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第24课时　平行四边形
考点　平行四边形的性质与判定
概念与 图示 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 1.边:(1)两组对边分别平行. (2)两组对边分别相等. 2.角:(1)两组对角分别①　　　　. (2)四组邻角分别②　　　　. 3.对角线:对角线互相③　　　　. 4.对称性:是中心对称图形,但不是轴对称图形
判定 1.边:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2)两组对边分别④　　　　的四边形是平行四边形. (3)一组对边⑤　　　　　的四边形是平行四边形. 2.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 3.对角线:两条对角线互相⑥　　　　的四边形是平行四边形
面积计 算公式 S ABCD=BC· AE=AD·AE
1.平行四边形中辅助线的作法:
(1)连接对角线或平移对角线,构造相等线段或平行.
(2)过顶点作对边的垂线,构造直角三角形.
(3)连接对角线交点与另一边中点或过对角线交点作一边的平行线,构造中位线或平行线.
(4)连接顶点与边上一点或连接顶点与边延长线上的一点,构造相似三角形.
(5)过顶点作对角线的垂线,构造平行或全等三角形.
2.平行四边形中的面积关系:
(1)→S1=S2=S3=S4
(2)→S1=S2
(3)→S1=S2
(4)→S1+S3=S2+S4
(5)→S1·S3=S2·S4
① 如图,在平行四边形ABCD中,AD=8,∠ABC=120°,对角线AC,BD交于点O,AB⊥BD,E是AB的中点,连接OE.
(1)∠BAD=　　　　　.
(2)OE的长为　　　　.
(3)平行四边形ABCD的面积是　　　　.
(4)△ABC的周长为　　　　.
② 如图,四边形ABCD 的对角线AC,BD相交于点O.
(1)若AB ∥ CD,要使四边形ABCD 为平行四边形,则可添加的条件为　　　　.(只填一个)
(2)若AO=CO,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为　　　　.(只填一个)
(3)给出下列五个条件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④∠BAD=∠DCB;⑤AD∥BC.选其中两个条件就能判定四边形ABCD是平行四边形的组合是　　　　.(填序号,只填一组即可)
已知:四边形ABCD是平行四边形,点E是BC边上一点,
(1)如图1,若AE平分∠BAD,∠D=50°,则∠AEC=　　　　.
图1 图2
(2)如图2,若点E是BC边的中点,点O为对角线的交点,△CEO的周长为6,则△ABC的周长为　　　　.
(3)如图3,AE⊥BC于点E,若∠D=45°,AE=4 ,AC=5,则平行四边形ABCD的周长为　　　　.
图3
(4)若AB=2 ,BC=3,∠ABC=60°,O为对角线的交点,则
①平行四边形ABCD的面积为　　　　　,△AOB的面积为　　　　;
②若点E为BC边上一动点,连接AE,DE,则AE+DE的最小值为　　　　.
(5)如图4,若AB⊥AC,AB=8,BD=20,则AC的长为　　　　,AD,BC之间的距离为　　　　.
图4
1.求角度:先将题中的已知角找出来,再结合平行四边形的性质(即对角相等,邻角互补及对边平行),将所求角与已知角逐渐联系起来.
2.求线段长:
(1)根据平行四边形的性质将已知条件转化到一个三角形中,利用勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质或三角形面积公式等进行求解.
(2)根据平行四边形的性质,利用中位线定理、平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质或相似三角形的判定与性质,求线段长或线段比值.
(1)115°
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=50°,
∴∠B=∠D=50°,∠BAD=180°-50°=130°,
∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=∠AEB=65°.
∴∠AEC=180°-65°=115°.
(2)12
解析:∵平行四边形对角线相互平分,且E为BC中点,
∴OE为△ABC的中位线,∴OE=AB.
∵C△CEO=6,C△CEO=OC+OE+CE,
∴C△ABC=AC+AB+BC=2(OC+OE+CE)=2×6=12.
(3)14+8
解析:∵∠D=∠B=45°,AE⊥BC,
∴△ABE为等腰直角三角形,AE=BE=4.
在Rt△AEC中,由勾股定理,得CE===3,∴BC=BE+CE=7,同理在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB=4,
∴C ABCD=2(AB+BC)=2×(4+7)=14+8.
图1
(4)①3　　②
解析:①如图1,过点A作AH⊥BC,垂足为H.
∵∠ABC=60°,∠AHB=90°,∴BH=AB=1.
在Rt△ABH中,由勾股定理,得AH=,
∴S ABCD=BC·AH=3×=3.
过点O作OM∥BC交AB于点M,作ON⊥AB,垂足为N.
∵O为AC的中点,∴OM为△ABC的中位线,∴OM=BC=且∠AMO=60°,∴MN=OM=,
在Rt△OMN中,ON=MN=,
∴S△AOB=AB·ON=×2×=.
图2
②如图2,以BC所在直线为对称轴作A的对称点A',AA'交BC于点F,连接A'D交BC于点E,连接AE,此时AE+DE的值最小,
则BF为AA'的垂直平分线,故BF=1.
在Rt△BAF中,由勾股定理,得AF=,
∴AA'=2AF=2,∵AD=BC=3,
∴在Rt△ADA'中,A'D==,
∴A'D=A'E+DE=AE+DE=.
(5)12　
解析:∵BD=20,∴BO=10,∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得AO=6,故AC=2AO=12.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC==4.
图3
如图3,过点A作AM⊥BC,垂足为M.
S ABCD=AB·AC=BC·AM,
即8×12=4AM,
∴AM=.
如图1,已知平行四边形ABCD,连接BD.
(1)如图2,取BD中点O,作BN=NO,OM=MD, 求证:四边形ANCM为平行四边形.
(2)如图3,作AN⊥BD于点N,CM⊥BD于点M,求证:四边形ANCM为平行四边形.
(3)如图4,作AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD交BD于点N,M,连接AM,CN. 求证:四边形ANCM为平行四边形.
图1　 图2 图3　 图4
图5
(4)如图5,连接AC交BD于点O,过点O作一直线分别交AD,BC于点M,N,AB=13.
①求证:OM=ON;
②当四边形ABNM为平行四边形时,OM的长为多少
涉及动点问题,常见的命题模式是“某线段取何值时,以某四个点为顶点的四边形为平行四边形”,解题时要注意运用逆向思维,即将要判定的平行四边形作为已知条件,利用其性质求线段的长,其要注意正向检验.
(1)证明:如图,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,O为BD的中点,∴OB=OD,OA=OC.
∵BN=NO,OM=MD,∴NO=OM,
∴四边形ANCM为平行四边形.
(2)证明:在题图3中,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM.∵AN⊥BD,CM⊥BD,∴AN∥CM,∠ANB=∠CMD=90°.
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(AAS),∴AN=CM.
又∵AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.
(3)证明:在题图4中,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABN=∠CDM.
∵AN平分∠BAD,CM平分∠BCD,
∴∠BAN=∠BAD,∠DCM=∠BCD,
∴∠BAN=∠DCM.
在△ABN和△CDM中,
∴△ABN≌△CDM(ASA),∴AN=CM,∠ANB=∠CMD,
∴∠ANM=∠CMN,
∴AN∥CM,∴四边形ANCM为平行四边形.
(4)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠MAO=∠NCO.
在△AMO和△CNO中,
∴△AMO≌△CNO(ASA),∴OM=ON.
②∵四边形ABNM为平行四边形,∴AB=MN.
∵OM=ON,∴OM=AB=×13=,
∴当四边形ABNM为平行四边形时,OM的长为.
命题点　平行四边形的性质与判定
(2024·河北)依据所标数据,下列一定为平行四边形的是 (　　)
A B C D
(2023·河北)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.图1~图3是其作图过程.
(1)作BD的垂直平分线交BD于点O.
图1
(2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO.
图2
(3)连接DC, BC, 则四边形ABCD即为所求.
图3
在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是 (　　)
A.两组对边分别平行　 B.两组对边分别相等
C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等
(2023·河北)如图,将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°.嘉淇发现,旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形,并推理如下:
点A,C 分别转到了点C,A处,
而点B转到了点D处.
∵CB=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
小明为保证嘉淇的推理更严谨,想在方框中“∵CB=AD,”和“∴四边形……”之间作补充,下列正确的是 (　　)
A.嘉淇推理严谨,不必补充
B.应补充:且AB=CD
C.应补充:且AB∥CD
D.应补充:且OA=OC
(2023·河北)如图,将 ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=44°,则∠B为 (　　)
A.66° B.104° C.114° D.124°
(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴①　　　　.
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(②　　　　).
∴MD=MB.∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为(　　)
A.∠1=∠3,AAS
B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS
D.∠2=∠3,ASA
(2023·河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形 ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=　　　　.
求证:四边形ABCD是　　　　四边形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证.
(2)按嘉淇的想法写出证明.
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为　　　　　　　　　　　　.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②互补　③平分　④相等　⑤平行且相等　⑥平分
对应练习
1.(1)60°　(2)4　(3)16　(4)12+4　解析:(1)∵在平行四边形ABCD中,∠ABC=120° ,
∴∠BAD=180°-120°=60°.
(2)∵O是AC的中点,E是AB的中点,∴OE是△ABD的中位线,
∴OE=AD=×8=4.
(3)∵在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴AB=AD=×8=4,
在Rt△ABD中,根据勾股定理可得,BD==4.
∴平行四边形ABCD的面积=AB·BD=4×4=16.
(4)∵OB=BD=2,
∴在Rt△ABO中,根据勾股定理可得,OA==2,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=4+8+2×2=12+4.
2.(1)AD∥BC(答案不唯一)　(2)OB=OD(答案不唯一)　(3)①与②(答案不唯一)
解析:(1)四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD为平行四边形,则可添加的条件为AD∥BC.
(2)OB=OD.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(3)共有6组可能:①②;①③;①④;①⑤;②⑤;④⑤.
选择①与②:∵AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(AAS),
∴AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
河北中考·真题体验
1.D
2.C　解析:根据题图1,得出BD的中点O,由题图2,得出OC=AO,可知使得对角线互相平分, 从而得出四边形ABCD为平行四边形,判定四边形ABCD为平行四边形的条件是对角线互相平分.故选C.
3.B　解析:∵CB=AD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.故应补充“且AB=CD”.故选B.
4.C　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠ACD=∠BAC.
由折叠的性质得∠BAC=∠B'AC,
∴∠BAC=∠ACD=∠B'AC=∠1=22°.∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.故选C.
5.D　解析:∵AB=AC,
∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴∠2=∠3.
∵点M是AC的中点,
∴MA=MC.
在△MAD和△MCB中,
∴△MAD≌△MCB(ASA),
∴MD=MB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴①,②分别为∠2=∠3,ASA.故选D.
6.解:(1)CD　平行
(2)证明:如图,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴∠ADB=∠CBD,∠ABD=∠CDB.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)平行四边形的两组对边分别相等

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