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第26课时　圆的基本性质
考点一　圆的有关概念和性质
圆的有关概念
圆 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.这个定点叫做圆心,定长叫做圆的半径,以点O为圆心,OA的长为半径的圆记作☉O
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧叫做①　　　　,小于半圆的弧叫做②　　　　,能够完全重合的弧叫做等弧
弦和 直径 连接圆上任意两点的③　　　　叫做弦,经过圆心的弦叫做直径
弦心距 圆心到弦的距离
圆心角 顶点在④　　　　的角
圆周角 顶点在圆上,并且⑤　　　　都与圆相交的角
性质
对称性 (1)圆是轴对称图形,⑥　　　　　　　　都是它的对称轴. (2)圆也是中心对称图形,⑦　　　　是它的对称中心
旋转 不变性 圆绕圆心旋转任意角度都与自身重合
① 以下说法:(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆.(2)过圆上任意一点只能作一条弦,且这条弦是直径.(3)弦是直径.(4)直径是圆中最长的弦.(5)直径不是弦.(6)优弧大于劣弧.(7)以O为圆心可以画无数个圆.正确的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点二　弧、弦、圆心角之间的关系
项目 文字描述 数学符号表述 图示
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也⑧　　 ∵∠AOB=∠COD, ∴=,AB=CD
推论 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等 ∵=, ∴∠AOB=∠COD, AB=CD
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等 ∵AB=CD, ∴∠AOB=∠COD, =
② (冀教九上P155变式)如图,已知在☉O中,BC是直径,AB=DC,则下列结论不一定成立的是 (　　)
A.OA=OB=AB
B.∠AOB=∠COD
C.=
D.O到AB,CD的距离相等
考点三　垂径定理及其推论
项目 文字描述 数学符号表述 图示
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 ∵CD⊥AB,且CD是☉O的直径, ∴AM=BM=AB,=,=
垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ∵AM=BM,且CD是☉O的直径, ∴CD⊥AB,=,=
垂径定理及其推论的延伸 知二推三:根据圆的对称性,以下五个结论:①=;②=;③AM=BM;④AB⊥CD;⑤CD是☉O的直径,只要满足其中任意两个条件,则可推出另外三个结论,即“知二推三”
辅助线的作法: ①作圆心到弦的垂线段及连接过弦端点的半径; ②构造以半径、弦的一半、圆心到弦的垂线段为边的直角三角形
考点四　圆周角定理及其推论
定理及推论
定理 推论 图示
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨　　　　. 如右图, ∠BAC=∠BOC (1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,如右图,∠BAC=∠BDC, ∠ADC=∠ABC,∠ABD=∠ACD, ∠BAD=∠BCD. (2)半圆(或直径)所对的圆周角是⑩　　　　　,如右图, ∠ACB=∠ADB=90°,90°的圆周角所对的弦是直径
圆周角定理的常见图形
图 形
∠APB=∠AOB
③ (人教九上P83变式)已知:在☉O中,点O为圆心,CD为☉O的弦.
(1)如图1,若CD为☉O的直径,CD⊥AB,垂足为点E,OC=5,AB=8,则AE=　　　　,OE=　　　　.
(2)如图2,若CD为☉O的直径,弦AB,CD相交于点O,DE∥AB,交☉O于点E.求证:点B平分劣弧CE.
(3)如图3,若CD为☉O的直径,弦AB,CD相交于点O,且AB⊥CD,OC=5.延长AB至点E,使OE=AB,连接CE交☉O于点F,求CF的长.
图1 　图2 　图3
考点五　圆内接四边形的性质
文字描述 数学符号表述 图示
圆内接四边形的对角互补 (1)∠A+∠BCD=180°. (2)∠B+∠D=180°
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(与它相邻的内角的对角) ∠DCE=∠A
④ 如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,且∠CAB=18°,连接BC,OC,D为弧AC的中点,连接AD,CD,OD.
(1)∠ACB=　　　　,∠COB=　　　　.
(2)∠OBC=　　　　.
(3)∠AOD=　　　　,∠ACD=　　　　.
(4)∠ADC=　　　　.
如图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M,连接AD,BD,OA,OB.
(1)此图是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
(3)在不添加辅助线的情况下,直接写出图中相等且小于90°的圆心角.
(4)若∠ADB=45°,☉O的半径为2,求CM的长度.
(1)此图形是轴对称图形,它的对称轴是直线CD.
(2)AM=BM,OA=OB=OC=OD,AD=BD,=,=.
理由如下:∵AB是☉O的一条弦,直径CD⊥AB,
∴AM=BM,=,=.
∵OA,OB,OC,OD是半径,∴OA=OB=OC=OD.
在△AMD和△BMD中,
∴△AMD≌△BMD(SAS).∴AD=BD.
(3)∠AOC=∠BOC.
(4)∵直径CD⊥AB,OA=2,∴AM=AB.
∵∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∴AB=2,∠OAB=∠OBA=45°,
∴OM=AM=AB=,∴CM=OC-OM=2-.
命题点一　圆的有关概念和性质
(2023·河北)有一题目:“已知:点O为△ABC的外心,∠BOC=130°,求∠A.”嘉嘉的解答为画△ABC以及它的外接圆O,连接OB,OC,如图.由∠BOC=2∠A=130°,得∠A=65°.而淇淇说:“嘉嘉考虑得不周全,∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是 (　　)
A.淇淇说得对,且∠A的另一个值是115° B.淇淇说得不对,∠A就得65°
C.嘉嘉求的结果不对,∠A应得50° D.两人都不对,∠A应有3个不同的值
命题点二　弧、弦、圆心角关系定理
(2023·河北)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是 (　　)
A.aC.a>b D.a,b大小无法比较
命题点三　垂径定理及应用
(2012·河北)如图,CD是☉O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是 (　　)
A.AE> BE B.=
C.∠D=∠AEC D.△ADE∽△CBE
(2010·河北)如图,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 (　　)
A.点P B.点Q
C.点R D.点M
(2023·河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算　在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作　将图1中的水槽沿GH向右做无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动,如图2.其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D.
图1 　图2
探究　在图2中.
(2)操作后水面高度下降了多少
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①优弧　②劣弧　③线段　④圆心
⑤两边　⑥直径所在的直线　⑦圆心　⑧相等　⑨一半　⑩直角
对应练习
1.C　解析:(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆,正确.
(2)过圆上任意一点可以作无数条弦,原说法不正确.
(3)弦不一定是直径,原说法不正确.
(4)直径是圆中最长的弦,正确.
(5)直径是圆中最长的弦,原说法不正确.
(6)在同圆或等圆中,优弧一定大于劣弧,原说法不正确.
(7)以O为圆心可以画无数个圆,正确.
综上,正确的个数有3个.故选C.
2.A　解析:∵AB=DC,
∴,
∴∠AOB=∠COD.
∵OA=OB=OC=OD,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴O到AB、CD的距离相等,
∴B,C,D选项正确.故选A.
图1
3.解:(1)4　3　解析:如图1,连接OA.
∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,AB=8,
∴AE=4.
在Rt△OAE中,根据勾股定理可得,
OE==3.
(2)证明:如图2,连接CE交AB于点F,
图2
∵CD 为☉O的直径,
∴∠CED=90°.
∵DE∥AB,
∴∠OFE= ∠CFO=∠CED=90°,
即AB⊥CE.
∵AB 过圆心 O,
∴AB 为☉O的直径,
∴点B平分劣弧CE.
(3)如图3,过点O作OH⊥CE,垂足为H.
图3
∵OC=5,OE=AB,
∴AB=CD=OE=10.
∵AB⊥CD
∴∠COE=90°,
在Rt△COE中,根据勾股定理,得CE==5.
∵OC·OE=CE·OH,
∴5×10=5·OH,解得OH=2.
在Rt△COH中,根据勾股定理,得
CH=.
∴CF=2CH=2.
4.(1)90°　36°　(2)72°　(3)72°　36°　(4)108°
解析:(1)∵直径所对的圆周角等于90°,∴∠ACB=90°.
∵同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,
∴∠COB=2∠CAB=36°.
(2)∵COB=36°,OB=OC,
∴∠OBC==72°.
(3)∵D为弧AC的中点,∴,
∴ ∠AOD=∠COD==72°,
∴∠ACD=∠AOD=×72°=36°.
(4)∵∠ABC=72°,
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-72°=108°(圆内接四边形对角互补).
河北中考·真题体验
1.A　解析:如图.∠A还应有另一个不同的值∠A'与∠A互补,故∠A'=180°-65°=115°.故选A.
2.A　解析:连接P1P2,P2P3,如图.
∵点P1~P8是☉O的八等分点,即,∴P1P2=P2P3=P3P4= P6P7,++,∴P4P6=P1P7,又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7,四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7,∴b-a=(P3P4+P4P6+P6P7+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=(P1P2+P1P7+ P2P3+P3P7)-(P1P3+P1P7+P3P7)=P1P2+P2P3-P1P3,在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3,∴b-a=P1P2+P2P3-P1P3>0,即b>a.故选A.
3.D　解析:∵CD是☉O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,
∴AE=BE,,故A,B错误;
∵∠AEC不是圆心角,
∴∠D≠∠AEC,故C错误;
∵∠CEB=∠AED,∠DAE=∠BCE,
∴△ADE∽△CBE,故D正确.
故选D.
4.B　解析:作AB的垂直平分线,作BC的垂直平分线,如图,
它们都经过Q,所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心.故选B.
5.解:(1)连接OM,如图.
∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm,∴MC=MN=24 cm.
∵AB=50 cm,
∴OM=AB=25 cm,
∴在Rt△OMC中,
OC==7(cm).
(2)∵GH与半圆的切点为E,
∴OE⊥GH.
∵MN∥GH,∴OE⊥MN于点D.
∵∠ANM=30°,ON=25 cm,
∴OD=ON= cm,
∴操作后水面高度下降了-7=(cm).
(3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°,
∴∠DOB=60°.
∵半圆的中点为Q,∴,
∴∠QOB=90°.∴∠QOE=30°,
∴EF=OE·tan∠QOE= cm,
(cm),
∵>0,
∴EF>.