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题型一　规律探索题
类型一　数式规律
1.对于数字规律题,不循环问题,找出前一个数字与后一个数字的关系及每个数字与对应序数的关系,从而得出第n个数字;循环类问题,先找出循环周期,然后用总循环次数除以周期,观察商和余数,即可得出结论.
2.对于数式的规律题,先写出等式及结果,从结果与序数或结果与所给式子中数字的构成个数两方面进行对比,寻找不变的量和变化的量之间的关系,从而得出一般性的结论.
3.对于数阵的规律问题,先求出每行的个数和每列的个数,并观察相邻数据的变化特点,进而找出该行或列上的数字与其所在行数和列数的关系,从而得到结论.
(2024·扬州)1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2 024个数中,奇数的个数为 (　　)
A.676 B.674 C.1 348 D.1 350
(2024·云南)按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第n个代数式是 (　　)
A.2xn B.(n-1)xn C.n D.(n+1)xn
(2023·牡丹江)观察下面两行数:
1,5,11,19,29,…
1,3,6,10,15,…
取每行数的第7个数,计算这两个数的和是 (　　)
A.92 B.87 C.83 D.78
(2023·济宁)已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an,满足如下关系:a2=,a3=,a4=,…, an+1=,若a1=2,则a2 023的值是 (　　)
A.- B. C.-3 D.2
(2023·内江)对于正数x,规定f(x)=,例如:f(2)==,f==,f(3)==,f==,计算:f+f+f+…+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)= (　　)
A.199 B.200 C.201 D.202
干支纪年是中国传统纪年方法.干支是天干和地支的总称,“甲、乙…”等十个符号叫天干;“子、丑…”等十二个符号叫地支,把干支(天干+地支)顺序相配(甲子、乙丑、丙寅…)正好六十为一周期,周而复始,循环记录.有人总结出纪年算法的辅助表如下.
十天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
十二地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3
由上表很快算出1911年是辛亥年,1984年是甲子年,2000年是庚辰年,那么2024年是 (　　)
A.庚子 B.丁酉 C.壬卯 D.甲辰
(2024·宁夏)观察下列等式:
第1个:1×2-2=22×0;
第2个:4×3-3=32×1;
第3个:9×4-4=42×2;
第4个:16×5-5=52×3;
……
按照以上规律,第n个等式为 　　　　　　.
(2023·成都)定义:如果一个正整数能表示为两个正整数m,n的平方差,且m-n>1,则称这个正整数为“智慧优数”.例如,16=52-32,16就是一个智慧优数,可以利用m2-n2=(m+n)(m-n)进行研究.若将智慧优数从小到大排列,则第3个智慧优数是　　　　;第23个智慧优数是　　　　.
(2024·成都)在综合实践活动中,数学兴趣小组对1~n这n个自然数中,任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现:当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和{2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4……若n=6,则k的值为　　　　;若n=24,则k的值为　　　　.
(2023·聊城)如图,图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵,从3开始,把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对:(3,5);(7,10);(13,17);(21,26);(31,37)…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究,就会发现其中的规律.请写出第n个数对:　　　　　　　　.
(2023·广元)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中,用如图的三角形解释二项和的乘方规律,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”,根据规律第八行从左到右第三个数为　　　　.
类型二　图形累加规律
1.探究图形的个数时,先标出序号,再计算出每个所给图形中所求量的个数,并对结果变形,归纳结果与序数之间的关系,即可得到第n个图形中所求的个数.
2.通过图形变化探究线段长度、角度、图形的周长及图形的面积等问题时,先根据操作过程,利用图形的几何性质把图形中有联系的数量关系列式表达出来,再对所列式子进行对照,仿照猜想数式规律的方法,得到最后的结论.
(2024·济宁)如图,用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形,第二幅图有5个正方形,第三幅图有14个正方形……按照此规律,第六幅图中正方形的个数为 (　　)
A.90 B.91 C.92 D.93
(2024·重庆A卷)(跨学科)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子,第2种如图2有6个氢原子,第3种如图3有8个氢原子……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 (　　)
A.20 B.22 C.24 D.26
阿贤利用便利贴拼成一个圣诞树图案,圣诞树图案共有10层,每一层由三列的便利贴拼成,前3层如图所示.若同一层中每一列皆比前一列多2张,且每一层第一列皆比前一层第一列多2张,则此圣诞树图案由多少张便利贴拼成 (　　)
A.354 B.360 C.384 D.390
(2023·山西)如图是一组有规律的图案,它由若干个大小相同的圆片组成.第1个图案中有4个白色圆片,第2个图案中有6个白色圆片,第3个图案中有8个白色圆片,第4个图案中有10个白色圆片,……,依此规律,第n个图案中有　　　　个白色圆片.(用含n的代数式表示)
(2024·泰安)如图所示,是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去,第　　　　个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的3倍.
(2023·绥化)在求1+2+3+…+100的值时,发现:1+100=101,2+99=101…,从而得到1+2+3+…+100=101×50=5 050.按此方法可解决下面问题,图(1)有1个三角形,记作a1=1;分别连接这个三角形三边中点得到图(2),有5个三角形,记作a2=5;再分别连接图(2)中间的小三角形三边中点得到图(3),有9个三角形,记作a3=9;按此方法继续下去,则a1+a2+a3+…+an=　　　　.(结果用含n的代数式表示)
……
图(1) 图(2)　 图(3)　
(2024·凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,…,第n行有n个点,…,容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为　　　　,前15行的点数之和为　　　　,那么,前n行的点数之和为　　　　.
(2)体验:三角点阵中前n行的点数之和　　　　(填“能”或“不能”)为500.
(3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排
类型三　图形周期变化规律
　　解决周期变化规律问题,首先要观察所给数字或图形,然后再找出循环周期,记为n,用M÷n=W……q(0 (2024·山东四市)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次运算后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中,将点(x,y)中的x,y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标,其中x,y均为正整数.例如,点(6,3)经过第1次运算得到点(3,10),经过第2次运算得到点(10,5),以此类推.则点(1,4)经过2 024次运算后得到点　　　　.
(2023·泰安)已知△OA1A2,△A3A4A5,△A6A7A8,……都是边长为2的等边三角形,按下图所示摆放.点A2,A3,A5,……都在x轴正半轴上,且A2A3=A5A6=A8A9=……=1,则点A2 023的坐标是　　　　.
第20题图 　第21题图
21 (2023·张家界)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC是正方形,点A的坐标为(1,1),是以点B为圆心,BA为半径的圆弧;是以点O为圆心,OA1为半径的圆弧,是以点C为圆心,CA2为半径的圆弧,是以点A为圆心,AA3为半径的圆弧,继续以点B,O,C,A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”,则点A2 023的坐标是　　　　.
类型四　图形递变规律
1.线段(面积)递推
　　已知一个几何图形的边长(周长或面积),通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长(周长或面积),解题步骤是:(1)根据题意得出第一次变换前图形的边长(周长或面积);(2)通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的边长(周长或面积),归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式,并验证;(3)根据第二步中的关系式,得到第M次变换后的图形的边长(周长或面积).
2.点坐标递推
　　将点坐标转化成线段,再利用线段递推的方法求解.
22 (2024·武汉)如图,小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象,发现它关于点(1,0)中心对称.若点A1(0.1,y1),A2(0.2,y2),A3(0.3,y3),…,A19(1.9,y19),A20(2,y20)都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是 (　　)
A.-1 B.-0.729 C.0 D.1
23 (2024·绥化)如图,已知A1(1,-),A2(3,-),A3(4,0),A4(6,0),A5(7,),A6(9,),A7(10,0),A8(11,-),…,依此规律,则点A2 024的坐标为　　　　.
24 (2023·枣庄)如图,在反比例函数y=(x>0)的图象上有P1,P2,P3,…P2 024等点,它们的横坐标依次为1,2,3,…,2 024,分别过这些点作x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S2 023,则S1+S2+S3+…+S2 023=　　　　.
25 (2023·广安)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4…在x轴的正半轴上,点B1,B2,B3…在直线y=x(x≥0)上,若点A1的坐标为(2,0),且△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形.则点B2 023的纵坐标为　　　　.
26 (2023·齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,OA=OB=4,连接AB,过点O作OA1⊥AB于点A1,过点A1作A1B1⊥x轴于点B1;过点B1作B1A2⊥AB于点A2,过点A2作A2B2⊥x轴于点B2;过点B2作B2A3⊥AB于点A3,过点A3作A3B3⊥x轴于点B3;……;按照如此规律操作下去,则点A2 023的坐标为　　　　.
【详解答案】
1.D　解析:这列数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数,
∵2 024÷3=674……2,
即前2 024个数共有674组,且余2个数,奇数有:674×2+2=1 350(个).故选D.
2.D　解析:∵按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,
∴第n个代数式为(n+1)xn.故选D.
3.C　解析:第一行的数字规律为n2+n-1,第二行的数字规律为,∴第一行的第7个数字为72+7-1=55,第二行的第7个数字为=28,∴55+28=83.故选C.
4.A　解析:∵a1=2,∴a2==-3,a3==-,a4=,a5==2,…;由此可得规律为2,-3,-,四个数字一循环.∵2 023÷4=505……3,∴a2 023=a3=-.故选A.
5.C　解析:∵f(1)==1,f(2)=,f=,
f(2)+f=2,f(3)=,f=,
f(3)+f=2,…,
f(100)=,
f=,
f(100)+f=2,
f+f+f+…+f+f+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201.故选C.
6.D　解析:从2000年开始算起,2024年为第24个数,天干表10个数为一个周期,地支表12个数为一个周期,
24÷10=2……4,24÷12=2,
则2024年对应的天干为甲,地支为辰,
故2024年为甲辰年.故选D.
7.n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1)　解析:第1个:1×2-2=22×0;
第2个:4×3-3=32×1;
第3个:9×4-4=42×2;
第4个:16×5-5=52×3;
……
按照以上规律,第n个等式为n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1).
8.15　57　解析:注意到m-n>1,知m-n≥2,∴m≥n+2.当m=n+2时,由(n+2)2-n2=4+4n产生的智慧优数为8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,…当m=n+3时,由(n+3)2-n2=9+6n产生的智慧优数为15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,…当m=n+4时,由(n+4)2-n2=16+8n产生的智慧优数为24,32,40,48,56,64,72,80,…当m=n+5时,由(n+5)2-n2=25+10n产生的智慧优数为35,45,55,65,75,85,…当m=n+6时,由(n+6)2-n2=36+12n产生的智慧优数为48,60,72,84,…当m=n+7时,由(n+7)2-n2=49+14n产生的智慧优数为63,77,91,…当m=n+8时,由(n+8)2-n2=64+16n产生的智慧优数为80,96,…综上,将上述产生的智慧优数从小到大排列如下:8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,…故第3个智慧优数是15;第23个智慧优数是57.
9.9　144　解析:当n=6时,从1,2,3,4,5,6中,取两个数的和大于6,这两个数分别是{6,1},{6,2},{6,3},{6,4},{6,5},{5,2},{5,3},{5,4},{4,3},
∴k=5+3+1=9;
当n=24时,从1,2,3,…,22,23,24中,取两个数的和大于24,这两个数分别是:
{24,1},{24,2},…,{24,23},
{23,2}{23,3},…,{23,22},
{22,3},{22,4},…,{22,21},
……
{14,11},{14,12},{14,13},
{13,12},
∴k=23+21+19+…+3+1=144.
10.(n2+n+1,n2+2n+2)　解析:每个数对的第一个数分别为3,7,13,21,31,…即1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,5×6+1,…则第n个数对的第一个数为n(n+1)+1=n2+n+1,每个数对的第二个数分别为5,10,17,26,37,…即22+1;32+1;42+1;52+1;62+1…,则第n个数对的第二个数为(n+1)2+1=n2+2n+2,∴第n个数对为(n2+n+1,n2+2n+2).
11.21　解析:根据规律可得第七行的数为1,6,15,20,15,6,1;第八行的数为1,7,21,35,35,21,7,1;∴根据规律第八行从左到右第三个数为21.
12.B　解析:由所给图形可知,
第一幅图中正方形的个数为1=12;
第二幅图中正方形的个数为5=12+22;
第三幅图中正方形的个数为14=12+22+32;
第四幅图中正方形的个数为30=12+22+32+42;
……
所以第n幅图中正方形的个数为12+22+32+…+n2,
当n=6时,
12+22+32+…+62=91(个),
即第六幅图中正方形的个数为91个.故选B.
13.B　解析:由题图可知,
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2;
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2;
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2;
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2;
……
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个,
当n=10时,
2n+2=22,
即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个.故选B.
14.B　解析:根据题意得:第一层由1+3+5=9(张)便利贴拼成,
第二层由3+5+7=15(张)便利贴拼成,
第三层由5+7+9=21(张)便利贴拼成,
……
∴第n(n为正整数)层由2n-1+2n+1+2n+3=(6n+3)(张)便利贴拼成;
∵9+15+21+…+6n+3==3n2+6n,
∴当n=10时,3n2+6n=3×102+6×10=360(张),
∴此圣诞树图案由360张便利贴拼成.故选B.
15.(2+2n)　解析:第1个图案中有4个白色圆片,4=2+2×1,第2个图案中有6个白色圆片,6=2+2×2,第3个图案中有8个白色圆片,8=2+2×3,第4个图案中有10个白色圆片,10=2+2×4,……,第n个图案中有(2+2n)个白色圆片.
16.12　解析:由题图可知,
第1个“小屋子”中图形“○”的个数为1=1,“●”的个数为4=1×2+2;
第2个“小屋子”中图形“○”的个数为3=1+2,“●”的个数为6=2×2+2;
第3个“小屋子”中图形“○”的个数为6=1+2+3,“●”的个数为8=3×2+2;
第4个“小屋子”中图形“○”的个数为10=1+2+3+4,“●”的个数为10=4×2+2;
……
所以第n个“小屋子”中图形“○”的个数为1+2+3+…+n=,“●”的个数为2n+2;
由题知,=3(2n+2),
解得n1=-1,n2=12,
又因为n为正整数,
所以n=12,
即第12个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.
17.2n2-n　解析:依题意,a1=1,a2=5,a3=9,…,an=1+4(n-1)=4n-3,∴a1+a2+a3+…+an=n=(2n-1)n=2n2-n.
18.解:(1)36　120　
解析:由题知,
三角点阵中前1行的点数之和为1;
三角点阵中前2行的点数之和为1+2;
三角点阵中前3行的点数之和为1+2+3;
三角点阵中前4行的点数之和为1+2+3+4;
……
所以三角点阵中前n行的点数之和为1+2+3+…+n=.
当n=8时,
=36,
即三角点阵中前8行的点数之和为36.
当n=15时,
=120,
即三角点阵中前15行的点数之和为120.
(2)不能
解析:令=500,
解得n=,
因为n为正整数,
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500.
(3)由题知,
前n排盆景的总数可表示为n(n+1),
令n(n+1)=420,
解得n1=-21,n2=20.
因为n为正整数,
所以n=20,
即一共能摆放20排.
19.(2,1)　解析:点(1,4)经过1次运算后得到点为(1×3+1,4÷2),即为(4,2),
经过2次运算后得到点为(4÷2,2÷2),即为(2,1),
经过3次运算后得到点为(2÷2,1×3+1),即为(1,4),
……
发现规律:点(1,4)经过3次运算后还是(1,4),
∵2 024÷3=674……2,
∴点(1,4)经过2 024次运算后得到点(2,1).
20.(2 023,)　解析:由图形可得A2(2,0),A3(3,0),A5(5,0),A6(6,0),A8(8,0),A9(9,0).如图,过A1作A1B⊥x轴,
∵△OA1A2是边长为2的等边三角形,∴OB=cos60°×OA1=1,A1B=sin60°×OA1=,∴A1(1,),同理:A4(4,-),A7(7,),A10(10,-),∴A3n-1(3n-1,0),A3n(3n,0),A3n+1(3n+1,-)(3n+1为偶数),A3n+1(3n+1,)(3n+1为奇数);∵2 023÷3=674……1,2 023为奇数,∴A2 023(2 023,).
21.(-2 023,1)　解析:∵点A坐标为(1,1),且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得,∴A1点坐标为(2,0).又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得,∴A2点坐标为(0,-2).又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得,∴A3点坐标为(-3,1).又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得,∴A4点坐标为(1,5),由此可得出规律:A1,A2,A3,A4,…,An为绕B,O,C,A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°得到的,且半径为1,2,3,4,…,n,每次增加1.∵2 023÷4=505……3,故A2 023为以点C为圆心,半径为2 023的CA2 022顺时针旋转90°所得.故点A2 023的坐标为(-2 023,1).
22.D　解析:由题知,
点A10的坐标为(1,0),
则y10=0.
因为函数图象关于点(1,0)中心对称,
所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0,
将x=2代入函数解析式得,
y=23-3×22+3×2-1=1,
即y20=1,
所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1.故选D.
23.(2 891,-)　解析:由题知,
点A1的坐标为(1,-),
点A2的坐标为(3,-),
点A3的坐标为(4,0),
点A4的坐标为(6,0),
点A5的坐标为(7,),
点A6的坐标为(9,),
点A7的坐标为(10,0),
点A8的坐标为(11,-),
点A9的坐标为(13,-),
点A10的坐标为(14,0),
点A11的坐标为(16,0),
点A12的坐标为(17,),
点A13的坐标为(19,),
点A14的坐标为(20,0),
……
由此可见,每隔七个点,点An的横坐标增加10,且纵坐标按-,-,0,0,,,0循环出现,
又因为2 024÷7=289……1,所以1+289×10=2 891,则点A2 024的坐标为(2 891,-).
24.　解析:当x=1时,P1的纵坐标为8;当x=2时,P2的纵坐标为4;当x=3时,P3的纵坐标为;当x=4时,P4的纵坐标为2;当x=5时,P5的纵坐标为;……;则S1=1×(8-4)=8-4,S2=1×=4-,S3=1×-2,S4=1×=2-,…,Sn=,∴S1+S2+S3+S4+…+Sn=8-4+4-+-2+2-+…+=8-,∴S1+S2+S3+…+S2 023=.
25.22 022　解析:如图,过点A1作A1M⊥x轴,交直线y=x(x≥0)于点M,过点B1作B1C⊥x轴于点C,∵A1(2,0),∴OA1=2.当x=2时,y=,即M2,,A1M=,∴tan∠A1OM=,∴∠A1OM=30°.∵△A1B1A2是等边三角形,∴∠A2A1B1=60°,A1A2=A1B1,∴∠OB1A1=30°=∠A1OM,∴A1B1=OA1=2,∴B1C=A1B1·sin 60°=2×,∴B1的纵坐标为2×.同理可得:点B2的纵坐标为22×,点B3的纵坐标为23×,点B4的纵坐标为24×,归纳类推得,点Bn的纵坐标为2n×=2n-1(n为正整数),则点B2 023的纵坐标为22 023-1×=22 022.
26.4-,　解析:在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B在x轴上,OA=OB=4,∴△OAB是等腰直角三角形,∠OBA=45°,∵OA1⊥AB,∴△OA1B是等腰直角三角形,同理可得,△OA1B1,△A1B1B均为等腰直角三角形,∴A1(2,2).根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形,依次可得A2(3,1),A34-,,A44-,,由此可推出:点A2 023的坐标为4-,.

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