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第28课时　与圆有关的计算
考点一　弧长及扇形面积的计算
项目 计算公式 示意图
圆的周长 C=①　　　 R为圆的半径,n°为弧所对的圆心角的度数,l是扇形的弧长
扇形的弧长 l=②　　　
圆的面积 S=③　　　
扇形的面积 S扇形=④　　 =lR　 　　
① (冀教九上P168变式)已知一个扇形的圆心角为120°.
(1)若该扇形的半径为6,则它的弧长为　　　　,面积为　　　　.
(2)若该扇形的弧长为12π,则它的半径为　　　　.
(3)若该扇形的面积为3π,则它的半径为　　　　.
② (人教九上P115变式)已知一个扇形的半径为8 cm.
(1)若该扇形的弧长为 cm,则扇形的圆心角为　　　　,面积为　　　　.
(2)若该扇形的面积为 8π cm2,则它的圆心角为　　　　,弧长为　　　　cm.
考点二　圆锥的相关计算
圆锥的相关概念 计算公式 示意图 备注
底面圆面积 S=⑤　 S表示底面圆的面积,C表示底面圆的周长,α表示侧面展开扇形的圆心角,r表示底面圆的半径,h为圆锥的高,l为圆锥的母线长 (1)圆锥的侧面展开图是扇形. (2)圆锥的母线长l为扇形的半径. (3)圆锥的底面周长为扇形的弧长
底面圆周长 C=⑥　　=圆锥侧面展开扇形的弧长
侧面展开扇形的圆心角 α=⑦　 　
高h、母线长l、底面 半径r之间的关系 r2+⑧　　=l2
③ 将扇形 AOB围成一个圆锥.
(1)若扇形的半径r=4,围成圆锥的底面半径为2,则该圆锥的侧面积为 　　　　.
(2)若圆锥的侧面积为18π,底面半径为3,则该圆锥的高是　　　　;n=　　　　.
考点三　阴影部分面积的计算
　　基本思想:转化思想,即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积.
公式法:当所求阴影部分的图形为规则图形时,直接用公式法计算.
整体和差法:将阴影部分看成是某些基本图形的和或差.
割补法:把不规则图形的面积分割成几个规则图形的面积的和或差,即“聚零为整”.
等积变换法:将不规则图形的面积,通过平移、旋转、对称等变换,重组成规则图形来计算.
④ (2024·河南)如图,☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,点D是的中点,连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为 (　　)
A. B.4π
C. D.16π
如图,扇形AOB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.
(1)扇形AOB的弧长为　　　　,扇形AOB的面积为　　　　.
(2)若将此扇形围成一个圆锥,则
①围成的圆锥的侧面积为　　　　;
②求圆锥的底面圆的半径和高OH.
(1)4π cm　12π cm2
解析:扇形AOB的弧长==4π(cm),
扇形AOB的面积==12π(cm2).
(2)①12π cm2
解析:圆锥的侧面积等于扇形的面积,故为12π cm2.
②解:如图,设圆锥底面圆的半径为r,
∴2πr=4π,解得r=2,
在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,
∴OH===4(cm).
如图,OA是☉O的半径,弦BC⊥OA,垂足为M,连接OB,AC.若OB=2,OM=1,AC∥OB.
(1)如图1,扇形AOB的面积为　　　　,阴影部分的面积为　　　　.
图1
(2)求图2中阴影部分的面积.
图2
(3)如图3,连接OC,求阴影部分的面积.
图3
(4)如图4,过点B作☉O的切线,与OA的延长线交于点D,求阴影部分的面积.
图4
(1)　
解析:∵BC⊥OA,∴∠OMB=90°.∵OB=2,OM=1,
∴cos∠BOM=,∴∠BOM=60°,∴S扇形OAB==.
∵在Rt△OBM中,BM2=OB2-OM2,∴BM=,
∴BC=2BM=2.
如图,连接OC,
S阴影=S扇形OCB-S△OCB=×2×1=.
(2)解:∵弦BC⊥OA,垂足为M,∴BM=CM.
∵OB∥AC,∴∠OBM=∠ACM.
在△OBM和△ACM中,
∴△OBM≌△ACM(ASA),∴S△ACM=S△OBM,
由(1)知,∠AOB=60°,
∴S阴影=S扇形OAB==.
(3)解:∵BC⊥OA,OA为半径,
∴BM=CM,∠BMO=∠CMO=90°,
在△OCM和△OBM中,
∴△OCM≌△OBM(SAS).∴S△OCM=S△OBM.
由(1)知,∠AOB=60°,
∴S阴影=S扇形OAB==.
(4)解:∵BD是☉O的切线,∴∠OBD=90°.
∵∠BOD=60°,∴∠D=30°,
∴OD=2OB=2×2=4.
在Rt△OBD中,根据勾股定理可得,BD==2.∴S阴影=S△OBD -S扇形OAB=×2×2-=2.
命题点　弧长及扇形面积的计算
(2024·河北)某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2,PA,PB分别与所在圆相切于点A,B.若该圆的半径是 9 cm,∠P=40°,则的长是 (　　)
图1　　图2
A.11π cm B. π cm
C.7π cm D.π cm
(2024·河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn,若m=,则m与n关系的图象大致是 (　　)
A B C D
(2022·河北)如图,将长为8 cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2 cm的扇形,则S扇形=　　　　
cm2.
(2023·河北)如图,半圆O的直径AB=4,以长为2的弦PQ为直径,向点O方向作半圆M,其中P点在上且不与A点重合,但Q点可与B点重合.
【发现】的长与的长之和为定值l,求l.
【思考】点M与AB的最大距离为　　　　,此时点P,A间的距离为　　　　;点M与AB的最小距离为　　　　,此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为　　　　.
【探究】当半圆M与AB相切时,求的长.注:结果保留π,cos 35°=,cos 55°=
备用图
(2024·河北)已知☉O的半径为3,弦MN=2.△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=3.在平面上,先将△ABC和☉O按图1位置摆放(点B与点N重合,点A在☉O上,点C在☉O内),随后移动△ABC,使点B在弦MN上移动,点A始终在☉O上随之移动.设BN=x.
(1)当点B与点N重合时,求的长.
(2)当OA∥MN时,如图2,求点B到OA的距离,并求此时x的值.
(3)设点O到BC的距离为d.
①当点A在上,且过点A的切线与AC垂直时,求d的值;
②直接写出d的最小值.
图1　 图2 备用图
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①2πR　②　③πR2　④
⑤πr2　⑥2πr　⑦×360°　⑧h2
对应练习
1.(1)4π　12π　(2)18　(3)3
2.(1)120°　 cm2　(2)45°　2π
3.(1)8π　(2)3　180
解析:(1)∵圆锥的底面半径为2,
∴底面周长=2π×2=4π,即弧长AB=4π,
∴圆锥的侧面积=lr=×4π×4=8π.
(2)∵圆锥的侧面积为18π,底面半径为3,
∴扇形弧长=6π,
∴18π=×6π×R,∴R=6,
圆锥的高==3.
∵6π=,∴n=180.
4.C　解析:如图,过D作DE⊥BC于E,
∵☉O是边长为4的等边三角形ABC的外接圆,
∴BC=4,∠A=60°,∠BDC+∠A=180°,
∴∠BDC=120°.
∵点D是的中点,
∴,∴BD=CD,
∴BE=BC=2,∠BDE=∠BDC=60°,
∴BD==4,
∴S阴影=.故选C.
河北中考·真题体验
1.A　解析:如图,过点A作AP的垂线,过点B作BP的垂线,两垂线交于点O,则点O是所在圆的圆心,∠OAP=∠OBP=90°.又∵∠P=40°,∴∠AOB=140°.∴对应的圆心角的度数为360°-140°=220°.∴的长是=11π(cm).故选A.
2.C　解析:设该扇面所在的圆的半径为R,S=,
∴πR2=3S.
∵该折扇张开的角度为n°时,扇形面积为Sn,
∴Sn=×πR2=×3S=,
∴m=n,
∴m是n的正比例函数.
∵n≥0,
∴它的图象是过原点的一条射线,
故选C.
3.4　解析:扇形的弧长l=8-2-2=4(cm),∴S扇形=lR=×4×2=4(cm2).
4.解:【发现】如图1,连接OP,OQ.
∵AB=4,∴OP=OQ=AB=2.又∵PQ=2,∴△OPQ是等边三角形.∴∠POQ=60°.∴的长=.
又∵半圆O的弧长=π×4=2π,
∴与的长之和l=2π-.
图1
【思考】 　2　　
【探究】当半圆M与AB相切时,分两种情况:
①如图2,半圆M与AO相切于点T时,连接PO,MO,TM,则MT⊥AO,OM⊥PQ,
在Rt△POM中,sin∠POM=.∴∠POM=30°,易得MO=.在Rt△TOM中,TO=,∴cos∠AOM=.
∴∠AOM=35°.∴∠POA=∠AOM-∠POM=35°-30°=5°.
∴的长=.
图2　 图3
②如图3,半圆M与BO相切于点S时,连接QO,MO,SM.由对称性,同理得的长=.由l=,得的长为.
综上所述,的长为或.
5.解:(1)如图1,连接OA,OB,
图1
∵☉O的半径为3,AB=3,
∴OA=OB=AB=3,
∴△AOB 为等边三角形,
∴∠AOB=60°,
∴的长为=π.
　图2
(2)过点B作BI⊥OA于点I,过点O作OH⊥MN于点H,连接MO,如图2.
∵OA∥MN,
∴∠IBH=∠BHO=∠HOI=∠BIO=90°,
∴四边形BIOH是矩形,
∴BH=OI,BI=OH.
∵MN=2,OH⊥MN,
∴MH=NH=.
而OM=3,
∴OH==2=BI,
∴点B到OA的距离为2.
∵AB=3,BI⊥OA,
∴AI=,
∴OI=OA-AI=3-=BH,
∴x=BN=BH+NH=3-+=3.
　图3
(3)①过点O作OJ⊥BC于点J,OK⊥AB于点K,如图3.
∵∠ABC=90°,过点A的切线与AC垂直,
∴AC过圆心,
∴四边形KOJB为矩形,
∴OJ=KB.
∵AB=3,BC=3,
∴AC==3,
∴cos∠BAC=,
∴AK=,
∴OJ=BK=3-,即d=3-.
　图4
②d的最小值为.
解析:如图4,当点B为MN中点时,过点O作OL⊥B'C'于点L,作OJ⊥BC于点J,连接JL,
∵∠OJL>90°,
∴OL>OJ,故当点B为MN中点时,d最小,
连接OB,AO,过点A作AQ⊥OB于点Q,而AB=AO=3,
∵点B为MN的中点,
∴OB⊥MN.
同(2)可得OB=2,
∴BQ=OQ=1,
∴AQ==2,
∵∠ABC=90°=∠AQB,
∴∠OBJ+∠ABO=90°=∠ABO+∠BAQ,
∴∠OBJ=∠BAQ,
∴tan∠OBJ=tan∠BAQ,
∴.
设OJ=m,则BJ=2m,
∵OJ2+BJ2=OB2,
∴m2+(2m)2=22,
解得m=(m的负值已舍去),
∴OJ的最小值为,即d的最小值为.

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