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专项训练四　常考全等模型
类型一　平移模型
此模型的特征是有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行,常要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线性质找到对应角相等.
① (2024·内江)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
类型二　对称模型
此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等.
共∠A　 共BD　 由∠1=∠2 ∠EAB=∠FAC
共AC　　 ∠AOC=∠BOD
② (2024·沧州南皮县二模)如图,已知射线BR平分∠MBN.点A,P,C分别在射线BM,BR,BN上,且PA=PC.则下列说法正确的是 (　　)
A.△BPA≌△BPC
B.△ABC是等腰三角形
C.∠BAP=∠BCP=90°
D.∠BAP=∠BCP或∠BAP+∠BCP=180°
③ (2024·乐山)如图,AB是∠CAD的平分线,AC=AD,求证:∠C=∠D.
类型三　三垂直模型
利用“同角(或等角)的余角相等”转化找等角(∠1=∠2).
④ (2024·廊坊广阳区一模)如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为6和8,则b的面积为 (　　)
A.6　　　 B.8　　　
C.10　　　 D.14
⑤ (2023·重庆A卷)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　　　　.
类型四　旋转模型
此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度构成的,旋转后的图形与原图形之间存在两种情况:
(1)无重叠:两个三角形有公共顶点,无重叠部分.
(2)有重叠:两个三角形含有一部分公共角,运用角的和差关系可得到等角.

两个等边三角形 　两个等腰直角三角形 　两个正方形
⑥ (2024·秦皇岛三模)如图,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC=∠DAE=90°,BD,CE交于点F,连接AF,下列结论:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°,其中正确结论的个数有 (　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
⑦ (2024·长沙)如图,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
【详解答案】
对应练习
1.解:(1)证明:∵AD=BE,
∴AD+BD=BE+BD,
即AB=DE.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)∵∠A=55°,∠E=45°,
由(1)可知△ABC≌△DEF,
∴∠A=∠FDE=55°,
∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°.
2.D　解析:由题意知,当PA=PC时,分图1,图2两种情况.
图1
①如图1,过点P作PE⊥BM于点E,PF⊥BN于点F,
∵BR平分∠MBN,
∴PE=PF.
∵PA=PC,PE=PF,
∴Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),
∴∠EAP=∠FCP,
∴∠BAP=∠BCP.
∵∠ABP=∠CBP,∠BAP=∠BCP,BP=BP,
∴△BPA≌△BPC(AAS),
∴∠BAP=∠BCP≠90°,AB=BC,△ABC是等腰三角形.
②如图2,过点P作PE⊥BM于点E,PF⊥BN于点F,
图2
同理①,Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),
∴∠EAP=∠FCP,
∴∠BAP+∠BCP=∠180°-∠EAP+∠FCP=180°,即∠BAP+∠BCP=180°,
此时△BPA与△BPC不全等,AB≠BC,△ABC不是等腰三角形.
∴A,B,C,错误,故不符合要求;D正确,故符合要求.
故选D.
3.证明:∵AB是∠CAD的平分线,
∴∠CAB=∠DAB.
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△ABD(SAS),
∴∠C=∠D.
4.D　解析:如图,∵a,b,c都是正方形,
∴AC=CE,∠ACE=90°.
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DCE.
∵∠ABC=∠CDE=90°,AC=CE,
∴△ACB≌△CED(AAS),
∴AB=CD,BC=DE.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,
即Sb=Sa+Sc=6+8=14.
故选D.
5.3　解析:∵∠BAC=90°,∴∠EAB+
∠EAC=90°.∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠AEB=∠AFC= 90°.∴∠ACF+
∠EAC = 90°.∴∠ACF=∠BAE.在
△BEA和△AFC中,
∴△BEA≌△AFC(AAS).∴AF=BE=4,AE=CF=1.∴EF=AF-AE=4-1=3.
6.B　解析:如图,过点A作AM⊥BD于点M,AN⊥EC于点N,设AD交EF于点O.
∵△BAC,△DAE都是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴CE=BD,故①正确;
由△BAD≌△CAE,知∠BDA=∠CEA.
∵∠DOF=∠AOE,
∴∠DFO=∠EAO=90°,
∴BD⊥EC,故②正确;
∵△BAD≌△CAE,AM⊥BD,AN⊥EC,
∴AM=AN,
∴FA平分∠EFB,
∴∠AFE=45°,故④正确;
若③成立,则∠EAF=∠BAF,
∵∠AFE=∠AFB,
∴∠AEF=∠ABD=∠ADB,推出AB=AD,由题意知,AB不一定等于AD,
∴AF不一定平分∠CAD,故③错误,
故选B.
7.解:(1)证明:在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由(1)得,△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°.

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