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第30课时　尺规作图
考点一　五种基本尺规作图
项目 作图内容 图示及隐 含的性质 步骤 作图依据 转化
类型一 作一条线段等于已知线段(已知线段a) 1.作射线OP. 2.以点O为圆心,①　　　　 为半径作弧,交OP于点A,OA即为所求线段 圆上的点到圆心的距离等于半径 作等腰三角形
类型二 作一个角等于已知角(已知∠α) 1.在∠α中以点O为圆心,适当长为半径作弧,交∠α的两边于点P,Q. 2.作射线O'A'. 3.以点O'为圆心,②　　　　 长为半径作弧,交O'A'于点M. 4.以点M为圆心,③　　　　 长为半径作弧,交前弧于点N. 5.过点N作射线O'B',∠A'O'B'即为所求角 三边分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等;两点确定一条直线 作一个角其中一边的平行线
类型三 作一个角的平分线(已知∠AOB) PE=PF ∠BOP= ∠AOP 1.以点O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于点N,M. 2.分别以点④　　　　为圆心,以⑤　　　　　　为半径作弧,两弧相交于点P. 3.作射线OP,OP即为∠AOB的平分线 ①在角的内部找一点,使其到角两边的距离相等;②作三角形的内切圆
类型四 作一条线段的垂直平分线(已知线段AB) AO=BO △ABM为等腰 三角形 ∠AOM=∠BOM =90° 1.分别以点A,B为圆心,⑥　　 　　　　为半径,在AB两侧作弧,两弧相交于M,N两点. 2.过点M,N作直线MN,直线MN即为线段AB的垂直平分线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 ①过三角形的一个顶点作直线,使其平分三角形的面积;②作三角形的外接圆;③作一点到已知两点的距离相等
类型五 过一点作已知直线的垂线(已知点P和直线l) 点P在直线l上 ∠APM= ∠BPM=90° 1.以点P为圆心,任意长为半径向点 P两侧作弧,分别交直线l于A,B两点. 2.分别以点A,B为圆心,⑦　　　　　　为半径在直线l一侧作弧,两弧相交于点M. 3.过点M,P作直线MP,则直线MP即为所求垂线 等腰三角形“三线合一”;两点确定一条直线 过一点作直角三角形或作一个角等于 90°
点P在直线l外 1.任取一点M,使点M和点P在直线l的⑧　　　　. 2.以点P为圆心,PM长为半径作弧,分别交直线l于A,B两点. 3.分别以点A,B为圆心,⑨　　　　为半径作弧,两弧在点 M同侧交于点N. 4.过点P,N作直线PN,则直线PN即为所求垂线 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;两点确定一条直线 过直线外一点作与直线相切的圆
① 如图1,已知∠POQ.
　　 　图1　　　　　　 　　图2
如图2,作∠DBE=∠POQ,步骤如下:
①以　■　为圆心,适当长为半径画弧,分别交OP,OQ于点M,N;
②作射线BE,并以点B为圆心,　□　长为半径画弧交BE于点G;
③以点G为圆心,　▲　长为半径画弧与②中所画弧交于点F;
④过点F作　△　,∠DBE即为所求作的角.
以上横线上符号代表的内容正确的是(　　)
A.■表示点B B.□表示ON
C.▲表示ON D.△表示射线BE
② 如图,已知线段AB=4,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,Q,连接CQ,与AB相交于点D,连接AC,BC,∠ACB=60°.
(1)∠ADC的度数为　　　　.
(2)∠ACD=　　　　.
(3)△ABC的面积等于　　　　.
考点二　常见基本尺规作图形式
作图内容 作法1 作法2
作三 角形 已知两边及其夹角作三角形 已知底边及底边上的高作等腰三角形
注:只选取一边一角时,也可以作等腰三角形
用基本作图的类型一、二 用基本作图的类型一、四
作平行 四边形 已知两边及夹角 已知两对角线及其夹角
用基本作图的类型一、二 用基本作图的类型一、二、四
作矩形 已知两边 已知对角线及其夹角
用基本作图的类型一、五 用基本作图的类型一、二、四
作菱形 已知一内角及边长 已知两对角线
用基本作图的类型一、⑩　　　 用基本作图的类型一、四
作正 方形 已知一边 已知一对角线
用基本作图的类型一、五 用基本作图的类型一、四
作圆
用基本作图的类型　　　 用基本作图的类型三、五
作圆的 内接正 多边形
用基本作图的类型四 用基本作图的类型一
③ 在 ABCD中,用尺规作图作等腰三角形ABE,下列作图正确的是 (　　)
A.①② B.①③ C.③④ D.②④
④ 用直尺和圆规在一个矩形内作菱形ABCD,下列作法中,错误的是 (　　)
⑤ (2023·台州)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,BD为对角线.
(1)证明:四边形ABCD是平行四边形.
(2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹,不要求写作法).
操作:(1)下面是黑板上出示的尺规作图题,下列关于横线上符号代表的内容描述正确的是 (　　)
如图,已知∠AOB.
求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:①以　※　为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;
②作射线EG,并以点E为圆心,　　◎　　长为半径画弧,交EG于点D;
③以点D为圆心,　　√　　长为半径画弧,交第②步中所画弧于点F;
④作　　@　　,则∠DEF即为所求作的角.
　　
A.※表示点 E B.◎表示 PQ
C.√表示OQ D.@表示射线 EF
拓展:(2)∠DEF与∠AOB相等的理由是 (　　)
A.根据“边边边”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
B.根据“边角边”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
C.根据“角角边”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
D.根据“角边角”可知,△POQ≌△DEF,所以∠AOB=∠DEF
应用:(3)如图1,将一个三角形纸片沿虚线裁下一个小三角形,依据作图痕迹及图2中的数据,裁下的小三角形纸片的周长是 (　　)
图1　 图2
A.22　　　 B.22.5　　　　 C.23　　　　 D.23.5
在几何里,把限定用直尺(无刻度)和圆规来画图的,称为尺规作图.这两种文具均不能直接作角,因此作一个角等于已知角和作一个角的角平分线都是利用线段的等长构造全等三角形来实现的,而作已知直线(线段)的垂线则是依据垂直平分线的逆定理进行作图的.
(1)D　解析:作法:①以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB 于点P,Q;
②作射线EG,并以点E为圆心,OP长为半径画弧,交EG于点D;
③以点D为圆心,PQ长为半径画弧,交第②步中所画弧于点F;
④作射线EF,则∠DEF即为所求作的角.
(2)A　解析:如图1,连接PQ,DF.
在△POQ和△DEF中,
∵OQ=EF,OP=ED,PQ=DF,
∴△POQ≌△DEF(SSS),
∴∠AOB=∠DEF(全等三角形的对应角相等).
图1 图2
(3)B　解析:如图2,根据基本作图得∠ADE=∠ACB,CE=DE=6,BC=12,BD=10.5,设AE=x,AD=y,
∵∠ADE=∠ACB,
∠DAE=∠CAB,
∴△ADE∽△ACB,
∴==,
即==,
∴
解得
∴裁下的小三角形纸片的周长为6+9+7.5=22.5.
命题点一　五种基本尺规作图
(2024·河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的 (　　)
A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线
(2023·河北)如图1,已知∠ABC,用尺规作它的角平分线.如图2,步骤如下,第一步:以点B为圆心,a为半径画弧,分别交射线BA,BC于点 D,E;第二步:分别以点D,E为圆心,b为半径画弧,两弧在∠ABC内部交于点P;第三步:画射线BP.射线BP即为所求.
第一步　第二步　第三步
图1　　　　 　图2
下列正确的是 (　　)
A.a,b均无限制
B.a>0,b>DE的长
C.a有最小限制,b无限制
D.a≥0,b (2024·河北)尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是 (　　)
A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ
B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ
C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ
D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ
(2024·河北)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 (　　)
(2022·河北)如图,已知△ABC(AC (2023·河北)如图,已知钝角三角形ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以点C为圆心,CA为半径画弧①;
步骤2:以点B为圆心,BA为半径画弧②,交弧①于点D;
步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是 (　　)
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AB=AD
(2023·河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=　　　　°.
命题点二　常见基本尺规作图形式
(2023·河北)如图,等腰三角形AOB中,顶角∠AOB=40°,用尺规按①到④的步骤操作:
①以点O为圆心,OA为半径画圆;
②在☉O上任取一点P(不与点A,B重合),连接 AP;
③作AB的垂直平分线与☉O交于点M,N;
④作AP的垂直平分线与☉O交于点E,F.
结论Ⅰ:顺次连接M,E,N,F四点必能得到矩形;
结论Ⅱ:☉O上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB.
对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是 (　　)
A.Ⅰ和Ⅱ都对
B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对,Ⅱ对
D.Ⅰ对,Ⅱ不对
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①a　②OP　③PQ　④M,N　⑤大于MN的长　⑥大于AB的长　
⑦大于AB的长　⑧两侧　
⑨大于AB的长　⑩二　四
对应练习
1.B
2.(1)90°　(2)30°　(3)4
3.B　解析:①由作图可知,AB=AE,因此△ABE是等腰三角形,故本项符合题意;
②由作图可知,AE=ED,因此得不出△ABE是等腰三角形,故本项不符合题意;
③由作图可知,∠ABE=∠EBC,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∴△ABE是等腰三角形,故本项符合题意;
④由作图可知,∠ABE=∠EBD,因此得不出△ABE是等腰三角形,故本项不符合题意;
①③符合题意.故选B.
4.B　解析:A.由作图可得,BD垂直平分线段AC,
∴BA=BC,DA=DC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥AD,∴∠CBD=∠ADB,
∴∠ABD=∠ADB,
∴BA=AD,
∴CB=AB=AD=DC,
∴四边形ABCD是菱形,正确;
B.由作图可得,如图,AB平分∠DAE,
∴∠BAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE.
∵BC的长度和EB的长度关系不确定,
∴四边形ABCD不一定是菱形,错误;
C.由作图可得,AD=AB=BC,且BC∥AD,
∴四边形ABCD是菱形,正确;
D.由作图可得,AC平分∠DAB,AB=AD,
∴∠DAC=∠CAB.∵BC∥AD,
∴∠DAC=∠ACB,
∴∠CAB=∠ACB,
∴AB=BC,∴AB=BC=AD,
∴四边形ABCD是菱形,正确.故选B.
5.解:(1)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵∠A=∠C,
∴180°-(∠ADB+∠A)=180°-(∠CBD+∠C),即∠ABD=∠CDB.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图,
四边形BEDF就是所求作的菱形.
河北中考·真题体验
1.B　解析:由作图可知BD⊥AC,故线段BD是△ABC的高.故选B.
2.B　3.D　4.C
5.D　解析:由选项D的作图可知,点P在线段AB的垂直平分线上.∴PA=PB.∵PB+PC=BC,∴PA+PC=BC.故选D.
6.A　解析:A正确,∵CA=CD,BA=BD,∴点C,B在线段AD的垂直平分线上.∴直线BC是线段AD的垂直平分线.B错误,AC不一定平分∠BAD.C错误,应该是S△ABC=BC·AH.D错误,根据条件AB不一定等于AD.故选A.
7.56　解析:如图.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠DAC=∠ACB=68°.
由图得AF平分∠DAC,EF垂直平分AC.∴∠FAC=∠DAC=34°.∴∠α=∠AFE=90°-∠FAC=56°.
8.D　解析:如图,连接EM,EN,MF,NF.∵OM=ON,OE=OF,∴四边形MENF是平行四边形.∵EF=MN,∴四边形MENF是矩形.故Ⅰ正确.由图知当∠MOF=∠AOB时,S扇形FOM=S扇形AOB,由于圆的对称性,这样的点P在直线MN的右侧仍有一个,∴这样的点P不唯一,故Ⅱ错误.故选D.

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