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第31课时　图形的对称
考点一　轴对称图形与中心对称图形
项目 轴对称图形 中心对称图形
图形
判断方法 (1)有对称轴——直线. (2)图形沿对称轴折叠,对称轴两边的图形完全①　　　 (1)有对称中心——点. (2)图形绕对称中心旋转②　　　,旋转前后的图形完全重合
常见的轴对称图形:等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等; 常见的中心对称图形:平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等; 常见的既是轴对称图形,又是中心对称图形:菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等
① (冀教八上P127变式)(1)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
(2)下列图形中,是轴对称图形且对称轴最多的图形是 (　　)
　 　 　
A B C D
考点二　轴对称与中心对称
项目 轴对称 中心对称
图形
性质 1.成轴对称的两个图形是全等图形. 2.对称点所连线段被对称轴垂直平分 1.成中心对称的两个图形是全等图形. 2.对称点所连线段都经过对称中心,并且被对称中心平分
作图 方法 1.找出原图形的关键点,作出它们关于对称轴(或对称中心)的对称点. 2.根据原图形依次连接各对称点即可
② 将一张矩形纸片折叠一次,使折痕平分这个矩形的面积,则这样的折叠方法有 (　　)
A.2种 B.4种 C.6种 D.无数种
③ 如图,若点A与点B关于一个点对称,则这个点是 (　　)
A.点P B.点M
C.点Q D.点N
④ (人教八上P59变式)如图,若△ABC 与△A'B'C'关于直线MN对称,BB'交 MN于点O,则下列说法:①AC=A'C';②AB∥B'C' ;③AA'⊥MN;④BO=B'O;⑤线段 AA',BB',CC'被直线 MN 垂直平分;⑥线段 BA 和 B'A'的延长线的交点在直线 MN 上.正确的有　　　　.(填序号)
考点三　图形的折叠
实质 折叠问题就是轴对称变换
性质 1.位于折痕两侧的图形关于折痕对称. 2.折叠前后的两部分图形③　　　,对应边、角、线段、周长、面积等均④　　　　. 3.折叠前后对应点的连线被折痕垂直平分
⑤ 如图,矩形ABCD中,AD=8,AB=6,将矩形ABCD沿BD折叠,点A的对应点为A',设BC与DA'的交点为G.
(1)BG与DG的数量关系是　　　　.
(2)A'G与CG的数量关系是　　　　.
(3)连接AA',则AA'的长度为　　　　.
(4)△BA'G与△DCG的关系是　　　　.
考点四　常见图形的裁剪与拼接
常见图 形的裁 剪、拼接 1.在任意直角三角形中,找其中任意两条边的中点,沿着中点的连线裁剪,可拼接成平行四边形.
2.等腰直角三角形还可以沿着斜边中线裁剪,拼成以下三种平行四边形,也就是说两个全等的三角形可以拼成三种平行四边形.
常见图 形的裁 剪、拼接 3.一大一小两个正方形可以裁剪拼接成一个大正方形.
4.当满足=时,左边正方形可剪拼成右边矩形,反之亦然.
面积变 化情况 总面积不变
周长变 化情况 1.一个图形裁剪成两个图形,周长增加两个裁剪痕迹的长. 2.两个图形拼成一个图形,周长减少两个拼接口的长
⑥ 如图,有一块菱形纸片ABCD,沿高DE剪下后拼成一个矩形,矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5,3,则EB的长是 (　　)
A.0.5 B.1
C.1.5 D.2
⑦ 如图所示,将一张直角三角形纸片ABC剪成①②③④四部分,恰好拼成一个无缝隙无重叠的正方形.已知∠ACB=90°,AC=6,BC=8,则
(1)DE=　　　　.
(2)GF=　　　　.
如图,在3×3的方格中,第一层有灰色方块甲,可在方格A,B,C中移动,第二层有两个固定不动的灰色方块,第三层有灰色方块乙,可在D,E,F方格中移动,甲、乙移入方格后,四个灰色方块构成各种图案.
(1)若乙固定在E处,移动甲后灰色方块构成的图案是轴对称图形有几种情形
(2)若甲、乙均可在本层移动,求出灰色方块所构成图案是中心对称图形的情形.
(1)若乙固定在E处,移动甲后灰色方块构成的拼图一共有3种可能,其中有2种情形是轴对称图形.
(2)灰色方块所构成的拼图中是中心对称图形有两种情形:①甲在B处,乙在F处;②甲在C处,乙在E处.
如图,在正方形网格中,△ABC三个顶点在格点上,每个小方格的边长为1个单位长度.
(1)请在正方形网格中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.
(2)连接BB1,CC1,求四边形BB1C1C的面积.
(3)请在直线l找一点P,使得PA=PB.
(1)分别作A,B,C三点关于直线 l的对称点A1,B1,C1,依次连接A1,B1,C1即可得到△A1B1C1,如图1所示:
图1　 图2
(2)如图2,四边形BB1C1C为等腰梯形,
∵每个小方格的边长为1个单位长度,∴BB1=6,CC1=8,∴四边形BB1C1C的面积为(6+8)×2÷2=14.
(3)作线段AB的垂直平分线交直线l于点P,则此时PA=PB,如图3所示,点P即为所求.
图3
命题点一　轴对称图形与中心对称图形
(2023·河北)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是 (　　)
　 　　 　　 　
A B C D
(2024·河北)图中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线 (　　)
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
(2023·河北)图1和图2中所有的小正方形都全等.将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是 (　　)
图1　　 图2
A.① B.② C.③ D.④
(2023·河北)一张菱形纸片按图1、图2依次对折后,再按图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是 (　　)
(2024·河北)如图,在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑,还需涂黑n个小正三角形,使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴,则n的最小值为 (　　)
A.10 B.6 C.3 D.2
命题点二　轴对称与中心对称
(2024·河北)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是 (　　)
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
命题点三　图形的折叠
(2024·河北)如图,将△ABC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕l,则l是△ABC的 (　　)
A.中线 B.中位线 C.高线 D.角平分线
(2012·河北)如图,在 ABCD中,∠A=70°,将 ABCD折叠,使点D,C分别落在点F,E处(点F,E都在AB所在的直线上),折痕为MN,则∠AMF等于 (　　)
A.70° B.40° C.30° D.20°
命题点四　常见图形的裁剪与拼接
(2023·河北)如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则 (　　)
甲　　乙
A.甲、乙都可以
B.甲、乙都不可以
C.甲不可以,乙可以
D.甲可以,乙不可以
(2024·河北)情境　图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的.该纸片通过裁剪,可拼接为图2所示的钻石型五边形,数据如图所示.
(说明:纸片不折叠,拼接不重叠无缝隙无剩余)
操作　嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪,拼成了钻石型五边形.
如图3,嘉嘉沿虚线EF,GH裁剪,将该纸片剪成①,②,③三块,再按照图4所示进行拼接.根据嘉嘉的剪拼过程,解答问题:
(1)直接写出线段EF的长.
(2)直接写出图3中所有与线段BE相等的线段,并计算BE的长.
探究　淇淇说:将图1所示纸片沿直线裁剪,剪成两块,就可以拼成钻石型五边形.
请你按照淇淇的说法设计一种方案:在图5所示纸片的BC边上找一点P(可以借助刻度尺或圆规),画出裁剪线(线段PQ)的位置,并直接写出BP的长.
图1 图2
图3 图4
图5
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①重合　②180°　③全等　④相等
对应练习
1.(1)B　(2)C　解析:(1)A.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B.该图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;
C.该图形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
D.该图形是中心对称图形,不是轴对称图形,不符合题意.故选B.
2.D　解析:因为矩形是中心对称图形,且对角线的交点是其对称中心,所以当沿着经过对角线交点的任一直线折叠时,矩形的面积都会被平分,所以有无数种折叠方法.故选D.
3.B　解析:如图,连接AB只有点P,M,N在这条直线上.∴点A和点B不是关于点Q对称.经测量AM=BM,APBN,∴点M是对称点.故选B.
4.①③④⑤⑥　解析:∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,∴AC=A'C',AA'⊥MN,BO=OB',线段 AA',BB',CC'被直线 MN 垂直平分,∴BA 和 B'A'的延长线的交点在MN上,一对对称点的连线被对称轴垂直平分.故①③④⑤⑥正确.
5.(1)DG=BG　(2)A'G=CG　(3)
(4)△BA'G≌△DCG
解析:(1)∵△A'BD是由△ABD折叠得到,
∴∠ADB=∠A'D B.
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠A'DB=∠DBG,∴DG=BG.
(2)∵BD是矩形ABCD的对角线,
∴△ABD≌△CDB.
∵△A'BD是由△ABD折叠得到,
∴△A'BD≌△ABD,
∴△CDB≌△A'BD,∴BC=A'D.
∵BG=DG,
∴A'G=CG.
(3)如图,由折叠的性质可知,AA'⊥BD,且AA'与BD交于点E.
∵AD=8,AB=6 ,
∴根据勾股定理可得,BD=10,
由面积关系可得,AB·AD=BD·AE,
∴AE=,
∴AA'=2AE=.
(4)∵△A'BD是由△ABD折叠得到,
∴∠BA'D=∠C,A'B=AB.
∵AB=DC,∴A'B=CD,
∵∠A'GB=∠CGD,
∴△BA'G≌△DCG(AAS).
6.B　解析:∵四边形ABCD是菱形,AB=DC=5,∴AD=BC=5.∵DE=3,∴∠DEA=90°.∴AE=4.∴BE=5-4=1.故选B.
7.(1)3　(2)2-2　解析:(1)由题意,CE=EB=BC=4,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE=AC=3.
(2)由题意,正方形的面积=24,
∴AG=CF=2,
∴CG==
=2,
∴GF=CF-CG=2-2.
河北中考·真题体验
1.A　
2.C　解析:沿直线l3折叠,左右两部分能完全重合.故选C.
3.C
4.C
5.C　解析:如图所示,n的最小值为3.故选C.
6.A　解析:如图,连接AC,BD,
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称,
∴△ABO≌△CDO,
PQ⊥AC,PQ⊥BD,
∴AC∥BD,
故B,C,D选项正确,AD不一定垂直BC,故A选项不一定正确.故选A.
7.D　解析:如图,由已知可得,∠1=∠2,则l为△ABC的角平分线.故选D.
8.B　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
根据折叠的性质可得:MN∥AE,∠FMN=∠DMN,
∴AB∥CD∥MN.
∵∠A=70°,
∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°,
∴∠AMF=180°-∠DMN-∠FMN=180°-70°-70°=40°.故选B.
9.A　解析:所作图形如图所示,甲、乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形.故选A.
甲　 乙
10.解:(1)线段EF的长为1.
解析:如图1,过G'作G'K⊥FH'于点K,结合题意可得,四边形FOG'K为矩形,
∴FO=KG',
图1
由拼接可得:HF=FO=KG',
由正方形的性质可得,∠A=45°,
∴△AHG,△H'G'D,△AFE都为等腰直角三角形,
∴△G'KH'为等腰直角三角形.
设H'K=KG'=x,
∴H'G'=H'D=x,
∴AH=HG=x,HF=FO=x,
∵正方形的边长为2,
∴对角线的长为=2,
∴OA=,
∴x+x+x=,
解得x=-1,
∴EF=AF=(+1)x=(+1)·(-1)=1.
(2)与线段BE相等的线段有GE,GH,AH.
∵△AFE为等腰直角三角形,EF=AF=1,
∴AE=EF=,
∴BE=AB-AE=2-.
探究　BP的长为或2-.
解析:如图2,以B为圆心,BO为半径画弧交BC于点P',交AB于点Q',则直线P'Q'为分割线,
图2
此时BP'=,P'Q'==2,符合要求,
或以C圆心,CO为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,则直线PQ为分割线,
此时CP=CQ=,PQ==2,
∴BP=2-.
综上,BP的长为或2-.

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