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第27课时　与圆有关的位置关系
考点一　点与圆的位置关系
点与圆的 位置关系 点到圆心的距离(d)与圆的半径(r)的关系 示意图
点在圆外 如右图中点A,d①　　　　r
点在圆上 如右图中点B,d②　　　　r
点在圆内 如右图中点C,d③　　　　r
① (人教九上P101变式)如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点C为圆心作☉C,半径为r.
(1)当r取什么值时,点A,B在☉C外
(2)当r取什么值时,点A在☉C内,点B在☉C外
(3)当r取什么值时,☉C与线段 AB没有交点 只有一个交点 有两个交点
考点二　直线与圆的位置关系
直线与圆的 位置关系 圆心到直线的 距离(d)与圆的 半径(r)的关系 公共点 情况 示意图
相离 d④　　　　r 无公共点
相切 d⑤　　　　r 有且只有一个 公共点
相交 d⑥　　　　r 有两个公共点
② (人教九上P101变式)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,且AC=8 cm.以点C为圆心,r为半径画圆,则直线AB与☉C有怎样的位置关系
(1)r=3.8 cm;(2)r=4.8 cm;(3)r=5.8 cm.
考点三　切线的性质与判定
项目 文字描述 数学语言 示意图
切线的 性质 圆的切线垂直于过切点的半径 如图,∵CD切☉O于点A,OA是☉O的半径, ∴CD⊥OA
切线的 判定 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
连半径,证垂直 作垂直,证半径
若已知直线经过圆上一点,则连接这点和圆心得到半径,再证所作半径与这条直线⑦　　 若已知条件中不确定直线与圆是否有⑧　　　　,则过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长等于半径的长
切线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 如图,PA,PB分别切☉O于A,B两点,则有PA=PB, ∠APO=∠BPO=∠APB
③ 如图,已知D为☉O上一点,点C在直径BA的延长线上,BE与☉O相切,射线CD与☉O相切于点D,与BE交于点E,连接OE交BD于点F,连接AD,若∠EBD=60°,BE=3.
(1)DE=　　　　.
(2)∠BEO=　　　　°.
(3)OB=　　　　,OF= 　　　　.
(4)∠BDC= 　　　　　°.
(5)AC的长为　　　　.
(6)点D到线段 AB的距离为　　　　.
考点四　三角形的外接圆与内切圆
项目 定义 示意图 三角形的外心与内心的作图方法 性质
经过三 角形三 个顶点的圆 外心(圆心O):三角形外接圆圆心是三角形三条边的⑨　　　的交点 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离⑩　 　
与三角形的三 边都相切的圆 内心(圆心O):三角形内切圆圆心是三角形三条　　　　的交点 三角形的内心到三角形的三条边的距离　 　
④ (人教九上P100变式)如图,若☉O为△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)如图1,连接DE,DF,EF,则点O是△　　　　的内心,是△　　　　的外心.
图1
(2)若AD=2,BE=3,CF=1,则△ABC的周长为　　　　.
(3)若∠C=90°,AC=6,AB=10,则☉O的半径为 　　　　.
(4)若∠A=50°,如图2,连接OB,OC,则∠DOF=　　　　°,∠BOC= 　　　　°.
(5)若△DEF是等边三角形,☉O的半径为3,则 DE=　　　　.
图2
已知在△ABC中,AB=AC,点O在折线段AB-BC上.
(1)若点O是BC边的中点,☉O与AB相切于点D.
①如图1,求证:AC是☉O的切线;
图1　 图2
②如图 2,已知∠BAC=120°,BC=12,则阴影部分的面积为　　　　.
(2)若点O在AB边上,以点O为圆心,OB为半径的圆交BC于点 D,过点D作DE⊥AC于点 E.
①如图 3,求证:DE是OO的切线;
②如图 4,若☉O与AC相切于点 F,AB=AC=5 cm,sin A=,则☉O的半径为　　　　cm.
图3　 　图4
1.直线过圆上某一点,只需“连半径,证垂直,得切线”.
2.直线与圆没有已知的公共点时,通常“作垂直,证半径,得切线”.
图1
(1)①证明:如图1,过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,
∵AB与☉O相切于点D,
∴AB⊥OD.
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD.∴OE是☉O的半径.
∴AC是☉O的切线.
图2
②3
解析:如图2,连接OD,OA.
∵∠BAC=120°,BC=12,O是BC边的中点,
∴∠OAD=60°,∠B=30°,OB=6.
∵☉O与AB相切,∴∠ODB=∠ODA=90°,
∴OD=OB=×6=3,∴AD==,
∴S阴影=2×(S△AOD-S扇形DOE)=2××3×=3.
图3
(2)①证明:如图3,连接OD.
∵OB= OD,∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠ODB=∠C.∴OD∥AC.
又∵DE⊥AC, ∴DE⊥OD.
∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
图4
②
解析:如图4,连接OF.设☉O的半径为x cm,
∵☉O与AC相切于点F,
∴∠AFO=90°.
在Rt△AFO中,sin A=,∴=,解得x=.经检验,x=是所列方程的解.
如图是一块含30°(即∠CAB=30°)角的三角板和一个量角器拼在一起,三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合,其量角器最外缘的读数是从N点开始(即N点的读数为0),现有射线CP绕着点C从CA顺时针以每秒2°的速度旋转到与△ACB外接圆相切为止.在旋转过程中,射线CP与量角器的半圆弧交于点E.
(1)当射线CP与△ABC的外接圆相切时,射线CP旋转度数是多少
(2)当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时,点E处的读数分别是多少
(3)当△AEC的外心在其内部时,求t的取值范围.
(4)当旋转7.5秒时,连接BE,求证:BE=CE.
(1)如图1,连接OC.
图1
∵射线CP与△ABC的外接圆相切,
∴∠OCP=90°.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB=30°,
∴∠ACP=∠ACO+∠OCP=30°+90°=120°,
∴射线CP旋转度数是120°.
(2)∵∠BCA=90°,∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆.
当CP过△ABC外心时(即过O点),∠BCE=60°,∴∠BOE=120°,即E处的读数为120.当CP过△ABC的内心时,如图2,∠BCE=45°,∠EOB=90°,∴E处的读数为90,
∴当射线CP分别经过△ABC的外心、内心时点E处的读数分别是120和90.
(3)∵△AEC的外心在三角形的内部,∴△AEC是锐角三角形.
∵点E为射线CP与半圆的交点,∴∠AEC=∠ABC=60°,
∴当∠EAC=90°时,∠ECA=30°,CE过△AEC的外心.
∵射线CP绕着点C从CA开始以每秒2°的速度顺时针旋转,
∴t的值为=15.
当∠ECA=90°时,t的值为=45,此时AE过△AEC的外心,
∴当△AEC的外心在三角形内部时,t的取值范围为15(4)证明:如图3,∵∠PCA=2×7.5°=15°,∠BCE=75°,∠ECA=∠EBA=15°,
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=∠BCE=75°,∴BE=CE.
图2　 图3
命题点一　三角形的内切圆与外接圆
(2023·河北)如图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是 (　　)
A.△ACD的外心 B.△ABC的外心
C.△ACD的内心 D.△ABC的内心
(2023·河北)如图,AC,BE是☉O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中,外心不是点O的是 (　　)
A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
(2024·河北)如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使其顶点与点I重合,则图中阴影部分的周长为 (　　)
A.4.5 B.4 C.3 D.2
命题点二　切线的性质和判定
(2023·河北)如图,☉O的半径为6,将该圆周12等分后得到表盘模型,其中整钟点为An(n为1~12的整数),过点A7作☉O的切线交A1A11延长线于点P.
(1)通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长.
(2)连接A7A11,则A7A11和PA1有什么特殊位置关系 请简要说明理由.
(3)求切线长PA7的值.
(2023·河北)如图,O为AB的中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.
(1)①求证:△AOE≌△POC;
②写出∠1,∠2 和∠C三者间的数量关系,并说明理由.
(2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD.(答案保留π)
备用图
(2023·河北)如图,AB=16,O为AB的中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.
(1)求证:AP=BQ.
(2)当BQ=4时,求的长.(结果保留π)
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.
(2024·河北)如图1和图2,在 ABCD中,AB=3,BC=15,tan ∠DAB=.P为AB延长线上一点.过点A作☉O切CP于点P.设BP=x.
(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上 若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系.
(2)当x=4时,如图2,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小.
(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.
图1 图2 备用图
(2024·河北)如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧,使点B在点O右下方,且tan∠AOB=.在优弧上任取一点P,且能过点P作直线l∥OB交数轴于点Q,设点Q在数轴上对应的数为x,连接OP.
(1)若优弧上一段的长为13π,求∠AOP的度数及x的值.
(2)求x的最小值,并指出此时直线l与优弧所在圆的位置关系.
(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.
备用图
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①>　②=　③<　④>　⑤=　⑥<
⑦垂直　⑧公共点　⑨垂直平分线　⑩相等　角平分线　相等
对应练习
1.解:(1)若点A,B在☉C外,则AC>r.
∵AC=3,∴0(2)若点A在☉C内,点B在☉C外,则AC∵AC=3,BC=4,∴3(3)如图,作CD⊥AB于点D.由勾股定理,得AB=5,由三角形面积公式得CD=2.4,∴当04时,☉C与线段AB没有交点;当r=2.4或当32.解:如图,作CH⊥AB于点H,
∵△ABC的面积=AB·CH=AC·BC,
∴10CH=6×8,
∴CH=4.8 cm,
∴C到AB的距离d=CH=4.8 cm.
(1)∵d=4.8 cm,r=3.8 cm,
∴d>r,
∴直线AB与☉C相离.
(2)∵d=4.8 cm,r=4.8 cm,
∴d=r,
∴直线AB与☉C相切.
(3)∵d=4.8 cm,r=5.8 cm,
∴d3.(1)3　(2)30　(3)　　(4)120　(5)　(6)
解析:(1)由切线长定理可得,ED=BE=3.
(2)∵ED=EB,∠EBD=60°,
∴△EBD是等边三角形,
∴∠BED=60°,
∴∠BEO=∠BED=30°.
(3)∵∠BEO=30°,BE=3,
∴OB=BE·tan 30°=3×.
∴OF=OB=.
(4)∠BDC=180°-∠EDB=180°-60°=120°.
(5)在Rt△BEC中,∠C=90°-60°=30°,BE=3,
∴EC=2BE=2×3=6.
根据勾股定理可得,
BC==3.
∵AB=2OB=2,
∴AC=BC-AB=3-2.
(6)如图,过点D作DG⊥AB于点G,
∵sin∠ABD=,∴sin 30°=,
∴DG=.
4.(1)ABC　DEF　(2)12　(3)2
(4)130　115　(5)3
解析:(2)∵AD=2,BE=3,CF=1,
∴由切线长定理,得AF=AD=2,CF=CE=1,BD=BE=3,
∴△ABC的周长为=2+1+1+3+3+2=12.
(3)由勾股定理,得BC==8,∴r==2.
(4)∵AC,AB都是切线,
∴∠OFA=∠ODA=90°.
∵∠A=50°,∴∠DOF=180°-50°=130°.
∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.
∵O是△ABC的内心,
∴BO,CO分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠OBC+∠OCB=×130°=65°,
∴∠BOC=180°-65°=115°.
(5)如图,过点O作OH⊥EF于点H,
∵cos∠OEH=,
∴cos 30°=,解得HE=,
∴EF=2HE=3.
∴DE=EF=3.
河北中考·真题体验
1.B　解析:设网格图中每个小正方形的边长为1.由题图可得OA=OB=OC=,∴点O是△ABC的外心.故选B.
2.B　解析:如题图所示,只有△ACF的三个顶点不都在圆上,故外心不是点O的是△ACF.故选B.
3.B　解析:
如图,连接AI,BI.∵点I为△ABC的内心,
∴AI平分∠CAB.
∴∠CAI=∠BAI.由平移得AC∥DI,∴∠CAI=∠AID.
∴∠BAI=∠AID.∴AD=DI.
同理可得BE=EI,
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB,即图中阴影部分的周长为4.故选B.
4.解:(1)如图,连接OA7,OA11.由题意得圆周被12等分,则每份对应的圆心角是30°,∴∠A7OA11=120°.∴劣弧的长l==4π.
∵4π>12,∴劣弧更长.
(2)A7A11⊥PA1.
理由:如图,连接A1A7,则A1A7为☉O的直径,
∴∠A7A11A1=90°,∴A7A11⊥PA1.
(3)∵PA7是☉O的切线,
∴∠PA7O=90°,由(1)知,
∠A7OA11=120°,∴∠P=30°.
∴PA1=2A1A7=24.
∴PA7==12.
5.解:(1)①证明:在△AOE和△POC中,
∴△AOE≌△POC(SAS).
②∠1+∠C=∠2.
理由:∵△ADE≌△POC,
∴∠C=∠E.
∵∠2=∠1+∠E,∴∠2=∠1+∠C.
(2)当∠C最大时,CP与小半圆相切于点P,如图.
∵OC=2OA=2,∴OC=2OP,
∵cos∠COP=,∴∠COP=60°.∴∠DOE=120°,S扇形EOD=π.
6.解:(1)证明:如图,连接OQ.
∵AP,BQ分别与优弧相切,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,即∠OPA=∠OQB=90°.
又∵OA=OB,OP=OQ,
∴Rt△APO≌Rt△BQO(HL).
∴AP=BQ.
(2)∵BQ=4,OB=AB=8,∠OQB=90°,
∴sin∠BOQ=.
∴∠BOQ=60°.
∵OQ=8×cos 60°=4,
∴的长为.
(3)设点M为Rt△APO的外心,则M为OA的中点.
∴OM=4.
∵当点M在扇形COD的内部时,OM∴47.解:(1)∵CP与☉O相切于点P,AP经过圆心O,∴∠APC=90°.
在 ABCD中,AD∥BC,
∴∠PBC=∠DAB.
∴=tan∠PBC =tan∠DAB=,设CP=4k,BP=3k.
由CP2+BP2=BC2,得(4k)2+(3k)2=152,解得k=3(舍负),∴BP=3×3=9.故当x=9时,圆心O落在AP上,此时PE⊥BC.
(2)如图,过点C作CG⊥AP交AP延长线于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD.∴∠CBG=∠DAB.∴=tan∠CBG=tan∠DAB=.设CG=4m,BG=3m.由勾股定理得(4m)2+(3m)2=152 ,解得m=3(舍负).
∴CG=4×3=12,BG=3×3=9,
PG=BG-BP=9-4=5,AP=AB+BP=3+4=7.∴AG=AB+BG=3+9=12.∴tan∠CAP==1.∴∠CAP=45°.连接OP,OQ,过点O作OH⊥AP于点H,则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°,PH=AP=.在Rt△CPG中,CP==13,∵CP是☉O的切线,∴∠OPC=∠OHP=90°,∠OPH+∠CPG=90°,∠PCG+∠CPG=90°.
∴∠OPH=∠PCG.
∴△OPH∽△PCG.∴,即OP=.劣弧的长度=,∵<2π<7,
∴弦AP的长度>劣弧的长度.
(3)x≥18.
8.解:(1)由=13π,解得n=90,∴∠AOP=90°.∵PQ∥OB,∴∠PQO=∠BOQ,∴tan∠PQO=tan∠QOB=.∴OQ=19.5,即x=19.5.
(2)如图1,直线l与所在的圆相切,则OP⊥l,l∥OB,OP=26,∠AOB=∠OQP,
图1
∴tan∠AOB=tan∠OQP=.
∴,∴PQ=19.5,
在Rt△POQ中,PQ2+OP2=OQ2,即19.52+262=OQ2,解得OQ=32.5(舍负).∴x的最小值是-32.5,此时直线l与优弧所在的圆相切.
(3)x的值为31.5或-16.5或-31.5.
解析:①如图2,作OH⊥PQ于点H.
设OH=4k,QH=3k,
则PH=12.5-3k,OQ=5k.
在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5-3k)2.
整理得k2-3k-20.79=0.
解得k=6.3或k=-3.3(舍去).
∴OQ=5k=31.5,此时x=31.5.
②如图3,作OH⊥PQ交PQ的延长线于点H.设OH=4k,QH=3k,则OQ=5k,PH=12.5+3k.
在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5+3k)2.
整理得k2+3k-20.79=0.
解得k=-6.3(舍去)或k=3.3.
∴OQ=5k=16.5,此时x=-16.5.
③如图4,作OH⊥PQ于点H,设OH=4k,QH=3k,则OQ=5k,PH=12.5-3k,在Rt△OPH中,
∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5-3k)2.
整理得k2-3k-20.79=0.
解得k=6.3或k=-3.3(舍去).
∴OQ=5k=31.5,此时x=-31.5.
综上所述,满足条件的x的值为31.5或-16.5或-31.5.
图2　 图3 图4

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