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第23课时　多边形
考点一　多边形(n≥3)
定义:平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
性质
(1)内角和定理:n边形的内角和等于①　　　　.
(2)外角和定理:n边形的外角和等于②　　　　.
(3)对角线:过n边形一个顶点可引③　　　　条对角线,把这个n边形分成④　　　　个三角形,n边形共有对角线⑤　　　　条.
根据多边形的性质,可得n边形的内角中最多有3个锐角.
① (人教八上P25变式)关于n边形,甲、乙、丙三位同学有以下三种说法:
甲:五边形的内角和为520°;
乙:正六边形每个内角为130°;
丙:七边形共有对角线14条.
(1)判断三种说法是否正确,并对其中你认为不对的说法用计算进行说明.
(2)若n边形的对角线共有35条,求该n边形的内角和.
考点二　正多边形(n≥3)
定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
性质
(1)正多边形的各边⑥　　　　,各角⑦　　　　.
(2)正n边形的每一个内角为⑧　　　　,每个外角为⑨　　　　.
(3)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形,不是中心对称图形;当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形,正n边形有⑩　　　　条对称轴.
(4)正n边形有一个外接圆,有一个内切圆,它们是同心圆.
正多边形和圆的关系
(1)设正n边形的边长为a,外接圆半径为R,则边心距r=.
(2)正n边形的周长l=na.
(3)正n边形的面积S=nar=lr.
(4)中心角θ=.
正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径、边长的一半、边心距组成的直角三角形,然后再利用勾股定理求解.
要使正多边形能进行没有空隙的平面镶嵌,只需使的结果为整数即可,即的结果为整数,所以这样的图形有三种,分别为正三角形、正方形、正六边形.
② (人教九上P109变式)如图,正三角形的边长为6 cm,剪去三个角后成一个正六边形.
(1)求这个正六边形的边长.
(2)求这个正六边形的边心距.
(3)设这个正六边形的中心为O,一边为AB,则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的 (作图表示出来)并求出这条线段AB划过的面积.
如图,正六边形ABCDEF的边长为2,点O为其中心,连接AC,OC,AD,边DC与边AB的延长线交于点G,连接OG,交BC于点H.
(1)∠BAC=　　　°,AC的长为　　　.
(2)∠COD=　　　°, 点O到边CD的距离为　　　.
(3)∠BGC=　　　°,△ACD的形状为　 　　　　.
(4)设△ACG的周长为a,四边形ADEF的周长为b,则a　　　　b(填“>”“<”或“=”).
(5)阴影部分的面积为　　　　.
(1)30　2
解析:∵六边形ABCDEF是正六边形,∴AB=BC,∠ABC=120°,
∴∠BAC= ×(180°-120°)=30°.
∵AB=BC=2,∴AC=2×2cos 30°=2.
(2)60　
解析:∠COD==60°.
如图,在等边三角形OCD中,过点O作OM⊥CD,垂足为M,∴∠COM=∠COD=30°,
∴tan 30°=,CM=OC,∴OM==.
(3)60　直角三角形
解析:由外角的定义可知,∠GBC=∠BCG=60°,
∴∠BGC=180°-60°-60°=60°.
由(1)知,∠ACB=∠BAC=30°,∠ACD=120°-30°=90°,
∴△ACD是直角三角形.
(4)<
解析:由(3)可知,AB=BG=CG=2,
∴△ACG的周长a=AG+CG+AC=4+2+2=6+2,
四边形ADEF的周长b=AD+DE+EF+AF=4+2+2+2=10.
∵(2)2=12<16,∴2<4,∴a(5)
解析:∵△BCG 和△AGD都是等边三角形,AG=2AB=4,
∴S△AGD=×4×4×sin 60°=4,S△BCG=×2×2×sin 60°=,
∵O为AD的中点,
∴S阴影=(S△AGD-S△BCG)=×(4)=.
命题点一　多边形(n≥3)
(2024·河北)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是 (　　)
A.α-β=0 B.α-β<0
C.α-β>0 D.无法比较α与β的大小
(2023·河北)已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°,甲、乙的说法对吗 若对,求出边数n;若不对,说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
命题点二　正多边形(n≥3)
(2024·河北)下列图形为正多边形的是 (　　)
A　　　 B　　　 C　　　 D
(2023·河北)如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,S△AFO=8,S△CDO=2,则S正六边形ABCDEF的值是 (　　)
A.20 B.30
C.40 D.随点O位置而变化
(2022·河北)如图,边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图),则= (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2024·河北)直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF分别相交于点M,N,如图所示,则α+β= (　　)
A.115° B.120° C.135° D.144°
(2023·河北)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则n=　　　　.
(2023·河北)平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠3+∠1-∠2=　　　　°.
(2024·河北)如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.
图1　 　图2
例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而=45°是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.
图2中的图案外轮廓周长是　　　　;
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是　　　　.
(2023·河北)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上,其俯视图如图1,正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上,两侧螺母不动,把中间螺母抽出并重新摆放后,其俯视图如图2,其中,中间正六边形的一边与直线l平行,有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中
(1)∠α=　　　　度.
(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为　　　　.(结果保留根号)
图1 图2
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①(n-2)×180°　②360°　③(n-3)　④(n-2)　⑤　⑥相等　⑦相等
⑧　⑨　⑩n
对应练习
1.解:(1)甲、乙的说法不正确;丙的说法正确.
甲:正五边形的内角和为180°×(5-2)=540°,
乙:正六边形外角和为360°,每个外角为 360°÷6=60°,每个内角为180°-60°=120°.
(2)由题意,得=35,
解得n=10或n=-7(不合题意,舍去),
∴该n边形为十边形,十边形的内角和为180°×(10-2)=1 440°.
2.解:(1)∵正三角形的边长为6 cm,
∴3个边长都相等.
又∵截去三个小等边三角形,
∴各个小三角形的边长也相等,
∴正六边形的边长为6÷3=2(cm).
(2)如图1,连接OA,OB,过点O作OD⊥AB于点D,
∵∠AOB==60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OD=OA·sin 60°=2×(cm),
∴这个正六边形的边心距为 cm.
图1
图2
(3)如图2即为所作.
线段AB划过的面积=π×22-π×()2=π(cm2).
河北中考·真题体验
1.A　解析:∵三角形的外角和与四边形的外角和相等,都等于360°,∴α=β=360°.∴α-β=0.故选A.
2.解:(1)甲的说法对.
∵θ=360°,∴(n-2)×180°=360°.解得n=4.
乙的说法不对.理由:
∵θ=630°,∴(n-2)×180°=630°.解得n=.
∵n为正整数,∴θ不能取630°.
(2)依题意,得(n-2)×180°+360°=(n+x-2)×180°,解得x=2.
3.D
4.B　解析:如图1,连接AC,易知四边形ACDF为矩形,S△AOC=S矩形ACDF,
∵S△AFO=8,S△CDO=2,∴S△ACO=2+8=10.∴S矩形ACDF=10×2=20.如图2,正六边形ABCDEF被分割成6个面积相等的三角形,可知每个三角形的面积为20÷4=5,∴S正六边形ABCDEF=5×6=30.
图1　　 图2
5.C　解析:
如图,设正六边形的中心为O,连接OA,OB,
∵∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,
∴△OAB是等边三角形.易知S正六边形=6S△OAB,∵图中空白处两个直角三角形可拼成一个边长为a的等边三角形,∴S空白=S△OAB.∴=5.故选C.
6.B　解析:∵正六边形每个内角为=120°,
而六边形MBCDEN的内角和为(6-2)×180°=720°,
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB=720°,
∴∠ENM+∠NMB=720°-4×120°=240°.
∵β+∠ENM+α+∠NMB=180°×2=360°,
∴α+β=360°-240°=120°.故选B.
7.12　解析:由题意得×4,解得n=12.经检验,n=12是原方程的解.
8.24　解析:正三角形的每个内角是180°÷3=60°,正方形的每个内角是360°÷4=90°,正五边形的每个内角是(5-2)×180°÷5=108°,正六边形的每个内角是(6-2)×180°÷6=120°,则∠3+∠1-∠2=(90°-60°)+(120°-108°)-(108°-90°)=30°+12°-18°=24°.
9.14　21　解析:当∠BPC=90°时,此时周长为8+8+4-6=14;当∠BPC=144°时,上方图形为正十边形,左方图形为正五边形,右方图形为正五边形,此时周长为10+5+5-6=14;当∠BPC=120°时,上方图形为正六边形,左方图形为正六边形,右方图形为正六边形,此时周长为6+6+6-6=12;当∠BPC=60°时,上方图形为等边三角形,左方图形为正十二边形,右方图形为正十二边形,此时周长为12+12+3-6=21;当∠BPC<60°时,上方图形构不成正多边形,∴会标的外轮廓周长最大为21.
10.(1)30　(2)2　解析:(1)作图如下:
根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和,得∠ACB=60°,∠α=90°-60°=30°.
(2)取中间正六边形的中心为O,作如下图形,
由题意得AG∥BF,AB∥GF,BF⊥AB,
∴四边形ABFG为矩形,
∴AB=GF,
∵∠BAC=∠FGH,∠ABC=∠GFH=90°,
∴△ABC≌△GFH(ASA),
∴BC=FH,
在Rt△PDE中,DE=1,PE=,
易知AG=BF=2PE=2,
由正六边形的结构特征知:
OM=×2,
∵BC=(BF-CH)=-1,
∴AB==3-,
∴BD=2-AB=-1,
∴BE=BD+DE=,
∴ON=OM+BE=2.

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