资源简介

第21课时　相似三角形
考点一　比例线段
比例线段和比例中项
线段的比 两条线段的比是两条线段的长度之比
比例中项 如果=,即b2=ac,我们就把b叫做a,c的比例中项
比例的性质
性质1:= ad=①　　　　(b,d≠0).
性质2:如果=,那么=(b,d≠0).
性质3:如果==…=(b,d,…,n≠0,b+d+…+n≠0),那么=②　　　　.
黄金分割:如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果=③　　　　,那么称线段AB被点C黄金分割,C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,黄金比=≈0.618.
平行线分线段成比例
(1)定理:两条线段被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.如图1,直线a∥b∥c,则=.
图1　 图2 　 图3
(2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.如图2,在△ABC中,DE∥BC,则=或=.如图3,DE∥BC,则=.
① 已知四条线段a,2,6,a+1成比例,则a的值为　　　　.
② (人教九下P31变式)如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4.若EG=4,则AE=　　　　,GC=　　　　.
③ 若==(b+d≠0),则=　　　　,=　　　　.
考点二　相似三角形的性质及判定
相似三角形的性质
性质1 相似三角形对应边成④　　　　,对应角相等
性质2 相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例
性质3 相似三角形的周长比等于⑤　　　　,面积比等于相似比的⑥　　　　
相似三角形的判定
条件 模型
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形⑦　　　 △ABC∽△ADE
⑧　　　　分别相等的两个三角形相似 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC
⑨　　　　成比例的两个三角形相似
两边成比例且⑩　　　　相等的两个三角形相似
一组 锐角 对应 相等 △BCD∽△ACB(∠1=∠2) △ADE∽△ABC △ABC∽△DCE △CAB∽△DEC (∠1=∠2)
两条边对
④ 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上一点,AD=2,BD=1.
(1)增加一个条件(不添加辅助线):　　　　,使△ADE∽△ACB.
(2)若△ADE∽△ABC.
①对应边、角的关系为:=　　　　= 　　　　,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　;
②C△ADE∶=　　　　　,S△ADE∶S△ABC=　　　　　　.
(3)若DE∥BC,则 DE∶BC=　　　　　.
(4)若△ADE与△ABC相似,AC=4,则AE=　　　　　.
考点三　相似三角形的实际应用
运用相似三角形的判定条件和性质解决实际问题的方法和步骤
(1)将实际问题转化为相似三角形问题.
(2)找出一对相似三角形.
(3)根据相似三角形的性质,表示出相应的量,并求解.
常见题目类型
(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解.
(2)计算从底部不能直接测量的物体的高度.
(3)计算不能直接测量的河的宽度.
⑤ 如图,AD,BC为两路灯,身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间,两人相距6.5 m,小明站在P处,小亮站在Q处,小明在路灯BC下的影长为2 m,已知小明身高1.8 m,路灯BC高9 m.小明在路灯BC下的影子顶部恰好位于路灯AD的正下方,小亮在路灯AD下的影子顶部恰好位于路灯BC的正下方.
(1)计算小亮在路灯AD下的影长.
(2)计算AD的高.
考点四　图形的位似
定义 两个相似图形,如果对应点的连线交于同一点,对应边平行或在同一条直线上,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做　　　　,这时的相似比又称　　　　
性质 (1)任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于　　　　. (2)任意一组对应点所在直线都相交于一点. (3)对应边互相平行或在同一条直线上. (4)位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的所有性质
画图 步骤 (1)确定位似中心. (2)连接原图形中关键点与　　　　. (3)按相似比进行取点. (4)顺次连接各点,所得的图形就是所求的图形
基本 图形 ①　 ② ③
以原点为位似中心的位似变换中点的坐标的变化规律:一般地,在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,画出一个与原图形位似的图形,使它与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)
位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.
⑥ 如图,已知△ABC与△DEF位似,且相似比为k.
(1)k=　　　　.
(2)位似中心P的坐标为　　　　.
(3)△PAC与△PDF的周长比为　　　　,
△DEF与△ABC的面积比为　　　　.
考点五　相似多边形及其性质
定义 对应边　　　　,对应角相等的两个多边形相似
性质 (1)对应边成比例,对应角　　　　. (2)对应对角线的比、周长的比等于　　　　. (3)面积比等于　　　
⑦ 已知两个相似多边形的相似比为5∶7,若较小的一个多边形的周长为35,则较大的一个多边形的周长为　　　　;若较大的一个多边形的面积是4,则较小的一个多边形的面积是　　　　.
在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC所在直线上的点,连接DE.
(1)如图1,若D,E分别是AB,AC 的中点,△ADE 的周长为8,则△ABC的周长为　　　　.
图1　　 图2　 　图3
(2)将图1中△ADE绕点A逆时针旋转到如图2所示位置,连接BD,CE,则图2中相似三角形为△ABC∽△　　　　和△ABD∽△　　　　,若BD=6,=,则CE=　　　　.
(3)如图3,若∠ADE=∠ACB,且AD=3, AC=5,CE=1,则 AB 的长为　　　　.
(4)如图4,点E与点C重合时,若AC2=AB·AD,且=,则S△ABC∶S△ACD=　　　　.
图4　 　　 图5　 　　图6　 　　图7
(5)如图5,ED∥BC,=,△ABC的面积为18,则△ADE的面积为　　　　.
(6)如图6,==,则图6中的相似三角形为　　　∽　　　,若DE=4,则BC的长为　　　　.
(7)如图7,BC∥ED,连接CD,过点A作AF⊥CD于点F,若BC⊥CD,=,则的值为　　　　.
(8)在(7)的条件下,小云猜想图7中有4对相似三角形,分别为△ABC∽△ADE,△DBC∽△DAF,△CAF∽△CED,△DCB∽△CDE.
小晶:△DCB∽△CDE不确定是否存在.
小南:那我们用以前学过的反证法来验证一下吧.
下面是证明推理过程,请补充证明过程并在括号中填写依据.
证明:假设△DCB∽△CDE存在,
∴==1(　　　　　　),但由题干条件已知　　　　,
∴假设　　　　(填“成立”或“不成立”),
∴　　　　(填“存在”或“不存在”)△DCB∽△CDE.
(1)16
(2)ADE　ACE　
(3)
(4)9∶4
(5)8
(6)△ADE
△ACB　6
(7)
(8)相似三角形对应边成比例　=　不成立
不存在
命题点一　比例线段
(2024·河北样题)已知2x=3y(y≠0),则下列结论成立的是 (　　)
A.= B.= C.= D.=
命题点二　相似三角形的性质及判定
(2023·河北)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比 (　　)
A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变
(2023·河北)如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (　　)
A B C D
(2024·河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则
(1)AB与CD是否垂直 　　　　.(填“是”或“否”)
(2)AE=　　　　.
(2024·河北)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为　　　　.
(2)△B1C4D3的面积为　　　　.
(2023·河北)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=2,CD=12,AD=6,∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.将线段MA绕点M顺时针旋转n°(00),连接A'P.
(1)若点P在AB上,求证:A'P=AP.
(2)如图2,连接BD.
①求∠CBD的度数,并直接写出当n=180时,x的值;
②若点P到BD的距离为2,求tan∠A'MP的值.
(3)当 0图1　 图2 备用图
命题点三　相似三角形的实际应用
(2023·河北)图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图2所示,此时液面AB= (　　)
　　　　　　　 图1　 　图2
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
命题点四　图形的位似
(2023·河北)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是 (　　)
A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
(2011·河北)如图,在6×8的网格图中,每个小正方形边长均为1,点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比为1∶2.
(2)连接(1)中的AA',求四边形AA'C'C的周长.(结果保留根号)
命题点五　相似多边形及其性质
(2022·河北)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:
甲:将边长为3,4,5的三角形按如图所示的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.
乙:将邻边为3和5的矩形按如图所示的方式向外扩张,得到新矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.
对于两人的观点,下列说法正确的是 (　　)
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对、乙不对 D.甲不对、乙对
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①bc　②　③　④比例　⑤相似比　⑥平方　⑦相似　⑧两角　⑨三边
⑩夹角　位似中心　位似比　相似比　位似中心　成比例　相等
相似比　相似比的平方
对应练习
1.3　解析:由题意,得a∶2=6∶(a+1),∴a(a+1)=12,解得a=3或a=-4(不合题意,舍去).
2.　　解析:∵DE∥FG∥BC,
∴AE∶EG∶GC=AD∶DF∶FB=2∶3∶4.
∵EG=4,
∴AE=,GC=.
3.　
4.(1)∠AED=∠B(答案不唯一)
(2)①　　∠B　∠C　②2∶3
4∶9　(3)2∶3　(4)或
解析:(4)若△ADE∽△ABC,
则,则,解得AE=.
若△ADE∽△ACB,
则,∴,解得AE=.
故AE=或.
5.解:(1)∵EP⊥AB,CB⊥AB,
∴∠EPA=∠CBA=90°.
∵∠EAP=∠CAB,
∴△EAP∽△CAB,
∴,
∴,
∴AB=10(m),
∴BQ=10-2-6.5=1.5(m).
即小亮在路灯AD下的影长为1.5 m.
(2)∵FQ⊥AB,DA⊥AB,
∴∠FQB=∠DAB=90°.
∵∠FBQ=∠DBA,
∴△BFQ∽△BDA,
∴,
∴,
∴DA=12(m).即AD的高为12 m.
6.(1)　(2)(3,6)　(3)1∶2　4∶1
解析:(1)AB=2,BC=,AC=,ED=4,EF==2,DF==2,
∴k=.
(2)如图所示,
位似中心P的坐标为(3,6).
(3)根据位似图形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方,故△PAC与△PDF的周长比为1∶2,△DEF与△ABC的面积比为4∶1.
7.49　　解析:根据相似多边形的周长比等于相似比,可列5∶7=35∶较大多边形的周长,解得较大多边形的周长=49;
根据相似多边形的面积比等于相似比的平方,可列=2,解得较小多边形的面积=.
河北中考·真题体验
1.A
2.D　解析:∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A'B'C',∴△ABC与△A'B'C'的三边对应成比例,∴△ABC∽△A'B'C'.∴∠B=∠B'.故选D.
3.C　解析:A中阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故A选项不符合题意;B中阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两个三角形相似,故B选项不符合题意;C中两个三角形的对应边不成比例,故两个三角形不相似,故C选项符合题意;D中两个三角形对应边成比例且夹角相等,故两个三角形相似,故D选项不符合题意.故选C.
4.(1)是　(2)
解析:(1)如图1,
图1
在△ACM和△CFD中,
∴△ACM≌△CFD(SAS).
∴∠CAM=∠FCD.
∵∠CAM+∠CMA=90°,
∴∠FCD+∠CMA=90°.
∴∠CEM=90°.∴AB⊥CD.
(2)如图2,
图2
在Rt△ABH中,
AB==2.
∵AC∥BD,
∴∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE.
∴△ACE∽△BDE.
∴,即.
∴AE=.
5.(1)1　(2)7
解析:(1)如图,连接B1D1,B1D2,B1C2,B1C3,C3D3,
∵△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1.
∵点A,C1,C2,C3是线段CC4的五等分点,∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4.
∵点A,D1,D2是线段DD3的四等分点,∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3.
∵点A是线段BB1的中点,
∴AB=AB1=BB1.
在△AC1D1和△ACD中,
∴△AC1D1≌△ACD(SAS),
∴=S△ACD=1,∠C1D1A=∠CDA,
∴△AC1D1的面积为1.
(2)在△AB1D1和△ABD中,
∴△AB1D1≌△ABD(SAS),
∴=S△ABD=1,∠B1D1A=∠BDA.
∵∠BDA+∠CDA=180°,
∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,
∴C1,D1,B1三点共线,
∴+=1+1=2.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴=4=4×2=8.
∵AD1=D1D2=D2D3,=1,
∴=3=3×1=3.
在△AC3D3和△ACD中,
=3=,∠C3AD3=∠CAD,
∴△C3AD3∽△CAD,
∴=2=32=9,
∴=9S△CAD=9×1=9.
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴×9=12,
∴+=12+3-8=7,
∴△B1C4D3的面积为7.
6.解:(1)证明:∵将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0∴A'M=AM.
∵∠A'MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P,
∴∠A'MP=∠AMP .
又∵PM=PM,
∴当点P在AB上时,
△A'MP≌△AMP(SAS).
∴A'P=AP.
(2)①∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10.
∵BC=2,CD=12,
∴BC2+BD2=(2)2+102=144,CD2=122=144.
∴BC2+BD2=CD2.
∴∠CBD=90°.
当n=180时,x=13.
解析:如图1,当n=180时,设PM与BD相交于点N,
图1
∵MP平分∠A'MA,∴∠PMA= 90°.
∴PM∥AB.∴△DNM∽△DBA.
∴.
∵DM=2,DA=6,
∴.
∴DN=,MN=.
∴BN=BD-DN=.
∵∠PBN=∠NMD=90°,∠PNB=∠DNM,
∴△PBN∽△DMN.
∴,即.
解得PB=5.
∴x=AB+PB=8+5=13.
②如图2,当点P在AB上时,过点P作PQ⊥BD于点Q,则PQ=2.
图2
∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10,sin∠DBA=.
∴BP=,
∴AP=AB-BP=8-.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=.
如图3,当P在BC上时,则PB=2,过点P作PE⊥AB交AB的延长线于点E,延长MP交AB的延长线于点H.
图3
∵∠PEB=∠CBD=∠DAB=90°,
∴∠EPB=90°-∠PBE=∠DBA.
∴△PEB∽△BAD.
∴,
即.
∴PE=,BE=.
∴AE=AB+BE=.
∵PE⊥AB,DA⊥AB,
∴PE∥AD.∴△HPE∽△HMA.
∴.
∴.
解得HE=.
∴tan∠A'MP=tan∠AMP=tan∠EPH=.
综上所述,tan∠A'MP的值为或.
(3)点A'到直线AB的距离为.
解析:如图4,过点A'作IK∥AD交AB于点I,过点M作MK⊥IK于点K,则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得IP=(4-y)=x-.
由,可得,
化简得16y+x2y=8x2,即
(x2+16)y=8x2,
∴y=.
图4
如图5,当A'P⊥BA时,四边形A'PAM为正方形,
图5
A'到直线AB的距离为A'P=MA=4,此时x=4.
当x=4时,y==4,满足题意.
如图6,过点A'作A'I⊥AB于点I,过点M作MK⊥A'I于点K,
则A'I为点A'到直线AB的距离,设A'I=y.
易得△A'IP∽△MKA',
∴,
即,由,可得
IP=(y-4)=-x.
由,可得,
化简得16y+x2y=8x2,
即(x2+16)y=8x2,
∴y=.
图6
综上,当07.C　解析:如图1,过点O作OM⊥CD,垂足为M,如图2,过点H作HN⊥AB,垂足为N.
∵CD∥AB,∴△CDO∽△ABH,相似比为.∵OM=15-7=8(cm),HN=11-7=4(cm),∴.∴AB=3 cm.故选C.
　　　　 图1　　　　图2
8.A
9.解:(1)如图.
(2)AA'=2,CC'=2.
在Rt△OA'C'中,OA'=2,OC'=2,
∴A'C'==2,
在Rt△OAC中,OA=4,OC=4,
∴AC==4,
∴四边形AA'C'C的周长=AA'+A'C'+AC+CC'=2+2+4+2=4+6.
10.A　解析:如图1,根据题意得AB∥
A'B',AC∥A'C',BC∥B'C',
∴∠CAB=∠A',∠ABC=∠B'.
∴△ABC∽△A'B'C'.∴甲说法正确.
如图2,根据题意得AB=CD=3,
AD=BC=5,则A'B'=C'D'=3+2=5,A'D'=B'C'=5+2=7,
∴,,∵≠,∴新矩形与原矩形不相似.∴乙说法正确.故选A.
　　　 图1　　　　 　图2

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