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第25课时　矩形、菱形、正方形
考点一　矩形的性质与判定
性质
边 两组对边分别平行
两组对边分别相等
角 四个角都是①　　　
对角线 对角线②　　　　　　
对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,其对称轴为两组对边的垂直平分线,对称中心为其对角线的交点
面积 S=③　　　　(a,b分别表示矩形的长和宽)
判定
(1)有一个角是④　　　　的平行四边形是矩形.
(2)有三个角都是⑤　　　　的四边形是矩形.
(3)对角线⑥　　　　的平行四边形是矩形.
① (冀教八下P135变式)如图,在矩形ABCD中,对角线 AC,BD相交于点O.
(1)若AO=1,则OC=　　　　,AC=　　　　,BD=　　　　.
(2)若∠ACB=30°,则∠AOB=　　　　,△AOB 的形状是　　　　三角形.
(3)图中有　　　　个等腰三角形,它们分别是　 .
② 已知四边形ABCD为平行四边形,对角线AC,BD相交于点O.
(1)如图1,补充一个条件,可以使平行四边形ABCD为矩形的是　　　　(填序号).
①∠BAD=90°;②AC=BD;③AC⊥BD;④OA=OB.
(2)如图2,四边形ABCD为平行四边形,过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E,若BE=BD.
求证:平行四边形ABCD 为矩形.
图1　 图2
考点二　菱形的性质与判定
性质
边 四条边都⑦　　　
两组对边分别平行
角 两组对角分别相等
对角线 对角线互相垂直且⑧　　　
每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,其对称轴为对角线所在直线,对称中心为两条对角线的交点
面积 S=⑨　　　　(m,n分别表示两条对角线的长)
判定
(1)有一组⑩　　　　相等的平行四边形是菱形.
(2)　　　　条边相等的四边形是菱形.
(3)对角线　　　　的平行四边形是菱形.
③ (人教八下P60变式)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.
(1)若∠ABC=86°,则∠BAD=　　　　,∠ABD=　　　　,∠AOB=　　　　.
(2)若AC=6,BD=8,则
①AO=　　　　,BO=　　　　 ,AB=　　　　 ;
②四边形ABCD的周长为　　　　 ,面积为　　　　 ;
③点A到边BC的距离为　　　　.
④ 如图,在 ABCD中,E,F分别是边CD,BC上的点,连接BE,DF,BE与DF交于点P,BE=DF.添加下列条件之一使 ABCD成为菱形:①CE=CF;②BE⊥CD,DF⊥BC.
(1)你添加的条件是　　　　(填序号),并证明.
(2)在(1)的条件下,若∠A=45°,△BFP的周长为4,求菱形的边长.
考点三　正方形的性质与判定
性质
边 四条边都　　　
两组对边分别平行
角 四个角都是　　　
对角线 对角线互相　　　　且相等
每一条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形,有4条对称轴,对称轴为两条对角线所在直线及两组对边的垂直平分线,对称中心为两条对角线的交点
面积 S=　　　　(a表示正方形的边长)
判定
(1)有一个角是　　　　的菱形是正方形.
(2)有一组　　　　相等的矩形是正方形.
(3)对角线　　　　的菱形是正方形.
(4)对角线互相　　　　的矩形是正方形.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关系:
平行四边形、矩形、菱形和正方形之间的关系
⑤ 如图1,已知四边形ABCD为平行四边形,对角线 AC,BD相交于点O.
(1)若AB=BC,要使平行四边形ABCD为正方形,则可添加的条件为　　　　.
(2)若∠ABC=90°,要使平行四边形ABCD为正方形,则可添加的条件为　　　　.
(3)如图2,若OA=OB,OA⊥OB,过点D作 DE ∥ AC交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G.
①下列结论中,不正确的是 (　　)
A.BD⊥DE
B.G是CD的中点
C.S△BDE=S正方形ABCD
D.EA平分∠BED
②若 S△DFG=2,求四边形ABCD的面积.
图1 　图2
考点四　中点四边形
定义:依次连接任意一个四边形四边的中点所得的四边形.
特殊四边形的中点四边形
特殊四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形
中点四边形
一般四边形的中点四边形
(1)任意四边形的中点四边形一定是　　　　.
(2)对角线相等的四边形的中点四边形是　　　　.
(3)对角线垂直的四边形的中点四边形是　　　　.
⑥ (人教八下P68变式)如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,连接AC,BD,回答问题:
(1)对角线AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH是矩形.
(2)对角线AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH是菱形.
(3)对角线AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH是正方形.
如图1,四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,
(1)若增加下列条件中的一个,可使四边形ABCD为矩形,则这个条件可以是　　　(填序号).
①∠DAB=∠ABC=∠BCD
=90°;
②四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD;
③OA=OB=OC=OD;
④AB∥CD,AB=CD,∠ABC=90°;
⑤AC=BD,∠ABC=90°.
(2)若四边形ABCD为矩形,回答下列问题.
①若OB=1,则 OD=　　　 ,AC=　　　　;
②若AB=3,AC=6,则AD=　　　　,△AOB是　　　　三角形;
图1
图2
③如图2,CE ⊥BD 于点E,若AD=4,CD=2,则cos∠OCE=　　　　;
④已知 AB=4,AD=6.
a.如图3,点P是BC上一点,则PA+PD的最小值为　　　　;
b.如图4,点M,N分别在射线CD,DA上,且∠DNC=∠BMC,BM与CN交于点Q,连接AQ,则AQ的最小值是　　　　.
图3　
图4
(1)①③④
解析:根据三个角都是90°的四边形是矩形,可知①正确;
根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形,可知③正确;
∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90° ,∴平行四边形ABCD是矩形,故④正确.
(2)①1　2　②3　等边　③　④a.10　b.2
解析:①∵四边形ABCD为矩形,
∴OB=OD=1,AC=BD=2.
②∵在Rt△ABC中,AB=3,AC=6,
∴根据勾股定理,得BC==3,
∴AD=BC=3.
∵OA=OB=AC=3,
∴OA=OB=AB=3,∴△AOB是等边三角形.
③∵矩形ABCD中,AD=4,CD=2,
∴BC=AD=4,∠BCD=90°,
∴在Rt△BCD中,根据勾股定理可得,BD===2,
∴在Rt△BCD中,根据面积相等得,CE==,
∴cos∠OCE===.
图1
④a.如图1,作点A关于BC的对称点A',连接A'D交BC于点P,连接AP.
∴AP=A'P.
∵AB=4,AD=6,∴A'B=4,
∴AA'=8,
在Rt△AA'D中,根据勾股定理,得A'D==10,
∴A'P+DP=A'D=10,
故PA+PD的最小值为10.
b.∵∠DNC=∠BMC,四边形ABCD为矩形,
∴∠ADC=∠BCM.
∴△CDN∽△BCM,∴∠NCD=∠MBC,
∵∠NCD+∠DNC=90°,∴∠NCD+∠BMC=90°,即CN⊥BM,∴∠BQC=90°.
如图2,点Q在以BC中点O为圆心,OB为半径的圆上运动,当A,Q,O三点共线时,AQ最短.
图2
∵OB=BC=3,AB=4,
∠ABC=90°,
∴OA==5,
∴AQ=OA-OQ=5-3=2.
如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.
(1)若∠ABC=40°,则∠CAD=　　　　.
(2)若AC=6,BD=8.
①菱形ABCD的周长为　　　　;
②AD,BC之间的距离为　　　　;
③如图,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,
a.OE=　　　　　　;
b.请找出当EF+BF取最小值时,点F的位置,简述解题思路;
c.当点F是OC的中点时,求EF的长.
(1)70°
解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∠CAD=∠CAB=∠BAD,∴∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠ABC=40°,则∠BAD=180°-∠ABC=140°,
∴∠CAD=∠BAD=70°.
(2)①20　②　③a.
解析:①菱形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD, OA=OC=AC,OB=OD=BD,∠AOB=90°.
若AC=6, BD=8,则OA=OC=AC=3,
OB=OD=BD=4,
在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB===5,∴AB=BC=CD=AD=5,∴AB+BC+ CD+AD=5+5+5+5=20.即菱形ABCD的周长为20.
②设AD,BC之间的距离为h,则由S菱形ABCD=BC·h=AC·BD,得h===,即AD,BC之间的距离为.
③a.∵在Rt△AOB中,点E是斜边AB的中点,∴OE=AB=(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
图1
b.解:取AD的中点E',连接BE',则点F在BE'与AC的交点处时,EF +BF的值最小,即当EF+BF取最小值时,点F的位置如图1所示.此时==,即点F位于线段AC上靠近点A的三等分点处.
解题思路如下:
∵AC所在直线是菱形ABCD的一条对称轴,点E、点E'分别
是AB,AD的中点,∴点E'与点E关于直线AC对称,∴AC上任意一点到点E与点E'的距离都相等,即有EF=E'F.
由“两点之间,线段最短”可知:点F在BE'与AC的交点处时,E'F+BF的值最小,从而EF+BF的值最小,即当EF+BF取最小值时,点F的位置如图1所示.此时==,即点F位于线段AC上靠近点A的三等分点处.
图2
c.解:当点F是OC的中点时,
OF=OC=.
过点E作EM⊥AC于点M,如图2,
则EM∥BD,∠EMF=90°,
∴△AEM∽△ABO,∴==.∵点E是AB的中点,
∴AE=AB,∴===,即==,解得AM=,EM=2,∴FM=OA+OF-AM=3+=3.
在Rt△EFM中,由勾股定理,得EF===,
即EF的长为.
如图,四边形ABCD的对角线交于点O,OA=OB=OC=OD,AB=AD,E是对角线BD上一点,连接AE,CE,并延长CE交AD于点F.
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)求证:△ABE≌△CBE.
(3)若∠AEC=140°,求∠DFE的度数.
(4)若OA=2,求四边形ABCD的面积.
(1)证明:∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形. ∵OA+OC=OB+OD,即AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,
∵AB=AD,∴四边形ABCD是正方形.
(2)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=∠ADC=90°,
∠ABE=∠CBE=∠ADB=×90°=45°.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(3)∵△ABE≌△CBE,∴∠AEB=∠CEB.
又∵∠AEC=140°,∴∠CEB=70°.
∵∠DEC+∠CEB=180°,∴∠DEC=180°-∠CEB=110°.
∵∠DFE+∠ADB=∠DEC,
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°.
(4)∵OA=2,四边形ABCD是正方形,∴OB=OA=OC=OD=2,∴AC=BD=4,∴S四边形ABCD==8.
命题点一　矩形的性质与判定
(2022·河北)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠ (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2024·河北)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 (　　)
A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D
(2010·河北)如图,矩形ABCD的顶点A,B在数轴上, CD=6,点A对应的数为-1,则点B所对应的数为　　　　.
命题点二　菱形的性质与判定
(2024·河北)如图,菱形ABCD中,∠D=150°,则∠1= (　　)
A.30° B.25° C.20° D.15°
(2023·河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直.
已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.
求证:AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程:
①又∵BO=DO,②∴AO⊥BD,即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形,④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是 (　　)
A.③→②→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
(2022·河北)如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,将 △ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)求∠ACE的度数.
(3)求证:四边形ABFE是菱形.
命题点三　正方形的性质与判定
(2023·河北)关于 ABCD的叙述,正确的是 (　　)
A.若AB⊥BC,则 ABCD是菱形
B.若AC⊥BD,则 ABCD是正方形
C.若AC=BD,则 ABCD是矩形
D.若AB=AD,则 ABCD是正方形
(2023·河北)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 (　　)
A　　 B　　 C　　 D
(2024·河北)用一根长为a cm的铁丝,首尾相接围成一个正方形.现要将它按如图所示的方式向外等距扩1 cm,得到新的正方形,则这根铁丝需增加 (　　)
A.4 cm B.8 cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm
(2024·河北)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n.
图1
甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13.
乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取 n=14.
丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.
图2　 　图3　 　图4
下列正确的是 (　　)
A.甲的思路错,他的n值对
B.乙的思路和他的n值都对
C.甲和丙的n值都对
D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①直角(或90°)　②互相平分且相等　③ab　④直角(或90°)　⑤直角(或90°)　⑥相等　⑦相等　⑧平分　⑨mn　⑩邻边　四　互相垂直　相等　直角(或90°)　垂直平分　a2　直角(或90°)　邻边　相等　垂直　平行四边形　矩形　菱形
正方形　平行四边形　菱形　矩形
对应练习
1.(1)1　2　2　(2)60°　等边　(3)4　△AOB,△AOD,△COD和△BOC
2.解:(1)①②④
(2)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CE.
∵BE∥ AC,
∴四边形 ABEC是平行四边形,
∴AC=BE.
∵BE=BD.
∴AC=BD,
∴平行四边形ABCD 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).
3.(1)94°　43°　90°
(2)①3　4　5　②20　24　③
解析:(2)①∵菱形ABCD中,AC=6,BD=8,
∴AO=AC=×6=3,BO=BD=×8=4.
在Rt△AOB中,根据勾股定理可得,
AB==5.
②菱形ABCD 的周长=4AB=4×5=20,面积为=AC·BD=×6×8=24.
③设点A到边BC的距离为x,根据面积法可得,BC·x=24,解得x=.
4.解:(1)②
证明:∵BE⊥CD,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠CEB=90°.
在△CFD和△CEB中,
∴△CFD≌△CEB(AAS),
∴CD=CB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)如图,连接CP,
由(1)知△CFD≌△CEB,
∴CF=CE.
在Rt△CEP和Rt△CFP,
∴Rt△CEP≌Rt△CFP(HL),
∴PE=PF.
∵在菱形ABCD中,∠A=45°,
∴∠BCD=45°.
∵∠CFD=∠CEB=90°,
∴∠BFP=∠DEP=90°,
∴∠CBE=∠BPF=∠BCD=45°,
∴BE=CE,BF=PF.
∵△BFP的周长为4,
∴BP+PF+BF
=BP+PE+BF
=BE+BF
=CE+BF
=CF+BF
=BC
=4.
即菱形的边长为4.
5.解:(1) ∠ABC=90°(答案不唯一)
解析:正方形是特殊的平行四边形,四条边都相等,且四个角也都为直角,所以在AB=BC的条件下,增加条件∠ABC=90°,可以使得平行四边形ABCD是正方形.
(2)AB=BC(答案不唯一)　解析:由(1)中的分析可知,添加条件AB= BC可以使得平行四边形ABCD是正方形.
(3)①D　解析:A项,∵AC∥DE,∠COB=90°,∴∠BDE=90°,∴BD⊥DE成立,故A项正确;
B项,∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∵AC∥DE,∴四边形ACED为平行四边形,∴AD=CE,∴BC=CE,
∵C是BE的中点,CG∥AB,∴G是AE的中点,∴CG是△ABE的中位线,∴G是CD的中点成立,故B项正确;
C项,如果令正方形的边长为a,∴S正方形ABCD=a2,S△BDE=×2a×a=a2,二者面积相等成立,故C项正确;
D项,∵DG=GC,∴GC一定大于△DGE的DE边上的高,∴不符合角平分线的定理,故D项错误.
故选D.
②设DC=a,则DG=GC=.
∵OA=OB,∴BD=AC.
又∵BD⊥AC,
∴四边形ABCD是正方形.
∴∠ADB=∠BDC= 45°.
∵AB∥CD,∴△ABF∽△GDF,
∴.
∵AB=2DG,∴AF=2FG.
∵△ADF与△DFG同高,且S△DFG=2,∴S△ADG=6,
∴×a×=6,
∴a2=24,
∴S正方形ABCD=a2=24.
6.(1)AC⊥BD　(2)AC=BD
(3)AC⊥BD且AC=BD
解析:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点,
∴EF∥AC,EF=AC,FG∥BD,FG=BD,HG∥AC,HG=AC,EH∥BD,EH=BD.
∴EF∥HG,EF=HG,FG∥EH,FG=EH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(1)要使四边形EFGH是矩形,则需EF⊥FG,
只需AC⊥BD.
(2)要使四边形EFGH是菱形,则需EF=FG,只需AC=BD.
(3)要使四边形EFGH是正方形,则需AC⊥BD且AC=BD.
河北中考·真题体验
1.A　解析:如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n可以为3,4,5,故n≠2.故选A.
2.B　解析:设A(a,b),AB=m,AD=n,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=n,AB=CD=m,
∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),
∵<<,而<,
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B.故选B.
3.5　解析:∵四边形ABCD是矩形,且矩形的顶点A,B在数轴上,CD=6,
∴AB=CD=6.
∵点A对应的数为-1,
∴OA=1,
∴点B所对应的数为(-1)+6=5.
4.D　解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD.∴∠D+∠DAB=180°.∵∠D=150°,
∴∠DAB=30°.∴∠1=∠DAB=15°.故选D.
5.B　解析:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∵BO=DO,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.∴证明步骤为③→④→①→②.故选B.
6.解:(1)证明:由旋转可知,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=100°,
∵AB=AC,∴AD=AE.
∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)∵AC=AE,∠CAE=100°,
∴∠ACE=∠AEC=×(180°-100°)=40°.
(3)证明:∵∠BAC=∠ACE=40°,∴AB∥CE.
同理可证∠EAD=∠BDA,∴AE∥BD.
∴四边形ABFE为平行四边形.
∵AB=AC,AC=AE,∴AB=AE.
∴四边形ABFE是菱形.
7.C　解析:∵ ABCD中,AB⊥BC,∴四边形ABCD是矩形,不一定是菱形,选项A错误;∵在 ABCD中,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项B错误;∵ ABCD中,AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,选项C正确;∵在 ABCD中,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,不一定是正方形,选项D错误.故选C.
8.A　解析:∵正方形的边长为10 cm,∴过其顶点的在正方形内最长的线段应当是其对角线长.由勾股定理知其对角线长为10 cm.∵10<=15,∴选项A中所标的数据不正确.故选A.
9.B　解析:∵原正方形的周长为a cm.
∴原正方形的边长为 cm.∵将它按题图的方式向外等距扩1 cm,∴新正方形的边长为+2 cm.∴新正方形的周长为4+2=(a+8)cm.∴需要增加的长度为a+8-a=8(cm).故选B.
10.B　解析:甲的思路正确,矩形对角线最长,只要对角线能通过就可以,但是计算错误,应为n=14;乙的思路与计算都正确;丙的思路与计算都错误.故选B.

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