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第22课时　锐角三角函数及其应用
考点一　锐角三角函数
定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为一锐角,则有
正弦:sin A==①　　　　;
余弦:cos A==②　　　　;
正切:tan A==③　　　　.
特殊角的三角函数值
锐角A 30° 45° 60°
sin A ④　　
cos A ⑤　　
tan A ⑥　　
① (人教九下P65变式)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则sin A=　　　　,cos A=　 　　, tan A=　　 　.
② (冀教九上P108变式)计算:tan 60°-(4-π)0+2cos 30°+-1.
考点二　解直角三角形
定义:由直角三角形中除直角外的⑦　　　个已知元素,求出另外⑧　　　个未知元素的过程叫解直角三角形.
解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是边.
解直角三角形的依据:在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)三边关系:⑨　　　　.
(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=　　　　.
(3)边角间的关系:sin A=cos B=　　　　,cos A=sin B=　　　　,tan A=　　　　,tan B=　　　　.
常见类型及其解法
已知条件 图形 解法
一直角边和 一锐角(a, ∠A) ∠B=90°-∠A,c=,b=(或b=)
斜边和 一锐角 (c,∠A) ∠B=90°-∠A,a=c·sin A,b=c·cos A(或b=)
两直角边 (a,b) c=,由tan A=求∠A,∠B=90°-∠A　
斜边和 一直角边 (c,a) b=,由sin A=求∠A,∠B=90°-∠A
③ (人教九下P77变式)如图,AD是△ABC的中线,tan B=,cos C=,AC=,求:
(1)BC的长.
(2)∠ADC的度数.
考点三　解直角三角形的实际应用及有关概念
仰角、俯角:如图1,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫　　　　,视线在水平线下方的角叫　　　　.
　　 　图1　　　　 　图2　　 　　图3
坡度、坡角:如图2,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫　　　　(也叫“坡比”),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tan α=.
方向角:目标方向和南北方向所夹的小于90°的角叫做　　　　.如图3,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向.
④ (冀教九上P123变式)如图,在湖中有A,B,C三个小岛,岛A与岛B相距3 km,岛B在岛A的北偏东40°方向上,岛C在岛A的南偏东50°方向上.
(1)请以点A为起点,画出点C所在的射线.
(2)岛A在岛B的　　　　 方向上.
(3)从岛A看岛B与岛C所成的视角∠BAC=　　　　.
(4)两艘游艇同时从岛B出发,以相同的速度分别沿直线驶往岛A与岛C,若前往岛A所用的时间是前往岛C所用时间的一半,则岛A与岛C之间的距离为　　　　km.
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=3.
(1)如图1,AB=　　　　,sin B=　　　　.
(2)如图2,若DE垂直平分AB,分别交AB,AC于点D,E,连接BE.求∠BEC的度数,并判断AE与CE的数量关系,请说明理由.
(3)如图3,若点D为△ABC外一点且与点C位于AB异侧,连接AD,BD,AD=10,BD=8.
①求证:△ABD为直角三角形;
此问用到的判定依据是　 ;
②求四边形ACBD的面积.
图1　 图2 　 图3
(1)6　
(2)解:∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.
由(1)可得∠A=30°,
∴∠ABE=30°,∴∠BEC=30°+30°=60°,
∴∠EBC=90°-60°=30°,
∴CE=BE=AE,
∴AE=2CE.
(3)①证明:由(1)知AB=6,
∵AD=10,BD=8,
∴AB2+ BD2=AD2,
∴△ABD 为直角三角形.
勾股定理的逆定理
②解:S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD
=×3×3+×6×8=+24.
如图1,在同一剖面内,DB是一处斜坡,坡度为3∶4,小明在点A处用测角仪测得坡顶D的仰角为27°,他水平向右前进了一段路程来到斜坡的坡脚B处,沿着斜坡BD上行25米到达点D,DE是一座观测塔.(测角仪的高度忽略不计.参考数据: sin 27°≈0.45,tan 27°≈0.51,≈1.73)
(1)斜坡 DB的垂直高度CD=　　　　　米,水平距离BC=　　　　米.
(2)小明前进的路程AB≈　　　　米.(结果精确到0.1米)
(3)如图 2,小明登上观测塔,到达塔顶E后,测得斜坡前面一栋楼房的楼顶F的仰角是60°,楼底 H的俯角是45°.若楼底 H距坡底B的距离是15米,则大楼的高度大约是多少米 (结果精确到0.1米)
(4)如图3,在(3)的条件下,若在楼顶F观测到北偏东60°,距楼顶70米处有一架无人机G,则此时无人机在观测塔顶E的　　　　　方向.
图1　 图2 　图3
利用三角函数解决实际问题时,构造直角三角形是重要的解题方法,这里需要注意构造直角三角形以不破坏现有的已知特殊角为原则,在构造的直角三角形中利用边角关系可以顺利求解问题.
(1)15　20
解析:∵DB的坡度为3∶4,
∴设CD=3x,则BC=4x,
在Rt△BDC中,BD=25,根据勾股定理可得,(3x)2+(4x)2=252,
解得x=5(负值舍去),
∴CD=15米,BC=20米.
(2)9.4
解析:由题意知,tan A=,
∴AC=≈29.4(米),
∴AB=AC-BC=29.4-20=9.4(米).
(3)解:如图1,过点E作EM⊥FH于点M,则ME=HC=HB+BC=15+20=35(米).
图1
∵∠MEH=45°,
∴MH=ME=35米.
在Rt△FME中,
∵ME=35米,tan 60°==,
∴FM=35米.
∴FH=FM+MH=35+35≈95.6(米).
答:大楼的高度大约是95.6米.
(4)北偏东15°
解析:如图2,延长DE交FG于点N.
图2
∵ME=35米,∠MFE=30°,
∴EF=2ME=2×35=70(米).
∵FG=70米,∴FG=EF.
∵∠EFG=90°,∴∠FEG==45°.∵∠FEN=∠MFE=30°,∴∠NEG=45°-30°=15°,
∴无人机在观测塔顶E的北偏东15°方向.
命题点一　锐角三角函数
(2024·河北样题)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则cos∠ABC 的值为 (　　)
A. B. C. D.
(2024·河北样题)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD,利用此图解释的三角函数值中错误的是 (　　)
A.tan 30°=
B.tan 60°=
C.tan 15°=1+
D.tan 75°=2+
命题点二　解直角三角形
(2024·河北样题)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,点D在BC上,且BD=AD.
(1)求AC的长.
(2)求cos∠ADC的值.
命题点三　解直角三角形的实际应用
(2024·河北)如图,从点C观测点D的仰角是 (　　)
A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC
(2023·河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,则淇淇家位于西柏坡的 (　　)
A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向
C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向
(2024·河北)如图,某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O,其中水面截线MN∥AB.嘉淇在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7 m.
(1)求∠C的大小及AB的长.
(2)请在图中画出线段DH,用其长度表示最大水深(不说理由),并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位).
(参考数据:tan 76°取4,取4.1)
(2024·河北)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4 m,仰角为α;淇淇向前走了3 m后到达点D,透过点P恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6 m,点P到BQ的距离PQ=2.6 m,AC的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均在同一平面)
(1)求β的大小及tan α的值.
(2)求CP的长及sin∠APC的值.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①　②　③　④　⑤　⑥1
⑦两　⑧三　⑨a2+b2=c2　90°
　　　　仰角　俯角　坡度　方向角
对应练习
1.　　
2.解:原式=-1+2×+4=2+3.
3.解:(1)如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∵cos C=,
∴∠C=45°.
在Rt△ACE中,CE=AC·cos C=1,
∴AE=CE=1.
在Rt△ABE中,tan B=,即,
∴BE=3AE=3,
∴BC=BE+CE=4.
(2)∵AD是△ABC的中线,
∴CD=BC=2,
∴DE=CD-CE=1.
∵AE⊥BC,DE=AE,
∴∠ADC=45°.
4.解:(1)如图所示.
(2)南偏西40°　(3)90°　(4)3
河北中考·真题体验
1.B　解析:由题图可知∠ABC=45°,∴cos∠ABC=cos 45°=.故选B.
2.C　解析:∵∠BAC=30°,AD=AB,∴∠D=∠ABD=15°.∵BC=1,∠BAC=30°,∴AB=2,AC=.∴CD=2+.∴tan 15°=tan D==2-.故C错误.故选C.
3.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tan B=,∵tan B=,∴AC=BC·tan B=8×=4.
(2)设AD=x,则BD=x,CD=8-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得(8-x)2+42=x2,解得x=5.
∴cos∠ADC=.
4.B
5.D　解析:如图.∵西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向.故选D.
6.解:(1)∵嘉淇在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°,
∴∠CAB=14°.∵∠CBA=90°,
∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76°.
∵tan C=,BC=1.7 m,
∴tan 76°=.
∴AB=1.7×tan 76°=6.8(m).
∴∠C=76°,AB的长为6.8 m.
(2)如图,过点O作OD⊥MN并延长,交MN于点D,交于点H,线段DH即为所求,连接OM.
∵OA=OM,∠BAM=7°,
∴∠OMA=∠OAM=7°.
∵AB∥MN,∴∠AMD=∠BAM=7°.
∴∠OMD=14°.∴∠MOD=76°.
在Rt△MOD中,tan∠MOD=,
∴tan 76°==4,∴MD=4OD.
设OD=x m,则MD=4x m.
∵OM=OA=AB=3.4 m,
∴x2+(4x)2=3.42.∵x>0,
∴x==0.82.∴OD=0.82 m.
∴DH=OH-OD=OA-OD=3.4-0.82=2.58≈2.6(m).
∴最大水深约为2.6 m.
7.解:(1)由题意可得,PQ⊥AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,
∴CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1(m),∵∠CEP=90°,CE=PE,
∴β=∠PCE=45°;
tan α=tan∠PAE=.
(2)∵CE=PE=1 m,∠CEP=90°,
∴CP=(m).
如图,过点C作 CH⊥AP于点H,
∵tan α=tan∠PAE=.
∴设CH=x m,则AH=4x m,
∴x2+(4x)2=AC2=9.
解得x=(负值舍去).
∴CH=m.
∴sin∠APC=.

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