资源简介

题型四　三角形、四边形实践探究
类型一　动点问题
　　动点常与三角形、四边形结合出题,探究三角形或四边形的面积、线段的长度、周长、各线段之间的数量关系或最值等问题.解决这类问题要熟练掌握三角形全等、相似或三角函数等有关三角形的知识以及矩形、菱形、正方形、平行四边形的相关性质.
(2023·郴州)已知△ABC是等边三角形,点D是射线AB上的一个动点,延长BC至点E,使CE=AD,连接DE交射线AC于点F.
(1)如图1,当点D在线段AB上时,猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由.
(2)如图2,当点D在线段AB的延长线上时,
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立 请说明理由;
②如图3,连接AE.设AB=4,若∠AEB=∠DEB,求四边形BDFC的面积.
图1　 　图2 图3
(2024·龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的边OB在x轴上,点A在第一象限,OA的长度是一元二次方程x2-5x-6=0的根,动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA-AB运动,动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB-BA运动,P,Q两点同时出发,相遇时停止运动.设运动时间为t秒(0(1)求点A的坐标.
(2)求S与t的函数关系式.
(3)在(2)的条件下,当S=6时,点M在y轴上,坐标平面内是否存在点N,使得以点O,P,M,N为顶点的四边形是菱形 若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由.
(2024·邯郸大名县三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6.点D是AB的中点.点P从点A出发,沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动,点Q从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿折线AB-BC向终点C运动,连接PQ,取PQ的中点E,连接DE,P,Q两点同时出发,设点P运动的时间为t(t>0)s.
(1)求线段AC的长.
(2)当点Q在AB上运动时,求tan∠PQA的值.
(3)当DE与△ABC的直角边平行时,求DQ的长.
(4)若点P从点C沿CA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,其他条件不变,当点Q在AB上运动,PQ与△ABC一边垂直时,直接写出t的值.
　
备用图1
备用图2
类型二　旋转问题
　　旋转前后的图形全等,因此会隐含线段相等、角相等等条件.而有的题目不会直接给出旋转的条件,需要自己根据题中条件抽象出旋转模型,这种情况下,一般两个图形共顶点,公共顶点为旋转中心.
(2024·通辽)数学活动课上,某小组将一个含45°的三角尺AEF和一个正方形纸板ABCD如图1摆放,若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α(0°≤α≤90°)角,观察图形的变化,完成探究活动.
【初步探究】
如图2,连接BE,DF并延长,延长线相交于点G,BG交AD于点M.
问题1:BE和DF的数量关系是　　　　,位置关系是　　　　.
【深入探究】
应用问题1的结论解决下面的问题.
问题2:如图3,连接BD,点O是BD的中点,连接OA,OG.
求证:OA=OD=OG.
【尝试应用】
问题3:如图4,请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时,点G经过路线的长度.
图1　 图2
图3 　图4
(2023·南充)如图,正方形ABCD中,点M在边BC上,点E是AM的中点,连接ED,EC.
(1)求证:ED=EC.
(2)将BE绕点E逆时针旋转,使点B的对应点B'落在AC上,连接MB'.当点M在边BC上运动时(点M不与B,C重合),判断△CMB'的形状,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,已知AB=1,当∠DEB'=45°时,求BM的长.
(2024·邯郸模拟)如图1,已知点D是等边三角形ABC内一点,且BD=3,AD=4,CD=5.
(1)求∠ADB的度数.
以下是甲、乙、丙三位同学的谈话:
甲:我认为这道题的解决思路是借助旋转,我选择将△BCD绕点B顺时针旋转60°或绕A逆时针旋转60°;
乙:我也赞成旋转,不过我是将△ABD进行旋转;
丙:我是将△ACD进行旋转.
请你借助甲、乙、丙三位同学的提示,选择适当的方法求∠ADB的度数.
(2)若改成BD=6,AD=8,CD=10,则∠ADB=　　　　°,点A到BD的距离为　　　　.
类比迁移:
(3)如图2,已知∠ABC=90°,AB=BC,BE=1,CE=,AE=,求∠BEC的度数.
图1　 图2
类型三　轴对称问题
　　题目中通常会给出翻折的条件,其实就是轴对称,折痕所在的直线就是对称轴,被翻折部分在折痕两边且全等.通常经过轴对称,会出现等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线,因此常常与三角形、四边形结合进行考查.
(2024·河北三模)【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术,通过折纸可以得到许多美丽的图形,折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识,在综合与实践课上,老师让同学们准备了大小一样的正方形,如图1,正方形纸片ABCD,边长为4.
图1 　图2
图3 　图4
【操作发现】老师提出了如下折叠要求:将正方形ABCD沿直线EF折叠,使点B落在边AD上的点P处(A,D两点除外),点C的对应点为点G.经过思考、讨论,同学们分享了他们的发现:
(1)如图2,当点P落在AD上任意一个位置时,PB平分∠APG.请判断这个结论是否正确,并说明理由.
(2)如图3,若PG与CD相交于点H,当点P是AD的中点时,可以求出DH的长度.请写出解答过程.
【拓展运用】小辉同学在(2)的基础上,求出了PH的长,进而求得了△PDH的周长,发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系,是一个定值.进一步研究他发现:当点P在AD上任意位置时,如图4,△PDH的周长是一个定值.小辉的结论是否正确 若正确,请给出证明;若不正确,请说明理由.
(2023·枣庄)问题情境:如图1,在△ABC中,AB=AC=17,BC=30,AD是BC边上的中线,如图2,将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,折痕分别交AB,AC,BC于点E,G,F,H.
猜想证明:
(1)如图2,试判断四边形AEDG的形状,并说明理由.
问题解决:
(2)如图3,将图2中左侧折叠的三角形展开后,重新沿MN折叠,使得顶点B与点H重合,折痕分别交AB,BC于点M,N,BM的对应线段交DG于点K,求四边形MKGA的面积.
图1　 图2 图3
(2024·邯郸邯山区一模)如图1和图2,平面上,四边形ABCD中,AB=8,BC=,CD=,DA=6,
∠A=90°,点M在AD边上,且DM=2.点P从点A沿折线AB-BC上运动到点C,将△APM沿MP翻折,点A的对应点为点A',设点P的运动路径长为x(x>0).
(1)如图1,连接BD.
①求∠CBD的度数;
②求证:AB∥CD.
(2)如图2,当点A'落到四边形ABCD内部时,求x的取值范围.
(3)当点A'落在AD的延长线上时,请直接写出x的值.
图1　 图2 备用图
【详解答案】
1.解:(1)CF=BD,理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图1,
图1
∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°,∠GDF=∠CEF,
∴△ADG为等边三角形,
∴AD=AG=DG.
∵AD=CE,AB-AD=AC-AG,
∴DG=CE,BD=CG.
又∠DFG=∠EFC,
∴△DGF≌△ECF(AAS).
∴CF=FG=CG,
∴CF=BD.
(2)①成立,理由如下:
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
过点D作DG∥BC,交AC的延长线于点G,如图2,
图2
∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°,∠GDF=∠CEF,
∴△ADG为等边三角形,
∴AD=AG=DG,
∵AD=CE,AD-AB=AG-AC,
∴DG=CE,BD=CG.
又∠DFG=∠EFC,
∴△DGF≌△ECF(AAS).
∴CF=FG=CG,
∴CF=BD.
②过点D作DG∥BC,交AC的延长线于点G,过点A作AN⊥DG于点N,交BC于点H,交DE于点M,如图3,
图3
由①知:△ADG为等边三角形,△DGF≌△ECF,CF=FG=BD.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC=4,BH=CH=BC=2,
∴AH==2.
∵∠AEB=∠DEB,EH=EH,
∠AHE=∠MHE=90°,
∴△AEH≌△MEH(ASA).
∴MH=AH=2.
∴AM=2AH=4.
∵△DGF≌△ECF,
∴∠CEF=∠MDN,DG=CE.
∴∠AEH=∠MDN,
∴tan∠AEH=tan∠MDN.
∴,
设MN=y,DG=CE=x,则EH=CE+CH=2+x,DN=DG=x,
∴①,
∵DG∥BC,
∴△ABC∽△ADG,
∴,
即②,
联立①②可得x=4+4(负值舍去),经检验,x=4+4是原方程的根,
∴DG=CE=4+4,DN=2+2,CF=FG=(x-4)=2,
∴AN=2+2,∴S△ACE=CE·AH=(4+4)×2=4+4.
∵,
∴S△CEF=(4+4)=4+2,
∴四边形BDFC的面积为S△ADG-S△ABC-S△DFG=S△ADG-S△ABC-
S△CEF=(4+4)(2+2)-×4×2-4-2=4+6.
2.解:(1)x2-5x-6=0,解得x1=6,x2=-1,
∵OA的长度是x2-5x-6=0的根,
∴OA=6.
∵△OAB是等边三角形,
∴OA=OB=OC=6,∠OAB=∠AOB=∠ABO=60°.
如图1,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,
图1
在Rt△AOC中,∠AOC=60°,
∴∠OAC=30°,
∴OC=OA=×6=3,
∴AC==3,
∴点A的坐标为A(3,3).
(2)当0图2
∴OP=2t,OQ=3t,∠OPD=30°,
∴OD=t,
∴PD=t,
∴S=OQ·PD=×3t×t=t2;
当2图3
∵∠A=60°,
∴∠AQE=30°,
又∵AQ=12-3t,
∴AE=6-t,QE==6t,
又∵OP=2t,
∴S=OP·QE=×2t×6t=-t2+6t;
当3图4
∴PQ=18-(2t+3t)=18-5t,
同理可得,BF=OB=3,
∴OF==3,
∴S=OF·PQ=×3×(18-5t)=-t+27;
综上所述,
S=
(3)存在.点N的坐标为(2,4+2)或(2,2-4)或(-2,2)或(2,).
解析:当t2=6时,
解得t=2,
∴OP=2×2=4,
如图5,过点P作PG⊥x轴于点G,则OG=OP=2,
图5
∴PG==2,
∴点P的坐标为(2,2);
当OP为边时,将OP沿y轴向下平移4个单位得N(2,2-4),此时M(0,-4),四边形POMN是菱形;将OP沿y轴向上平移4个单位得N(2,2+4),此时M(0,4),四边形POMN是菱形,如图6,
图6
如图7,作点P关于y轴的对称点N(-2,2),当M(0,4)时,四边形PMNO是菱形;
图7
如图8,当OP为对角线时,设OP的中点为T,过点T作TM⊥OP,交y轴于点M,延长MT到N,使TN=TM,连接ON,过点N作NH⊥x轴于点H,
图8
则∠MOT=∠NOT=∠HON=30°,OT=2,
∴ON=2TN,
∴ON2=OT2+TN2,
即ON2=22+ON2,
解得ON=,
∴NH=,OH=2,
N2,;
当-t2+6t=6,
解得t=2,不符合题意,此情况不存在;
当-t+27=6时,
解得t=2<3,
不符合题意,此情况不存在;
综上,点N的坐标为(2,4+2)或(2,2-4)或(-2,2)或2,.
3.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,
∴AC==8.
(2)如图1,过点P作PF⊥AB,垂足为F,
图1
∵∠A=∠A,∠AFP=∠ACB=90°,
∴△AFP∽△ACB,
∴.
∵AC=8,AB=10,BC=6,AP=t,
∴AF=t,PF=t,
∴QF=AQ-AF=2t-t=t,
∴tan∠PQA=.
(3)分情况讨论:
①如图2,当DE∥BC时,过点P作PF⊥AB于点F,过点E作EG⊥AB于点G,
图2
∵DE∥BC,
∴∠B=∠ADE,
∴tan∠ADE==tan B=,
∴GD=EG.
∵点E为PQ中点,EG∥PF,
∴EG=PF=t,
∴GD=EG=t.
∵QF=AQ-AF=t,DQ=2t-5,
∴GQ=QF=t,
∴GD=GQ-DQ=t-(2t-5)=5-t,
即t=5-t,
解得t=,
∴DQ=2×-5=.
②当DE∥AC时,如图3,点Q与B重合,
图3
∴DQ=DB=AB=5.
综上所述,DQ的长为或5.
(4)当PQ与△ABC一边垂直时,t的值为或.
解析:当PQ⊥AB时,如图4,则∠AQP=∠C=90°,
图4
∵∠A=∠A,
∴△APQ∽△ABC,
∴,
∴AP=·AB=8-t=2t×,
解得t=;
当PQ⊥AC时,如图5,则∠APQ=∠C=90°,
图5
∵∠A=∠A,
∴△APQ∽△ACB,
∴,
∴AP=·AC=8-t=2t×,
解得t=;
∵t>0,
∴很明显PQ与BC边不垂直,
综上,当PQ与△ABC一边垂直时,t的值为或.
4.解:问题1:BE=DF　BE⊥DF
解析:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵△AEF是含有45°的直角三角尺,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AE=AF,∠EAF=90°,
∵∠BAD-∠DAE=∠EAF-∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠ABE=∠ADF,
∵∠AMB=∠DMG,
∴∠G=∠BAM=90°,即BE⊥DF.
问题2:证明:∵△BAD是直角三角形,O是BD的中点,
∴OA=BD=OD.
由(1)知∠BGD=90°,
∴△BGD是直角三角形,
∴OG=BD=OD,
∴OA=OD=OG.
问题3:点G经过路线的长度为π.
解析:由问题2知,OA=OD=OG,
∴点G的运动轨迹是以O为圆心,OA长半径的弧,
如图,连接OA,OG,取AB的中点H,连接EH,
∵旋转角α从0°变化到60°,
∴此时点G的运动路线就是,
∵∠BAE=60°,AE=1,AB=2,
∴AE=AH=BH=1,∴△AEH为等边三角形,
∴EH=AH=BH.
∵∠AHE=∠HBE+∠BEH,∴∠HBE=∠BEH=30°,
即∠ABE=30°,
∴∠OBG=45°-30°=15°.
∵OB=OG=BD,
∴∠DOG=30°,
∴∠AOG=180°-∠AOB-∠DOG=60°,
∵AB=2,
∴BD=AB=2,
∴OA=OG=,
∴的长度=π.
即点G经过路线的长度为π.
5.解:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=BC.
∵点E是AM的中点,
∴EA=EB.∴∠EAB=∠EBA.
∴∠BAD-∠EAB=∠ABC-∠EBA,即∠EAD=∠EBC.
在△EAD与△EBC中,
∴△EAD≌△EBC(SAS).
∴ED=EC.
(2)△CMB'为等腰直角三角形,理由如下:
由旋转的性质得:EB=EB',
∴EB'=AE=EM.
∴∠EAB'=∠EB'A,∠EMB'=∠EB'M.
∵∠EAB'+∠EB'A+∠EMB'+∠EB'M=180°,
∴∠EB'A+∠EB'M=90°,
即∠AB'M=90°.
∴∠MB'C=90°.
∴∠B'MC=90°-∠ACB=45°.
∴∠B'MC=∠ACB=45°.
∴B'M=B'C.
∴△CMB'为等腰直角三角形.
(3)如图所示,延长BE交AD于点F,
∵∠EAB=∠EBA,
∠EAB'=∠EB'A,
∴∠MEB=2∠EAB,
∠MEB'=2∠EAB'.
∴∠BEB'=∠MEB+∠MEB'=2∠EAB+2∠EAB'=2∠BAB'=90°.
∵∠DEB'=45°,
∴∠DEF=∠B'EF-∠DEB'=45°.
∵△EAD≌△EBC,
∴∠AED=∠BEC.
∵∠AEF=∠BEM,
∴∠DEF=∠CEM=45°.
∵∠ACM=45°,
∴∠CEM=∠ACM.
∵∠CME=∠AMC,
∴△CME∽△AMC.
∴.
∴CM2=AM·EM,
∵EM=AM,
∴CM2=AM2.
设BM=x,则CM=1-x,AM2=AB2+BM2=1+x2,
∴(1-x)2=(1+x2).
解得x1=2-,x2=2+(不合题意,舍去).
∴BM=2-.
6.解:(1)如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转60°,得到△ACD',
∴D'A=AD=4,BD=CD'=3,∠DAD'=60°,
∴△ADD'是等边三角形,
∴DD'=AD=4,∠AD'D=60°,
∵DD'2+CD'2=42+32=52=CD2,
∴∠DD'C=90°,
∴∠ADB=∠AD'C=60°+90°=150°.
图1
(2)150　4
解析:如图1,将△ABD绕点A逆时针旋转60°,得到△ACD',
∴D'A=AD=8,BD=CD'=6,∠DAD'=60°,
∴△ADD'是等边三角形,
∴DD'=AD=8,∠AD'D=60°,
∵DD'2+CD'2=82+62=102=CD2,
∴∠DD'C=90°,
∴∠ADB=∠AD'C=60°+90°=150°;
过点A作AH⊥BD交BD的延长线于点H,
∴∠AHB=90°,
∵∠ADB=150°,
∴∠ADH=30°,
∴AH=AD=4,
故点A到BD的距离为4.
(3)如图2,把△CBE绕着点B逆时针旋转90°,得到△ABE',连接EE',
图2
∴∠EBE'是直角,BE=BE'=1,AE'=CE=,∠AE'B=∠CEB,
∴EE'2=12+12=2,∠BEE'=∠BE'E=45°.
∵EE'2=2,AE'2=3,EA2=5,
∴EA2=E'A2+EE'2,
∴△EE'A是直角三角形,
∴∠EE'A=90°,
∴∠BEC=∠AE'B=135°.
7.解:【操作发现】(1)PB平分∠APG这个结论正确,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠ABC=∠A=90°,
∴∠APB=∠CBP,
由折叠的性质可得EB=EP,∠EPG=∠EBC=90°,
∴∠EPB=∠EBP,
又∵∠EBP+∠PBC=90°=∠EPB+∠BPG=90°,
∴∠BPG=∠PBC,
∴∠APB=∠BPG,
∴PB平分∠APG.
(2)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠D=∠A=90°,
由折叠的性质可得EB=EP,∠EPG=∠EBC=90°,
设BE=PE=x,则AE=4-x,
∵点P为AD的中点,
∴AP=DP=2,
在Rt△APE中,由勾股定理,得PE2=AP2+AE2,
∴x2=22+(4-x)2,
解得x=,∴AE=.
∵∠APE+∠AEP=90°=∠APE+∠DPH,
∴∠AEP=∠DPH,
∴△AEP∽△DPH,
∴,即,
∴DH=.
【拓展运用】小辉的结论正确,证明如下:
如图,过点B作BQ⊥PG于点Q,连接BH,
则∠A=∠PQB=90°,∠BQH=∠BCH=90°,
由(1)得∠APB=∠QPB,
又∵BP=BP,
∴△BAP≌△BQP(AAS),
∴PQ=PA,AB=QB,
∵AB=BC,
∴BQ=BC,
又∵BH=BH,
∴Rt△BQH≌Rt△BCH(HL),
∴QH=CH,
∴△DPH的周长=DP+DH+PH=DP+DH+PQ+HQ=DP+DH+AP+CH=AD+CD,
∴△DPH的周长等于正方形ABCD的边长的2倍,
∴△DPH的周长是一个定值.
8.解:(1)四边形AEDG是菱形,理由如下:
∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,BD=CD=BC.
∵将△ABC的两个顶点B,C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合,
∴EF⊥BC,GH⊥BC,BE=DE,CG=GD,BF=FD=BD,CH=DH=CD.
∴EF∥AD.
∴=1.
∴BE=AE=AB,
同理可得:CG=AG=AC,
∴AE=DE,AG=DG.
∵AB=AC,
∴AE=DE=DG=AG,
∴四边形AEDG是菱形.
(2)由折叠可得,
∠GDC=∠C,∠MHB=∠B,
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∴∠GDC=∠B,∠MHB=∠C.
∴DG∥AB,MH∥AC.
∴四边形AMKG为平行四边形,
∵AB=AC=17,BC=30.
由(1)知:BD=CD=BC=15,DH=CH=,DG=AG=AC=,
∴GH==4.
过点H作HE⊥CG于点E,如图,
∵S△CHG=CH·HG=CG·HE,∴CG·HE=×4=30,
∵四边形MKGA的面积=AG·HE=CG·HE=30.
9.解:(1)①∵∠A=90°,
∴BD==10.
∵BC2+BD2=2+102=,
CD2=2=,
∴BC2+BD2=CD2,
∴∠CBD=90°.
②证明:∵,,
∴,
又∵∠CBD=∠A=90°,
∴△ABD∽△BDC,
∴∠DBA=∠CDB,
∴AB∥CD.
(2)当A'落在CD上时,过点P作PH⊥CD于点H.如图1.
图1
则PH=AD=6.
∵DM=2,
∴AM=4,
由翻折得A'M=AM=4,A'P=AP=x.
∴A'D==2,
∴A'H=DH-A'D=x-2,
∵PH2+A'H2=A'P2,
∴62+(x-2)2=x2,
∴x=4,
∴AP=4,
故点A'落到四边形ABCD内部时,
0(3)x=13.
解析:当点A'落在AD的延长线上时,
得PM⊥A'A,过点B作BG⊥CD,交PM于点H.如图2.
图2
∴BH=AM=4,
∵CG∥PH,
∴,
即BP=BC=5,
∴AB+BP=8+5=13,
∴x=13.

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