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题型三　函数的实际应用
类型一　行程问题
　　河北中考中的行程问题中常见的是相遇问题与追及问题,有时会以文字叙述的形式呈现,有时会结合函数图象进行设问.
(2024·石家庄一模)如图1是甲、乙两种品牌共享电单车的车费y1(元),y2(元)与骑行路程x(km)之间的函数关系图象,图2是小明骑共享电单车从A地出发到B,C两地送货的路线示意图.
(1)当x>2时,求y1关于x的函数解析式.
(2)①若小明选择甲品牌共享电单车到B地送货,求车费;
②若小明到C地送货,选择哪种品牌的共享电单车节省车费 节省多少元
图1 　　图2
(2024·天津)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6 km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速步行了20 min返回家.如图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)①填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 　　 0.6 　　 　　
②填空:张华从文化广场返回家的速度为　　　km/min;
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式.
(2)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发匀速步行了20 min直接到达了文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.6 (2024·石家庄模拟)如图,在一条笔直的公路上依次有A,B,C三个汽车站,它们之间依次相距60 km,400 km,甲、乙两辆汽车分别在A站和B站,两车同时向终点站C出发,甲、乙两车的速度之和为140 km/h,它们与A站的距离分别为y甲,y乙,设两车运动的时间为x h.
(1)若甲车的速度为80 km/h,
①分别求y甲,y乙与x之间的函数解析式;
②x为何值时,两车相距10 km
(2)若甲车的速度为a km/h,甲车在终点站C处恰好追上乙车,求a的值.
(2023·齐齐哈尔)一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向B地, h后,一辆货车从A地出发,沿同一路线每小时行驶80 km匀速驶向B地,货车到达B地填装货物耗时15 min,然后立即按原路匀速返回A地,巡逻车、货车离A地的距离y(km)与货车出发时间x(h)之间的函数关系如图所示,请结合图象解答下列问题:
(1)A,B两地之间的距离是　　　　km,a=　　　　.
(2)求线段FG所在直线的函数解析式.
(3)货车出发多少小时两车相距15 km (直接写出答案即可)
类型二　利润问题
　　河北中考中利润问题是常考考点,一般会将一次函数与二次函数或二次函数与反比例函数综合进行考查,不管是以哪一种形式进行设问,一般都是先求出函数解析式,然后再利用相关函数的增减性求最值.
(2024·云南)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息如表:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A型号 35 a
B型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,一共需要410元.
(1)求a,b的值.
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
(2024·邢台威县模拟)某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析,得到该商品的销售数量P(件)由基础销售量与浮动销售量两个部分组成,其中基础销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件,50售价x 8 10
销售数量P 96 95
(1)求P与x之间的函数关系式.
(2)当该商品销售数量为40件时,求每件商品的售价.
(3)设销售总额为W元,求W的最大值.
(2023·随州)为了振兴乡村经济,增加村民收入,某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品,在试销售的30天中,第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价p(元/千克)与x的函数关系式为p=
(且x为整数),销量q(千克)与x的函数关系式为q=x+10,已知第5天售价为50元/千克,第10天售价为40元/千克,设第x天的销售额为W元.
(1)m=　　　　,n=　　　　.
(2)求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式.
(3)在试销售的30天中,销售额超过1 000元的共有多少天
类型三　实物模型
　　函数中的实物模型常以二次函数和反比例函数为主,以运动轨迹、拱桥等为背景,进行设问考查.解题的关键是从实际问题中提炼函数知识,求出函数解析式,从而使实际问题得到解决.另外在压轴题中对数学思想方法的考查比较多,如模型思想、分类讨论思想、应用意识等.
(2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图所示,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
已知缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100 m,AO=BC=17 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m.(桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索L1所在抛物线的函数解析式.
(2)点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6 m,FO (2023·武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机,通过实验,收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)变化的数据如下表.
飞行时间t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 …
飞行高度y/m 0 22 40 54 64 …
探究发现:x与t,y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述,直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围).
问题解决:如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离.
(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
(2024·石家庄新华区模拟)一次足球训练中,小华从球门正前方11 m的A处射门,足球射向球门的运行路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时,球达到最高点,此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m,现以O为原点建立如图所示平面直角坐标系.
(1)直接写出抛物线的函数解析式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球.
(2)若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守,他的最大起跳高度是2.25 m,小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门
(3)在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下,适当靠近球门进球的把握会更大,小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门,要确保球在下落过程中可以进入球门,他最多可以向球门移动　　　　.①2.3 m;②2.4 m;③2.5 m.(填序号即可,≈2.592)
类型四　几何图形问题
　　函数中的几何图形问题一般根据立体图形、平面几何图形的面积、周长等建立函数模型求最值,注意自变量的取值范围.
(2024·保定一模)某经销商出售一种进价为4元/L的液体原料,在市场营销中发现此商品日销售价x(元/L)与日销售量y(L)满足反比例函数,部分数据如下表:
x/(元/L) 3 4 5 6
y/L 200 150 120 100
(1)求y关于x的函数关系式.
(2)已知如图所示的长方体容器中装满了该液体原料,记日销售后长方体中剩余液体的高度为h.
①求h关于x的函数关系式;
②物价局规定此液体原料的日销售价最高不能超过8元/L,若该液体原料按最大日销售利润销售20天,则长方体容器中剩余液体原料多少升.(注:1 m3=1 000 L)
(2024·沧州二模)为美化校园环境,某学校根据地形情况,要对景观带中一个长AD=4 m,宽AB=1 m的矩形水池ABCD进行加长改造(如图1,改造后的水池ABNM仍为矩形,以下简称水池1),同时,再建造一个周长为12 m的矩形水池EFGH(如图2,以下简称水池2).
【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x(m)(x>0),加长后水池1的总面积为y1(m2),则y1关于x的函数解析式为:y1=x+4(x>0);设水池2的边EF的长为x(m)(0【问题解决】
(1)若水池2的面积随EF长度的增加而减小,则EF长度的取值范围是　　　　(可省略单位),水池2面积的最大值是　　　　m2.
(2)在图3字母标注的点中,表示两个水池面积相等的点是　　　　,此时的x(m)的值是　　　　.
(3)当水池1的面积大于水池2的面积时,x(m)的取值范围是　　　　.
(4)在1图1　　 图2 图3
【详解答案】
1.解:(1)当x>2时,设y1关于x的函数解析式为y1=k1x+b(k1,b为常数,且k1≠0).
将坐标(2,4)和(4,5)分别代入y1=k1x+b,
得解得
∴当x>2时,y1关于x的函数解析式为y1=x+3(x>2).
(2)①当x=3时,y1=×3+3=,
∴车费是元.
②设y2关于x的函数解析式为y2=k2x(k2为常数,且k2≠0).
将坐标(4,5)代入y2=k2x,
得4k2=5,
解得k2=,
∴y2=x(x≥0).
当x=6时,y1=×6+3=6,y2=×6=,
∵6<,-6=(元),
∴选择甲种品牌的共享电单车节省车费,节省元.
2.解:(1)①由题图可填表:
张华离开家的时间/min 1 4 13 30
张华离家的距离/km 0.15 0.6 0.6 1.5
②0.075
③当0≤x≤25时,y与x的函数解析式为y=
(2)爸爸的速度为
=0.075(km/min),
设张华出发x分钟时和爸爸相遇,
根据题意,得0.15x-2.25=0.075×(x-8),
解得x=22,
∴0.15×22-2.25=1.05(km).
答:从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为1.05 km.
3.解:(1)①根据题意,得乙车的速度为140-80=60(km/h),
则y甲=80x,y乙=60x+60,
∴y甲与x之间的函数解析式为y甲=80x,y乙与x之间的函数解析式为y乙=60x+60.
②根据题意,得|80x-(60x+60)|=10,
解得x=或x=,
∴当x=或x=时,两车相距10 km.
(2)根据题意,得乙车的速度为(140-a)km/h.
根据甲、乙两车到达终点站C所用时间相等,得,
解得a=,
经检验,a=是所列分式方程的根,且符合题意,
∴a的值是.
4.解:(1)60　1
(2)设线段FG所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),
将F(1,60),G(2,0)代入y=kx+b,得解得
∴线段FG所在直线的函数解析式为
y=-60x+120.
(3)当货车出发 h或h或 h时,两车相距15 km.
解析:设货车出发x h两车相距15 km,
由题意,得巡逻车的速度为
60÷2+=25(km/h).
当两车都在前往B地的途中且未相遇时两车相距15 km,则25x+-15=80x,解得x=-(舍去);
当两车都在前往B地的途中且相遇后两车相距15 km,则25x++15=80x,解得x=;
∵25×1+=35<60-15=45,
∴货车装货过程中两车不可能相距15 km,
当货车从B地前往A地途中且两车未相遇时相距15 km,则25x++15+(x-1)=60,解得x=;
当货车从B地前往A地途中且两车相遇后相距15 km,则25x+-(-60x+120)=15,解得x=;
综上所述,当货车出发 h或 h或 h时,两车相距15 km.
5.解:(1)根据题意,得
解得
∴a的值是40,b的值是50.
(2)购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个.
根据题意,得
解得≤x≤60;
y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720,
∵-3<0,
∴y随x的增大而减小,
∵≤x≤60且x为整数,
∴当x=52时,y的值最大,y最大=-3×52+720=564,
∴y的最大值是564元.
6.解:(1)由题意,设P=b+kx.
又∵当x=8时,P=96,x=10时,P=95,
∴
∴P=-x+100.
(2)由题意,得40=-x+100,
∴x=120.
答:该商品销售数量为40件时,每件商品的售价为120元.
(3)由题意,得
W=x-x+100=-(x-100)2+5 000.
∵a=-<0,50∴当x=100时,W最大,最大值为5 000元.
7.解:(1)-2　60
(2)由题意当1≤x<20时,
W=pq=(-2x+60)(x+10)=-2x2+40x+600,
当20≤x≤30时,W=30q=30(x+10)=30x+300.
∴W=
(3)由题意当1≤x<20时,
W=-2x2+40x+600=-2(x-10)2+800,
∵-2<0,
∴当x=10时,W最大为800.
当20≤x≤30时,W=30x+300,
由30x+300>1 000时,解得x>23.
又∵x为整数,且30>0,
∴当20≤x≤30时,W随x的增大而增大.
∴第24至30天,销售额超过1 000元,共7天.
8.解:(1)∵AO=17 m,
∴A(0,17).
又∵OC=100 m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2 m,
∴抛物线的顶点P为(50,2).
故可设抛物线的函数解析式为y=a(x-50)2+2.
将A点坐标代入抛物线方程可得,
2 500a+2=17.
∴a=.
∴缆索L1所在抛物线的函数解析式为y=(x-50)2+2.
(2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,缆索L1所在抛物线的函数解析式为y=(x-50)2+2,
∴缆索L2所在抛物线的函数解析式为y=(x+50)2+2.
令y=2.6,
则2.6=(x+50)2+2.
∴x=-40或x=-60.
又FO∴x=-40.
∴FO的长为40 m.
9.解:探究发现:x=5t,y=-t2+12t.
问题解决:(1)依题意,得-t2+12t=0.
解得t1=0(舍),t2=24.
当t=24时,x=120.
答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m.
(2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=-t2+12t+n.
∵125∴25在y'=-t2+12t+n中,
当t=25,y'=0时,n=12.5;
当t=26,y'=0时,n=26.
∴12.5答:发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5 m且小于26 m.
10.解:(1)由题意,抛物线的顶点为(5,3),
∴可设抛物线为y=a(x-5)2+3.
又抛物线过点(11,0),
∴36a+3=0.
∴a=-.
∴所求抛物线的函数解析式为y=-(x-5)2+3.
令x=0,则y≈0.92<2.44,
∴此次射门在不受干扰的情况下能进球.
(2)∵小明的最大起跳高度是2.25 m,
∴2.25=-(x-5)2+3.
∴x=2或x=8.
∵小明需要站在抛物线对称轴的左侧防守,
∴x=2,即小明需要站在离球门距离2 m以内的地方才可能防守住这次射门.
(3)②
解析:设小华带球向正前方移动b m,
∴移动后的函数解析式为y=-(x-5+b)2+3.
又B为(0,2.44),
∴-(0-5+b)2+3=2.44,
∴b≈7.6(舍去)或b≈2.4.
∴小华最多可以向球门移动约2.4 m.
11.解:(1)设y关于x的函数关系式为y=(k≠0).
将x=3,y=200代入,得k=600,
∴y=(x>0).
(2)①液体原料的日销售量为1×1×(2-h)=(2-h)m3=1 000(2-h)L,
∴y==1 000(2-h).
∴h=2-.
②设此液体原料的日销售利润为W(元),由题意可得
W=(x-4)=600-,
∵4≤x≤8,
∴当x=8时,W有最大值,此时最大日销售量为y==75(L).
∵该液体原料按最大日销售利润销售20天,
∴长方体容器中剩余液体原料为
1×1×2×1 000-75×20=500(L).
12.解:(1)3≤x<6　9
(2)C,E　1或4
(3)0(4)当1∵-1<0,
∴当x= m时,面积差有最大值,最大值为 m2.

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