①12　6　②1
解析:(1)∵CD是AB 边上的高线,
∴∠BDC=90°.
∵∠B=36°,
∴∠BCD=90°-36°=54°.
(2)∵ ∠A=70°,∠B=30°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-30°=80°.
∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠BCE=∠ACE=×80°=40°.
∵∠ACD=90°-∠A=90°-70°=20°,
∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=40°-20°=20°.
(3)∵CF是AB 边上的中线,
∴AF=BF.
∵△BCF的周长=BC+BF+CF,△ACF的周长=AC+AF+CF,C△BCF-C△ACF=4,
∴BC-AC=4,即BC-9=4,解得BC=13.
(4)①∵CD是AB 边上的高线,AB=6,CD=4,
∴S△ABC=AB·CD=×6×4=12.
∵CF是AB 边上的中线,
∴S△BCF=S△ABC=×12=6;
②∵BF=6EF,
∴S△CEF=S△BCF=×6=1.
河北中考·真题体验
1.A
2.B
3.C　解析:如图,∵∠ADE=146°,∴∠ADB=180°-∠ADE=34°.
∵∠α =∠ADB+∠AHD,∴∠AHD=
∠α-∠ADB=50°-34°=16°.
∵l1∥l2,∴∠GIF=∠AHD=16°.
∵∠EGF=∠β+∠GIF,
∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°.故选C.
4.减少　10　解析:如图,延长EF交CD于点G.∵∠A=50°,∠B=60°,∴∠ACB=70°=∠DCE.∴∠DGF=∠GCE+∠E=70°+30°=100°.∵∠EFD=∠D+∠DGF=∠D+100°=110°,∴∠D=10°.∴∠D应减少10°.
5.76　6　解析:当A1A2⊥OA时,∠2=90°-7°=83°.∴∠1=∠2=83°,
又∵∠1=∠O+∠A,
∴∠A=∠1-∠O=83°-7°=76°.
如图,设光线经过若干次反射能沿原路返回到点A,则最后的光线An-1An⊥OA,则∠AnAn-1O=90°-7°=83°,由反射角等于入射角可推出∠BAn-1An-2=∠AnAn-1O=83°,∴∠An-1An-2An=83°-7°=76°,即∠An-1An-2O=90°-2×7°=90°-14°=76°①,同理可得∠An-3An-2A=∠An-1An-2O=76°,∠BAn-3An-4=∠An-2An-3O=76°-7°=69°,则∠An-3An-4O=69°-7°=90°-2×14°=62°②,
以此类推,∠An-5An-6O=90°-3×14°=48°③,
……
∴当∠A1AO=90°-6×14°=6°时,锐角∠A取得最小值6°.
6.B　解析:如图,连接OP1,OP2,P1P2.
∵点P关于直线l,m的对称点分别是点P1,P2,∴OP1=OP=2.8,OP=OP2=2.8.∵OP1+OP2>P1P2.∴07.B　解析:在△ACD中,AD=CD=2,∴2-28.C　解析:如图,取BC的中点E,则BE=CE,
∵∠C=100°,∠B=30°,∴AB>AC.
∴AB+BE>AC+CE.
由三角形三边关系,得AC+BC>AB,
∴AB∴AD的中点M在BE上,即点M在BC上,且距点B较近,距点C较远.故选C.
9.B　解析:由作图可知BD⊥AC,故线段BD是△ABC的高.故选B.
10.B　解析:∵点A,B为定点,M,N分别为PA,PB的中点,∴MN是△PAB的中位线.∴MN=AB.由于AB长度不变,则线段MN的长度也不变,故①不符合;PA,PB的长度随点P的移动而变化,∴△PAB的周长会随点P的移动而变化,故②符合;∵MN∥AB,∴△PMN∽△PAB.∴.∵MN,AB的长度不变,l∥AB,∴△PAB的面积不变,∴△PMN的面积不变,故③不符合;∵△PMN的面积不变,MN的长度不变,∴点P到MN的距离不变.∵l∥AB,∴点P到AB的距离不变.∴MN与AB之间的距离不变.∴直线MN,AB之间的距离不随点P的移动而变化,故④不符合;∠APB的大小随点P的移动而变化,故⑤符合.综上所述,会随点P的移动而变化的是②⑤.故选B.
11.100　解析:∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位线.∴AB=MN=100 m.

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