资源简介

第33课时　统计
考点一　数据的收集
调查方式
项目 定义 适用条件
全面调查 (普查) 对①　　　　进行的调查 调查的范围小,调查不具有破坏性,数据要求准确、全面
抽样 调查 从被考察的全体对象中抽取②　　　　进行考察的调查方式 调查对象涉及面大、范围广,普查的意义或价值不大,或受条件限制,无法进行普查或调查具有破坏性等
相关概念
总体 所要考察对象的③　　　　叫做总体
个体 组成总体的每一个考察对象叫做④　　　
样本 从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本
样本容量 一个样本中包含的⑤　　　　叫做样本容量
简单随机抽样 能保证总体中的每个个体都有相等的机会被抽到的抽样方法
用样本估计总体 总体中某组的数量=总体数量×样本中该组所占的百分比
样本容量指样本中个体的数目,没有单位.
① 3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了解某校800名九年级学生的睡眠时间,从13个班级中随机抽取50名学生进行调查,下列说法正确的是 (　　)
A.800名学生是总体
B.13个班级是抽取的一个样本
C.50是样本容量
D.每名学生是个体
② (人教七下P140变式)下列调查中,　　　　适宜使用抽样调查方式,　　　　适宜使用普查方式.(只填序号)
①了解全国中小学生每天的零花钱;②调查某校篮球运动员的身高;③了解某校八(1)班期末考试总成绩;④调查20~25岁年轻人最崇拜的偶像.
考点二　数据的整理与描述
频数与频率
频数 定义 在统计时,每个对象出现的次数
规律 频数之和等于⑥　　　
频率 定义 每个对象出现的次数与总次数的比值
常见的统计图表
项目 图表示例 图表特点 数据特点
条形 统计 图 能够显示每组中的具体数据,易于比较数据之间的差别 (1)能清楚地表示出各部分的⑦　　　　; (2)各部分数量之和等于⑧　　　　(样本容量)
扇形 统计 图 易于显示每组数据相对于总数的大小 (1)能清楚地表示出各部分在总体中所占的⑨　　　　; (2)各百分比之和等于　　　　; (3)圆心角度数=　　　
折线 统计 图 可以表示出数量的多少,易于显示数据的变化趋势 各组频数之和等于样本容量
频数 分布 直方 图 能够清楚地显示各组频数分布情况,易于显示各组之间频数的差别 (1)各组频数之和等于样本容量; (2)各组频率之和等于　　　　; (3)数据总数×各组的频率=相 应组的　　
频数 分布 表 分组频数………………
容易判断数据的多少,比较各个小组的差别 各组频数之和等于　　　
③ 某班按课外阅读时间将学生分为3组,第1,2组的频率分别为0.2,0.5,则第3组的频率是　　　　.
④ (冀教八下P22变式)根据《河北省初中学业水平体育与健康科目考试现场测试办法(试行)》,从2024年中考开始,体育与健康科目包含过程性考核和现场测试.现场测试项目包括三类,必考项目,抽考项目,选考项目.其中,选考项目包含三项:A.足球运球绕杆;B.篮球运球绕杆;C.排球正面双手垫球(三选一).
某学校为了迎接中考,对新升入八年级的部分学生进行如下统计调查:
类别 选考项目 你的选择
A 足球运球绕杆
B 篮球运球绕杆
C 排球正面双手垫球
他们将调查结果整理后绘制成图1、图2、图3三幅均不完整的统计图表.
类别 频数 频率
A 36 0.45
B 0.25
C 24 b
合计 a 1
图1
图2　 图3
请根据图表中提供的信息回答下列问题:
(1)a=　　　　;b=　　　　.
(2)请求出图2中“C”对应扇形的圆心角.
(3)请补全图3中“B”所对应的条形.
(4)若该校有600名新八年级学生,请你根据调查估计八年级选择A.足球运球绕杆的人数.
考点三　数据的分析
反映数据集中趋势的统计量
平 均 数 反映数据的平均水平,易受极端值的影响 算术 平均数 一组数据x1,x2,x3,…,xn,它们的平均数=　　　
加权 平均数 如果n个数据中,x1出现f1次,x2出现f2次,…,xi出现fi次(这里f1+f2+…+fi=n),则=(x1f1+x2f2+…+xifi)
中 位 数 反映数据的中等水平,不受极端数据的影响 将一组数据按照　　　　的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则称处于 　　　　位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则称中间两个数据的　　　　为这组数据的中位数
众 数 反映数据的集中趋势 在一组数据中,出现次数　　　　的数据叫做这组数据的众数,一组数据的众数可能不止一个,也可能没有众数
反映数据波动大小的统计量——方差
定义 设有n个数据x1,x2,x3,…,xn,它们的平均数是,则它们的方差为s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]
意义 方差越大,数据的波动越　　　　, 越不稳定;方差越小,数据的波动越　　　　, 越稳定
应用 在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性
数据变化对平均数、方差的影响
数据 平均数 方差
x1,x2,…,xn s2
x1+m,x2+m,…,xn+m +m s2
ax1,ax2,…,axn a a2s2
ax1+m,ax2+m,…,axn+m a+m a2s2
⑤ 已知数据x1,x2,…,xn的平均数是2,方差是6,若一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是m,方差是n,则m-n=　　　　.
⑥ (人教八下P113变式)某同学上学期的数学历次测验成绩如下表所示:(单位:分)
测验 类别 平时测验 期中测验 期末测验
第1次 第2次 第3次 第4次
成绩 100 106 106 108 96 110
(1)该同学上学期6次测验成绩的众数为　　　　,中位数为　　　　.
(2)该同学上学期数学平时测验成绩的平均数为　　　　.
(3)该同学上学期的总成绩是将平时测验的平均成绩、期中测验成绩、期末测验成绩按照3∶3∶4的比计算所得,求该同学上学期数学学科的总评成绩(结果保留整数).
考点四　统计的一般过程
⑦ 班委会决定组织一次娱乐活动,内容从讲笑话和唱歌中选择一项,决定是讲笑话还是唱歌,班委会决定进行民意调查,下列说法错误的是 (　　)
A.调查的问题是:选择讲笑话还是唱歌
B.调查的范围是:全班同学
C.调查的方式是:查找资料
D.这次调查需要收集的数据是:全班同学选择讲笑话和唱歌的人数
在校园艺术节活动中,同学们踊跃参加各项竞赛活动,参加的学生只能从“歌曲”“舞蹈”“小品”“主持”和“乐器”五个选项中选择一项.现将选择情况绘制成了条形统计图和不完整的扇形统计图,其中条形统计图部分被不小心污染.请根据统计图中的相关信息,回答下列问题:
图1　 图2
(1)图1中,根据数据信息可知:参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的　　　　倍,而统计图表现出来的直观情况却是:参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍,两个结果之所以不一样,是因为　　　　.
(2)请求出全校一共有多少名学生参加“舞蹈”比赛.
(3)在图2中,“小品”部分所对应的圆心角的度数为　　　　°.
(4)拟参加比赛活动的学生有50%获奖,并设置一等奖、二等奖、三等奖,共3个奖项,其中获二等奖与三等奖的人数之比为3∶5,二等奖人数是一等奖人数的1.5倍,则获一等奖的学生有　　　人.
(1)2　统计图的人数栏(纵轴)没有从零开始计数
解析:80÷40=2,
∴参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的2倍.
∵统计图的人数栏不是从零开始计数,
∴统计图表现出来的直观情况是参加“主持”比赛的人数是参加“乐器”比赛人数的3倍.
(2)解:80÷=400(人),
400×16%=64(人),
∴全校一共有64名学生参加“舞蹈”比赛.
(3)86.4
解析:400-120-64-80-40=96(人),
∴360°×=86.4°,
∴“小品”部分所对应的圆心角的度数为86.4°.
(4)40
解析:∵参加比赛活动的学生有50%获奖,总共有400人,
∴一共有200人获奖.
∵获二等奖与三等奖的人数之比为3∶5,二等奖人数是一等奖人数的1.5倍,
∴设一等奖人数为x人,则二等奖人数为1.5x人,三等奖的人数为2.5x人,
∴x+1.5x+2.5x=200,
解得x=40,
∴获一等奖的学生有40人.
为了解八年级同学对“学党史、知党恩、跟党走”知识的掌握情况,从甲、乙两个班各选出5名同学进行一次测试,满分10分,成绩如下:
甲班:8,8,7,8,9.
乙班:5,10,8,10,7.
已知甲班成绩的平均数,众数和中位数都是8分,方差是0.4.根据以上信息,回答下列问题:
(1)在调查过程中,采用了　　　　调查,其中样本是　　　　　　　,样本容量为　　　　.
(2)在上述数据中,乙班成绩的平均数是　　　　,众数是　　　　,中位数是　　　　.
(3)如果去掉乙班中的一个最高分和一个最低分,下面关于乙班成绩的统计量不发生变化的是 (　　)
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
(4)哪个班所选的学生的成绩比较均衡 请通过计算说明.
(5)已知竞赛成绩满分者可以获得奖牌,如果想获得奖牌,且只能从一个班中选5名代表参加竞赛,你认为选哪个班更合适 为什么
(6)若在记录过程中,乙班的第一个数据5统计有误,且知道正确数据的平均数为8.4,则乙组正确数据的众数为　　　　.
(1)抽样　甲、乙两个班各5名同学的成绩　10
(2)8分　10分　8分
(3)B
(4)解:甲班所选的学生成绩比较均衡.理由:
由(2)可知乙班成绩的平均数是8,
乙班成绩的方差:
s2==3.6,
∵0.4<3.6,
∴甲班所选的学生成绩比较均衡.
(5)解:选乙班更合适,理由如下:
∵竞赛成绩满分者可以获得奖牌,甲班5名学生的成绩中没有满分的,乙班5名学生的成绩中有两个满分的,∴如果想获得奖牌,且只能从一个班中选5名学生参加竞赛,选乙班更合适.
(6)7分和10分
解析:设该数据为x,则=8.4,解得x=7,∴乙班的数据为7,10,8,10,7.故众数为7分和10分.
命题点一　数据的收集
(2024·河北)某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类.以下是排乱的统计步骤:①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类;②去图书馆收集学生借阅图书的记录;③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比;④整理借阅图书记录并绘制频数分布表.正确统计步骤的顺序是 (　　)
A.②→③→①→④ B.③→④→①→②
C.①→②→④→③ D.②→④→③→①
命题点二　数据的分析
(2024·河北)图中的手机截屏内容是某同学完成的作业,他做对的题有 (　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(2024·河北)为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势,在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗,获得苗高(单位:cm)的平均数与方差为==13,==15;==3.6,==6.3,则麦苗又高又整齐的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
(2023·河北)如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图,第四次又买的苹果单价是a元/千克,发现这四个单价的中位数恰好也是众数,则a= (　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
(2022·河北)五名学生投篮球,规定每人投20次,统计他们每人投中的次数,得到五个数据.若这五个数据的中位数是6,唯一众数是7,则他们投中次数的总和可能是 (　　)
A.20 B.28 C.30 D.31
(2024·河北)五名同学捐款数分别是5,3,6,5,10(单位:元),捐10元的同学后来又追加了10元.追加后的5个数据与之前的5个数据相比,集中趋势相同的是 (　　)
A.只有平均数 B.只有中位数 C.只有众数 D.中位数和众数
(2023·河北)甲、乙两组各有12名学生,组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表,如图.
甲组12户家庭用水量统计表
用水量/吨 4 5 6 9
户数 4 5 2 1
乙组12户家庭用水量统计图
比较5月份两组家庭用水量的中位数,下列说法正确的是 (　　)
A.甲组比乙组大 B.甲、乙两组相等
C.乙组比甲组大 D.无法判断
(2024·河北)某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽试验,几天后观察并记录种子的发芽数分别为:89,73,90,86,75,86,89,95,89,以上数据的众数为　　　　粒.
(2023·河北)某公司为提高服务质量,对其某个部门开展了客户满意度问卷调查,客户满意度以分数呈现,满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档,公司规定:若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分,则该部门需要对服务质量进行整改.工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份,下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图.
(1)求客户所评分数的中位数、平均数,并判断该部门是否需要整改.
(2)监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份,与之前的20份合在一起,重新计算后,发现客户所评分数的平均数大于3.55分,求监督人员抽取的问卷所评分数为几分 与(1)相比,中位数是否发生变化
命题点三　分析统计图(表)
(2024·河北)如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是 (　　)
A. B.
C. D.
(2023·河北)小明调查了本班每位同学最喜欢的颜色,并绘制了不完整的扇形图1及条形图2(柱的高度从高到低排列).条形图不小心被撕了一块,则图2中“(　　)”内应填的颜色是 (　　)
图1　 　图2
A.蓝 B.粉 C.黄 D.红
(2023·河北)某厂生产A,B两种产品,其单价随市场变化而做相应调整.营销人员根据前三次单价变化的情况,绘制了如下统计表及不完整的折线图:
A,B产品单价变化统计表
项目 第一次 第二次 第三次
A产品单价/(元/件) 6 5.2 6.5
B产品单价/(元/件) 3.5 4 3
A,B产品单价变化折线图
并求得了A产品三次单价的平均数和方差:
=5.9;=×[(6-5.9)2+(5.2-5.9)2+(6.5-5.9)2]=.
(1)补全图中B产品单价变化的折线图,B产品第三次的单价比上一次的单价降低了　　　　%.
(2)求B产品三次单价的方差,并比较哪种产品的单价波动小.
(3)该厂决定第四次调价,A产品的单价仍为6.5元/件,B产品的单价比3元/件上调m%(m>0),使得A产品这四次单价的中位数比B产品四次单价中位数的2倍少1,求m的值.
(2024·河北)某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员,对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试,各项满分均为10分,成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图.
图1　 　图2
(1)分别求出甲、乙三项成绩之和,并指出会录用谁.
(2)若将甲、乙的三项测试成绩,按照扇形统计图(图2)各项所占之比,分别计算两人各自的综合成绩,并判断是否会改变(1)的录用结果.
命题点四　用样本估计总体
(2024·河北模拟)某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查,根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图.
运动时间t/min 频数 频率
30≤t<60 4 0.1
60≤t<90 7 0.175
90≤t<120 a 0.35
120≤t<150 9 0.225
150≤t<180 6 b
合计 n 1
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题:
(1)频数分布表中的a=　　　,b=　　　,n=　　　.
(2)请补全频数分布直方图.
(3)若该校九年级共有480名学生,试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数.
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①全体对象　②部分对象　③全体　 ④个体　⑤个体数目　⑥总数　⑦具体数目　⑧抽样数据总数　⑨百分数　⑩1　百分比×360°　1　频数　样本容量　(x1+x2+…+xn)
由大到小(或由小到大)　中间　平均数　最多　大　小
对应练习
1.C
2.①④　②③　解析:了解全国中小学生每天的零花钱,操作性不强,工作量大,适宜使用抽样调查方式;调查某校篮球运动员的身高,要求精确、难度相对不大、调查无破坏性,应选择普查方式;了解某校八(1)班期末考试总成绩,要求精确、难度相对不大、调查无破坏性,应选择普查方式;调查20~25岁年轻人最崇拜的偶像,操作性不强,工作量大,适宜使用抽样调查方式.所以①④适宜使用抽样调查方式,②③适宜使用普查方式.
3.0.3　解析:由各组频率之和为1,得1-0.2-0.5=0.3.
4.解:(1)80　0.30
解析:36∶0.45=a∶1,b=1-0.45-0.25=0.3,
解得a=80,
b=0.30.
(2)×360°=108°,
故图2中“C”对应扇形的圆心角为108°.
(3)80-36-24=20,
补全条形图如下:
(4)600×0.45=270(名).
答:估计八年级选择A.足球运球绕杆的人数约为270名.
5.4　解析:∵x1,x2,…,xn的平均数是2,
∴x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是2+8=10,
∴m=10.
∵x1,x2,…,xn的方差是6,
∴x1+8,x2+8,…,xn+8的方差是6,
∴n=6,
∴m-n=10-6=4.
6.解:(1)106分　106分
解析:数据排列为96,100,106,106,108,110,
所以中位数为106分,众数为106分.
(2)105分
解析: 平时测验成绩的平均数为=105(分).
(3)≈104(分),
故该同学上学期数学学科的总评成绩约为104分.
7.C　解析:A.调查的问题是:选择讲笑话还是唱歌,正确,不符合题意;
B.调查的范围是:全班同学,正确,不符合题意;
C.调查的方式是:全面调查,故错误,符合题意;
D.这次调查需要收集的数据是:全班同学选择讲笑话和唱歌的人数,正确,不符合题意.
故选C.
河北中考·真题体验
1.D　解析:正确的统计步骤是②→④→③→①.故选D.
2.B　解析:①④⑤判断正确.故选B.
3.D　解析:∵>,∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高,∵<,∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐.综上所述,麦苗又高又整齐的是丁.故选D.
4.B　解析:由统计图可知,前三次的中位数是8.∵第四次又买的苹果单价是a元/千克,这四个单价的中位数恰好也是众数.∴a=8.故选B.
5.B　解析:中位数是6,唯一众数是7.则最大的三个数的和是6+7+7=20,两个较小的数一定是小于6的非负整数,且不相等,即两个较小的数最大为4和5.∴总和一定大于20且小于或等于29.故选B.
6.D　解析:追加后的5个数据中,众数和中位数依然是5,平均数与之前的5个数据的平均数相比增大,故不变的为中位数和众数.故选D.
7.B　解析:由统计表知甲组的中位数为=5(吨),乙组中用水量为4吨和6吨的各有12×=3(户),用水量为7吨的有12×=2(户),则用水量为5吨的有12-(3+3+2)=4(户),∴乙组的中位数为=5(吨).则甲组和乙组的中位数相等.故选B.
8.89　解析:出现次数最多的是89,因此众数为89粒.
9.解:(1)由条形统计图可知,客户所评分数按从小到大排列后,第10个数据是3分,第11个数据是4分,
∴客户所评分数的中位数为=3.5(分).
由统计图可知客户所评分数的平均数为=3.5(分).
∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分,∴该部门不需要整改.
(2)设监督人员抽取的问卷所评分数为x分,则有:
>3.55,解得x>4.55.
∵满意度从低到高为1分,2分,3分,4分,5分,共5档,
∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分.
∵4<5,
∴加入这个数据,客户所评分数按从小到大排列之后,第11个数据不变依然是4分,即加入这个数据之后,中位数是4分.
∴与(1)相比,中位数发生了变化,由3.5分变成4分.
10.A　解析:∵-4<-2<-1<0<1,∴选项A的折线统计图符合题意.故选A.
11.D　解析:被调查人数是5÷10%=50(人),∴×100%=32%.最喜欢红色的人数是50×28%=14(人),∴50-16-5-14=15(人).∵柱的高度从高到低排排列,∴条形图对应的人数依次是16,15,14,5,∴题图2中“(　)”内应填的颜色是红色.故选D.
12.解:(1)补全折线图如图所示:
A,B产品单价变化折线图
25
(2)×(3.5+4+3)=3.5,
=,
∵B产品的方差小,
∴B产品的单价波动小.
(3)第四次调价后,对于A产品,这四次单价的中位数为(元/件);
对于B产品,∵m>0,
∴第四次单价大于3,
∵×2-1>,
∴第四次单价小于4.
∴×2-1=.
∴m=25.
13.解:(1)由题意,得甲三项成绩之和为9+5+9=23(分),乙三项成绩之和为8+9+5=22(分),∵23>22,∴会录用甲.
(2)由题意,得甲三项成绩的综合成绩为9×+5×+9×=3+2.5+1.5=7(分),乙三项成绩的综合成绩为8×+9×+5×+4.5+=8(分).∵7<8,∴会录用乙.∴会改变(1)的录用结果.
14.解:(1)14　0.15　40
(2)补全频数分布直方图如图所示:
频数分布直方图
(3)480×=180(名).
答:估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数为180名.

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