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第34课时　概率
考点一　事件的分类
事件类型 定义 发生概率
确定 事件 必然事件 在一定条件下,必然会发生的事件 1
不可能 事件 在一定条件下,必然不会发生的事件 0
不确定 事件 随机事件 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件 大于0小于1
① (2024·武汉)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是 (　　)
A.随机事件 B.不可能事件 C.必然事件 D.确定性事件
② (人教九上P127变式)小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数,从中随机抽取2张,并将它们上面的数相加.重复这样做,每次所得的和都是6,8,10,12中的一个数,并且这四个数都能取到.在下列四个结论中:
①卡片上的数最小可以是1;
②卡片上的数最大可以是10;
③卡片上的数可以是4个连续的整数;
④卡片上的数有且仅有2个数相等.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
考点二　概率的定义及计算
定 义 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A)
计 算 公式法 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都①　　　　,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=②　　　　
列表法 当一次试验涉及两个因素,并且出现的结果数目较多时,通常采用列表法,不重不漏地列出所有等可能出现的结果,再计算概率
画树状 图法 当一次试验涉及三个或更多的因素,并且出现的结果数目较多时,通常采用画树状图,不重不漏地列出所有等可能出现的结果,再计算概率
几何 概型 一般是根据几何图形的面积之比来求概率,P(A)=
用频率 估计 概率 为了求出一个事件的概率,可以通过多次重复试验,用所得的频率来估计该事件的概率
游戏的公平性:一般通过比较概率的大小来判断.在条件相同的前提下,若对于参加游戏的每一个人来说获胜的概率都相等,则游戏公平,否则不公平.
③ (冀教九下P86变式)甲、乙同学在玩纸牌游戏,如图是他们手中所剩的纸牌,若两张扑克牌的牌面数字相同,则可以组成一对.
甲　　 乙
(1)随机抽取一张甲手中的纸牌,抽中数字“8”是 (　　)
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.确定事件
(2)若甲从乙手中随机抽取一张,则恰好与手中纸牌组成一对的概率是　　　　.
(3)若甲从乙手中随机抽取一张之后不放回,继续随机抽取一张,则两次抽中的纸牌数字都为偶数的概率是　　　　.
(4)若丙同学空手加入游戏,分别从甲、乙两名同学手中各随机抽取一张纸牌,求恰好组成一对的概率.(用画树状图或列表的方法解答)
小红和同学们玩摸球游戏,在一个不透明的袋子里装有红球、黄球、蓝球若干.请回答下列问题:
(1)小红根据游戏规则作出了如图所示的树状图,则此次摸球的游戏规则是:
随机摸出　　　　个球后　　　　(填“放回”或“不放回”),再随机摸出　　　　个球.
(2)将袋子中球的个数增加到20个,这些球除颜色外都相同,小红通过多次试验发现,摸出红球的频率稳定在0.25左右,则袋子中红球的个数可能是　　　　个.
(1)1　不放回　1
(2)5
解析:设袋子中红球有x个,根据频率稳定在0.25左右可知,=0.25,
解得x=5 ,
即袋子中红球的个数可能是5个.
在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球,其中红球2个,黄球3个.
(1)请判断以下事件是随机事件、不可能事件,还是必然事件.
①从口袋中任意取出1个球,是1个白球;
②从口袋中一次任意取出3个球,全是黄球;
③从口袋中一次任意取出4个球,恰好红黄两种颜色的球都有.
(2)若先从袋子中取出m个黄球(m>1且m为正整数),再从袋子中随机摸1个小球,将“摸出红球”记为事件A.
①若事件A为必然事件,则m的值为　　　　;
②若事件A为随机事件,则m的值为　　　　.
(3)随机摸出1个球,求摸到黄球的概率.
(4)随机摸出1个球后放回搅匀,再随机摸出1个球,求摸出的两个球都是黄球的概率.
(5)随机摸出1个球后不放回,再随机摸出1个球,求摸出的两个球都是黄球的概率,
(6)若从袋中随机摸出2个球,正好红球、黄球各1个,求这个事件的概率.
(7)若5个球上分别标有数字-2,-1,0,1,2.嘉嘉和淇淇同时从袋中随机各摸出1个球,若摸出的这2个球上的数字之积为正数,嘉嘉获胜;反之,淇淇获胜.这个游戏公平吗 为什么
(8)若再往布袋中放入n(n>0,n为正整数)个红球,此时随机摸出1个球,摸出红球的概率为,则n的值为　　　　.
(1)解:①不可能事件;②随机事件;③必然事件.
(2)①3　②2
(3)解:P(摸出黄球)==.
(4)解:根据题意列表:
　 　第二次 第一次　 　 红 红 黄 黄 黄
红 (红,红) (红,红) (红,黄) (红,黄) (红,黄)
红 (红,红) (红,红) (红,黄) (红,黄) (红,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄) (黄,黄)
一共有25种等可能的结果,其中摸出的两球都是黄球的结果有9种,故P(摸出的两个球都是黄球)=.
(5)解:根据题意列表:
　　 第二次 第一次　 　 红 红 黄 黄 黄
红 (红,红) (红,黄) (红,黄) (红,黄)
红 (红,红) (红,黄) (红,黄) (红,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄)
黄 (黄,红) (黄,红) (黄,黄) (黄,黄)
共有20种等可能的结果,其中摸出的两球都是黄球的结果有6种,故P(摸出的两个球都是黄球)==.
(6)解:画树状图:
一共有20种等可能的结果,从袋中随机摸出2个球,正好红球、黄球各1个的情况有12种,
故P(从袋中随机摸出2个球,正好红球、黄球各1个)==.
(7)解:这个游戏不公平.理由:
　 淇淇 嘉嘉　 -2 -1 0 1 2
-2 2 0 -2 -4
-1 2 0 -1 -2
0 0 0 0 0
1 -2 -1 0 2
2 -4 -2 0 2
一共有20种等可能的结果,其中数字之积为正数的结果有4种,故P(嘉嘉获胜)==,
P(淇淇获胜)=1-=.∵≠,∴这个游戏不公平.
(8)1
解析:由题意可得,=,解得n=1,经检验,n=1是所列方程的解,且符合题意.
故n的值为1.
命题点一　概率的计算
(2023·河北)将一质地均匀的正方体骰子掷一次,观察向上一面的点数,与点数3相差2的概率是 (　　)
A. B. C. D.
(2023·河北)有7张扑克牌如图所示,将其打乱顺序后,背面朝上放在桌面上.若从中随机抽一张,则抽到的花色可能性最大的是 (　　)
A.(黑桃) B.(红心)
C.(梅花) D.(方块)
(2023·河北)某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观,每走到一个十字道口,她自己可能直行,也可能向左转或向右转,且这三种可能性均相同.
(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率.
(2)补全图2的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.
图1 图2
(2023·河北)如图1,一枚质地均匀的正四面体骰子,它有四个面并分别标有数字1,2,3,4.如图2,正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为游戏者每掷一次骰子,骰子着地一面上的数字是几,就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.如:若从圈A起跳,第一次掷得3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D;若第二次掷得2,就从圈D开始顺时针连续跳 2个边长,落到圈B;……设游戏者从圈A起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子,求落回到圈 A的概率P1.
(2)淇淇随机掷两次骰子,用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗
图1　 　图2
命题点二　统计与概率结合
(2024·河北)老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况,绘制成条形图(图1)和不完整的扇形图(图2),其中条形图被墨迹遮盖了一部分.
图1　　 图2
(1)求条形图中被遮盖的数,并写出册数的中位数.
(2)在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想,求选中读书超过5册的学生的概率.
(3)随后又补查了另外几人,得知最少的读了6册,将其与之前的数据合并后,发现册数的中位数没改变,则最多补查了　　　　人.
(2023·河北)编号为1~5号的5名学生进行定点投篮,规定每人投5次,每命中1次记1分,没有命中记0分.如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图,之后来了第6号学生也按同样记分规定投了 5次,其命中率为40%.
(1)求第6号学生的积分,并将图增补为这6名学生积分的条形统计图.
(2)在这6名学生中,随机选一名学生,求选上命中率高于50%的学生的概率.
(3)最后,又来了第7号学生,也按同样记分规定投了5次.这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数,求这个众数以及第7号学生的积分.
命题点三　数轴与概率结合
(2023·河北)如图,甲、乙两人(看成点)分别在数轴-3和5的位置上,沿数轴做移动游戏.每次移动游戏规则:裁判先捂住一枚硬币,再让两人猜向上一面是正是反,而后根据所猜结果进行移动.
①若都对或都错,则甲向东移动1个单位,同时乙向西移动1个单位;
②若甲对乙错,则甲向东移动4个单位,同时乙向东移动 2个单位;
③若甲错乙对,则甲向西移动2个单位,同时乙向西移动 4 个单位.
(1)经过第一次移动游戏,求甲的位置停留在正半轴上的概率P.
(2)从图的位置开始,若完成了10次移动游戏,发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错.设乙猜对n次,且他最终停留的位置对应的数为m,试用含n的代数式表示m,并求该位置距离原点O最近时n的值.
(3)从图的位置开始,若进行了k次移动游戏后,甲与乙的位置相距2个单位,直接写出k的值.
命题点四　频率与概率
(2022·河北)某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线统计图,则符合这一结果的试验最有可能的是 (　　)
A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”
B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃
C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球
D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4
【详解答案】
教材考点·深度梳理
①相等　②
对应练习
1.A　解析:小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的手势,这个事件是随机事件.故选A.
2.①④　解析:设这四个数字分别为A,B,C,D且 A≤B≤C≤D,
∵每次所得两个数字的和最小是6,
∴A+B=6.
又∵每次所得两个数字的和最大是12,
∴C+D=12,∴四个数字中至少有一个是1,若A=1,则B=5.
∵每次所得两个数字的和有4种,
∴四个数字中必有两个数字相等,则B=C=5或C=D=6,
①卡片上的数字最小是1,正确;
②卡片上的数字最大是10,错误;
③卡片上的数字可以是四个连续的整数,错误;
④卡片上的数字有且仅有两个数相等,正确.
3.解:(1)B
(2)
解析:从乙手中的4张,需抽出5或8,才能与甲手中的牌凑成一对,故甲从乙手中随机抽取一张,恰好与手中牌组成一对的概率是.
(3)
解析:由题意画树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中是偶数的有2种,
∴P(两次抽中的纸牌数字都为偶数)=.
(4)画树状图如下:
一共有12种等可能的结果,其中能组成一对的有2种,所以P(组成一对)=.
河北中考·真题体验
1.B　解析:一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.∵掷一次这枚骰子,向上的一面的点数与点数3相差2的有2种情况,∴掷一次这枚骰子,向上的一面的点数与点数3相差2的概率是.故选B.
2.B　解析:∵一共有7张扑克牌,每张牌被抽到的概率相同,其中黑桃牌有1张,红心牌有3张,梅花牌有1张,方块牌有2张,∴抽到的花色是黑桃的概率为,抽到的花色是红心的概率为,抽到的花色是梅花的概率为,抽到的花色是方块的概率为,∴抽到的花色可能性最大的是红心.故选B.
3.解:(1)嘉淇走到十字道口A有3种等可能的前进方式,故向北走的概率为.
(2)补全树状图如图所示:
共有9种等可能的结果,嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种,向南参观的结果有2种,向北参观的结果有2种,向东参观的结果有2种,∴向西参观的概率为,向南参观的概率=向北参观的概率=向东参观的概率=.∴向西参观的概率较大.
4.解:(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果,只有掷得4时,才会落回到圈A,
∴掷一次骰子落回到圈A的概率P1=.
(2)列表如下:
　 第2次 第1次 1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
所有等可能的情况共有16种,当两次掷得的数字和为4的倍数,即(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)时,才可能落回到圈A,故共有4种情况.
∴最后落回到圈A的概率
P2=.
又∵P1=,∴P1=P2.
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.
5.解:(1)抽查的学生有6÷25%=24(名),
读课外书为5册的学生有24-5-6-4=9(名),
∴条形图中被遮盖的数为9.
∵共抽查了24名学生读课外书册数的情况,∴第12名学生和第13名学生读课外书册数之和的平均数为中位数.
∴册数的中位数为=5(册).
(2)∵读书超过5册的学生数为6+4=10,
∴选中读书超过5册的学生的概率=.
(3)3
6.解:(1)第6号学生命中的次数为5×40%=2,则第6号学生的积分为2分,
补全条形统计图如图所示:
(2)这6名学生中,命中次数多于5×50%=2.5(次)的有第2,3,4,5号这4名学生,∴选上命中率高于50%的学生的概率为.
(3)∵前6名学生积分中,3出现的次数最多,∴这个众数是3分.∵7名学生积分的众数是3分,∴第7号学生命中了3次或没有命中.∴第7号学生的积分是3分或0分.
7.解:(1)∵经过第一次移动游戏,甲的位置停留在正半轴上,∴必须甲对乙错.
∵一共有四种情形:都对,都错,甲对乙错,甲错乙对,
∴P(甲对乙错)=,即甲的位置停留在正半轴的概率P=.
(2)根据题意,可得乙猜对n次,向西移动4n个单位,(10-n)次猜错,向东移了2(10-n)个单位,
∴m=5-4n+2(10-n)=25-6n.
当n=4时,离原点O最近.
(3)k的值为3或5.
8.D　解析:A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀”的概率为,故选项A不符合题意;B.一副去掉大、小王的普通扑克牌洗匀后,从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是,故选项B不符合题意;C.暗箱中有1个红球和2个黄球,它们只有颜色上的区别,从中任取一球是黄球的概率为,故C选项不符合题意;D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,向上的面点数是4的概率为≈0.17,故选项D符合题意.故选D.

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