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第29课时　视图与投影、立体图形的展开与折叠
考点一　投影
投影 物体在光线的照射下,在某个平面内所形成的影子
平行投影 由①　　　　光线(如太阳光线)形成的投影
中心投影 同一点(点光源,如手电筒、电灯泡)发出的光线形成的投影
同一时刻,同一地点太阳光下物高和其影长成正比,但灯光下物高和其影长不具备这样的性质.
① 下列现象是物体的投影的是 (　　)
A.小明看到镜子里的自己 B.灯光下猫咪映在墙上的影子
C.自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D.掉在地上的树叶
② 小亮同学在教学活动课中,用一块长方形硬纸板在阳光下做投影试验,通过观察,发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是 (　　)
A.线段 B.三角形 C.平行四边形 D.正方形
③ 下列投影:①灯光下窗帘的影子;②阳光下大树的影子;③皮影;④路灯下行人的影子;⑤日晷指示时间的影子;⑥贝贝在阳光下散步的影子;⑦房屋在阳光下的影子.其中属于平行投影的是　　　　,属于中心投影的是　　　　.
考点二　三视图
概念
(1)主视图:在正面内得到的由前向后观察物体的视图.
(2)左视图:在侧面内得到的②　　　　　观察物体的视图.
(3)俯视图:在水平面内得到的由上向下观察物体的视图.
画法
(1)位置:
(2)大小:主视图与俯视图要长对正,主视图与左视图要高平齐,左视图与俯视图要宽相等.
(3)虚实:在画图时,看得见的部分的轮廓线通常画成③　　　　线,看不见的部分的轮廓线通常画成④　　　　线.
常见几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥
球体
正三棱柱
正三棱锥
对常见几何体的组合体,在判断其三视图时,要注意分清每一部分的三视图形状,然后根据其摆放位置及各部分大小决定组合体的具体视图.
由三视图还原几何体
④ 在平整的地面上,用若干个完全相同的棱长为1 cm的小正方体堆成一个几何体,如图所示:
(1)这个几何体是由　　　　个小正方体组成,请画出这个几何体的三视图.
(2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆,每平方厘米用2克,则共需　　　　克漆.
(3)若现在你手头还有一些相同的小正方体,如果保持俯视图和左视图不变,最多可以再添加　　　
个小正方体.
⑤ 一个几何体的三视图如图所示.
(1)写出这个几何体的名称.
(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角.
(3)求这个几何体的全面积.
考点三　立体图形的展开与折叠
常见几何体的展开图
几何体 展开图 示例
圆柱 两个等圆和一个⑤　　　
圆锥 一个圆和一个⑥　　　
正方体 六个全等的⑦　　　
三棱柱 两个全等的三角形和三个矩形
正方体展开图的常见类型及相对面
(1)“一四一”型.巧记:中间四个面(上、下各一面).
(2)“一三二”型.巧记:中间三个面(一、二隔河见).
(3)“二二二”型.巧记:中间两个面(楼梯天天见).
(4)“三三”型.巧记:中间没有面(三、三连一线).
(注:相同颜色表示相对的面)
正方体展开图,相对的面一定不相邻或者没有公共点,在展开图中不能出现“”“”图形;若出现“”类型,另两面必须在两侧,可借助此方法来排除错误选项.
立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形,这个平面图形可以折叠成相应的几何体,展开与折叠是一对互逆过程.
⑥ (2024·唐山古冶区三模)如图,是一个正方体茶盒的表面展开图.
(1)在图1中,将其折叠成正方体后,与顶点K重合的顶点是　　　　.
(2)在图2中距顶点A最远的点是　　　　.
图1　 图2
一个几何体的三种视图如图所示.
(1)这个几何体的名称是　　　　,其侧面积为　　　　.
(2)画出它的一种表面展开图.
(3)求出左视图中AB的长.
(1)正三棱柱　72
解析:这个几何体的名称是正三棱柱,
这个几何体的侧面积为3×4×6=72.
(2)解:展开图如下:
(3)解:如图,在△EFG中,过点E作EH⊥FG于点H,
则FH=2,EH==2,
故左视图中AB的长为2.
如图,小树AB在路灯O的照射下形成投影BC.
(1)此光源下形成的投影属于　　　　(填“平行投影”或“中心投影”).
(2)已知树高AB为2 m,树影BC为3 m,树与路灯的水平距离BP为4.5 m.求路灯的高度OP.
(1)中心投影
解析:∵此光源属于点光源,
∴此光源下形成的投影属于中心投影.
(2)解:∵AB⊥CP,PO⊥PC,
∴OP∥AB,
∴△ABC∽△OPC,
∴=,
即=,
解得OP=5,
∴路灯的高度为5 m.
命题点一　三视图
一、三视图的判断
(2024·河北)如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体,它的主视图是 (　　)
A　　　 B C　　　 D
(2023·河北)如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成,比较两个几何体的三视图,正确的是 (　　)
A.仅主视图不同
B.仅俯视图不同
C.仅左视图不同
D.主视图、左视图和俯视图都相同
(2024·河北)图2是图1中长方体的三视图,若用S表示面积,且S主=x2+2x,S左=x2+x,则S俯= (　　)
图1　 图2
A.x2+3x+2 B.x2+2
C.x2+2x+1 D.2x2+3x
二、由三视图还原几何体
(2023·河北)图中的三视图所对应的几何体是 (　　)
主视图　　　　左视图
　　　　 　
俯视图
A B C D
(2024·河北)图中三视图对应的几何体是 (　　)
A B C D
(2023·河北)如图1,一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体,要得到一个几何体,其主视图和左视图如图2,平台上至少还需再放这样的正方体 (　　)
主视图　 左视图
图1 　　图2
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
命题点二　立体图形的展开与折叠
一、几何体的认识
(2024·河北)如图,①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体,若组合其中的两个,恰是由6个小正方体构成的长方体,则应选择(　　)
A.①③ B.②③
C.③④ D.①④
二、立体图形的展开与折叠
(2023·河北)一个骰子相对两面的点数之和为7,它的展开图如图,下列判断正确的是 (　　)
A.A代表 B.B代表
C.C代表 D.B代表
(2023·河北)图1和图2中所有的正方形都全等,将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置,所组成的图形不能围成正方体的位置是 (　　)
图1　 图2
A.① B.② C.③ D.④
(2022·河北)图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中小正方形顶点A,B在围成的正方体上的距离是 (　　)
图1　　 图2
A.0 B.1 C. D.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①平行　②由左向右　③实　④虚
⑤矩形　⑥扇形　⑦正方形
对应练习
1.B
2.B
3.②⑤⑥⑦　 ①③④
4.解:(1)10
这个几何体的三视图如图所示:
(2)64
解析:这个几何体的表面有38个正方形,除了地面上的6个,32个面需要喷上黄色的漆,
∴表面积为32 cm2,32×2=64(克),
∴共需64克漆.
(3)4
解析:如果保持俯视图和左视图不变,最多可以再添加1+2+1=4(个)小正方体.
5.解:(1)由三视图可知,该几何体为圆锥.
(2)由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4,母线为6,
则2π×2=,
所以n=120,即这个几何体侧面展开图的圆心角为120°.
(3)该几何体的全面积=S侧+S底=π×2×6+π×22=16π.
6.(1)D　(2)C　解析:(1)观察发现,折叠成正方体后,与顶点K重合的顶点是点D.
(2)将其折叠成正方体后,把图形围成立方体如图所示:
设正方体的棱长为1,则AD=1,AB=AE=,AC=,
∵1<<,
∴与顶点A距离最远的顶点是C.
河北中考·真题体验
1.D　解析:从左边看,一共有三列,从左到右小正方形的个数分别是3,1,1.故选D.
2.A　解析:由题图可知其主视图有两层,上面一层有两个,下面一层有三个小正方形.故选A.
3.D
4.A　解析:∵S主=x2+2x=x(x+2),S左=x2+x=x(x+1),∴俯视图的长为(x+2),宽为(x+1).∴俯视图的面积S俯=(x+2)(x+1)=x2+3x+2.故选A.
5.B　解析:只有B中几何体的主视图和已知三视图中的主视图一致,接下来再比较左视图与俯视图,不难发现左视图、俯视图也相同.故选B.
6.C
7.B　解析:由题意画出草图,如图,
平台上至少还需再放这样的正方体2个.故选B.
8.D　解析:由①④组合恰好是由6个小正方体构成的长方体.故选D.
9.A　解析:根据正方体的表面展开图可知,相对的面之间一定相隔一个正方形,A和点数是1的面相对,B和点数是2的面相对,C和点数是4的面相对.∵骰子相对两面的点数之和为7,∴A代表点数是6,B代表点数是5,C代表的点数是3.故选A.
10.A　解析:将题图1的正方体放在题图2中的①的位置出现重叠的面,∴不能围成正方体.符合题意.故选A.
11.B　解析:将题图1还原成题图2所示的正方体后,可知AB是正方体的棱长.∴AB=1.故选B.

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